मान लें कि आपके पास एक पुनरावृत्ति
जो सकारात्मक दायरे से अधिक है।
टी( n ) = { टी( एन - एनसी) + टी( एनसी) + च( एन )1n> 2अन्यथा
हम इस फ़ंक्शन के साथ क्या कर सकते हैं? जब तक हम इस पर कुछ संरचनाओं का सुपरमिशन नहीं करते हैं, बहुत कुछ नहीं। मैं एक संख्यात्मक विश्लेषण पृष्ठभूमि से आया हूं, जो संख्यात्मक व्यंजनों के साथ प्रशस्त है जो किसी तरह काम करता है जब अंतर्निहित समस्या या तो पर्याप्त रूप से चिकनी नहीं होती है (कोई फर्क नहीं पड़ता, चलो अभी भी न्यूटन की विधि को इसके विभाजित अंतरों पर फेंक दें) या विश्लेषण करने के लिए बहुत जटिल है (सॉर्ट करें इस समस्या की तरह)। इन समस्याओं के प्रति मेरी आंत की प्रतिक्रिया कुछ हस्तनिर्मित धारणा बनाने के लिए, हमारी उंगलियों को पार करने और सर्वश्रेष्ठ के लिए आशा है। इस मामले में, यह अपेक्षाकृत अच्छा सीमा देता है।
विशेष रूप से, मैं दो प्रमुख धारणाएँ बनाना चाहता हूँ। इनमें से एक धारणा कमोबेश आधारहीन है, लेकिन हम इसके बिना बहुत दूर नहीं जा पाएंगे। दूसरे के पास कुछ अच्छा दृश्य अंतर्ज्ञान है जिसे आप उम्मीद से कर सकते हैं, लेकिन यह अभी भी किसी भी चीज़ की तुलना में अधिक है।
- मैं मान लूंगा कि "चिकनी-ईश" है। यह देखना काफी आसान है कि हर जगह भिन्न नहीं है। वास्तव में, यह निरंतर भी नहीं है, क्योंकि और , और । इसलिए, या , द्वारा उत्पन्न पुनरावृत्त मानचित्रों को देखते हुए, यदि इसके पुनरावृत्ति वृक्ष में तो पर एक विच्छेदन होगा।टी ( एन ) एफ ( एन ) = लॉग ( एन ) सी = 1टी( एन )टी( एन )च( n ) = लॉग( एन ) लिमn→2-टी(एन)=1लिमn→2+टी(एन)=2+ln2n↦√ग = १2लिमn → २-टी( n ) = 1लिमn → २+टी( n ) = 2 + ln2 n↦n- √n ↦ n--√ टी(एन)एन2एनएनटी(एन)n ↦ n - n--√टी( एन )n2कहीं इसके प्रक्षेपवक्र में। यह बहुत सारी अड़चनें हैं, हो सकता है कि यह डिरिचलेट के फंक्शन को भी अपने पैसे के लिए चलाए। यदि हम उस बिंदु पर पहुंच रहे हैं, जहां हम किसी फ़ंक्शन के व्यवहारों की तुलना कहीं और नहीं होने वाले फ़ंक्शन के प्रोटोटाइपिकल उदाहरण से कर रहे हैं, तो क्या यह दावा करने के लिए हँसने योग्य नहीं है कि यह "चिकनी-ईश" है? खैर, यह पता चला है कि व्यवहार में, इन विसंगतियों का प्रभाव असमान रूप से कम हो जाता है, इस बिंदु पर कि आपका ग्राफ लगभग सहज दिखता है जब अनंत की ओर झुकता है! इसलिए, मैं प्रस्ताव करता हूं कि हम अपने पिचफॉर्क डालते हैं और इस परिस्थिति में बस दूसरे तरीके से देखते हैं। विशेष रूप से, मैं मान लूंगा कि ब्याज किसी भी बिंदु पर , जो मूल से काफी दूर है,nnT(n)कुछ पड़ोस के आसपास, या कम से कम लगभग भिन्न होने योग्य है।
- जब पर्याप्त रूप से दूर होगा, तो मैं चिकनापन का और भी मजबूत रुख मानूंगा । मान लीजिए कि कुछ सबलाइनियर फ़ंक्शन है जैसे कि (उदाहरण के लिए ), तो व्युत्पन्न करता है तब अलग-अलग नहीं होता है जब पर्याप्त रूप से धीमा होता है। सहज रूप से, बड़ा हो जाता है, पड़ोस का सापेक्ष आकार कम हो जाता है (चूंकि इसका आकार सिर्फ , जो की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ता है) आखिरकार, इस पड़ोस का आकार इतना महत्वहीन हो जाता है ( सापेक्ष)α ( एन ) n > α ( एन ) एन सी टी ' ( ξ ∈ ( n - α ( एन ) , एन ) α ( एन ) एन ( एन - α ( एन ) , एन ) α ( एन ) एन एन टी ( एन )nα(n)n>α(n)ncT′(ξ∈(n−α(n),n)α(n)n(n−α(n),n)α(n)nn) कि इस पड़ोस के भीतर के परिवर्तन की दर अब नाटकीय रूप से बदल जाती है।टी( एन )
अब, इन दोनों गुणों को मान लिया गया है, और मेरे पास शून्य विचार है कि वास्तव में किसी भी कठोर तरीके से साबित करने के बारे में कैसे जाना जाए। लेकिन जैसा मैंने पहले कहा था, चलो अपनी उंगलियों को पार करें और सर्वश्रेष्ठ के लिए आशा करें।
चलो पुनरावृत्ति संबंध के साथ शुरू करते हैं: start
अब, मैं मान लूंगा कि और बीच के अंतराल पर काफी चिकनी है । हमारे शास्त्रीय विश्लेषणात्मक उपकरणों में से एक, माध्य-मूल्य-प्रमेय के लिए अपील, हमें
इसके अलावा, जब पर्याप्त रूप से बड़ा होता है, तो हम मान लेते हैं कि इस अंतराल के दौरान लगभग समान है, और इसलिए इस अंतराल के भीतर के किसी भी परिमित अंतर का मान भी लेता है। इसका मतलब तो यही है
टीएन-एनसीएनटी(एन)-टी(एन- एन सी )
टी( एन )टी( n ) - टी( एन - एनसी)nसीटी( n ) - टी( एन - एनसी)nसी=T(n−nc)+T(nc)+f(n)=T(nc)+f(n)=T(nc)+f(n)
Tn−ncnnटी'(ξ)टी'(ξ)≈टी(एन)-टी(n-ε)T(n)−T(n−nc)nc=T′(ξ∈(n−nc,n)).
nT′(ξ)T′(ξ)≈T(n)−T(n−ϵ)ϵ ϵ<nc
विशेष रूप से, ले एक एक पाने के लिए -स्टेप अंतर अंतर सन्निकटन
हम इसे प्राप्त करने के लिए टेलीस्कोप कर सकते हैं
एन सी ( टी ( एन ) - टी ( एन - 1 ) )ϵ=1 टी(एन)≈nΣकश्मीरटी(कश्मीरग)nc(T(n)−T(n−1))T(n)−T(n−1)≈T(nc)+f(n)≈T(nc)+f(n)nc
T(n)≈∑knT(kc)kc+∑knf(k)kc
Perturbing पता चलता है कि , दो asymptotic चरण हैं की asymptotic प्रकृति के आधार पर ।टी ( एन ) एफ ( जेड )T(n)टी( एन )च( z))
जब ( , से अधिक तेज़ होता है ), तो दाईं ओर का योग हावी होता है, और हमारे पास जिसे अक्सर इंटीग्रल ।च n ग टी ( एन ) = Θ ( n Σ कश्मीर च ( कश्मीर )च( n ) = ओ ( n)सी)चnसीn∫च(एक्स)टी( एन ) = Θ ( Σकnच( के )कसी)∫nच( x )एक्ससीघएक्स
जब , तो बायां योग दाईं ओर हावी होता है। यहाँ, हमें sum का विश्लेषण करना है
जहाँ ।च( एन ) = ω ( nसी)
( ∑कnटी( केसी)कसी) + चसी( एन )
एफसी( n ) = ∫nच( x )एक्ससीघएक्स
सहजता के तर्क के आधार पर, हम इसे एक बार फिर से एक वाम- रीमैन योग के रूप में देख सकते हैं, जो इंटीग्रल । अभिन्न पर एक समान माध्य-मूल्य-प्रमेय लागू करने से
हम बस आगे जा सकते हैं और इसे अनुमानित कर सकते हैं , जो देता है सन्निकटन
कुछ निरंतर जो श्रृंखला को बांधता है।∫nटी( x)सी)एक्ससीघएक्स
Σकटी( केसी)कसी≈ ∫nच( x)सी)एक्ससीघx = n T( ξ< nसी)ξसी
एन टी( एनसी)nसीटी( n ) ≤ n Mटी( एनसी)nसी+ एफसी( एन )
म
अब, मान लें कि हमारे पास पुनरावृत्त अनुक्रम है जहां , तो हम इस अनुक्रम का उपयोग उपरोक्त असमानता को दूरबीन में करने के लिए कर सकते हैं:
एक बार फिर, हम बाध्य कर सकते हैं कुछ निरंतर द्वारा अवधि लगता है कि
जहां । थोड़ा सा सरलीकरण करना और कुछ शब्दों को एक साथ समेटना (विशेष रूप से, हम जानते हैं कि( एन , एनसी, एनसी2, एनसी3, ... , nसीक)nसीक< २
टी( एन ) ≤ n ( Σमैंके - १ममैंnसीमैंएफसी( एनसीमैं) + मकnसीक)(*)
एफसी( एनसीमैं)टी( n ) = ओ ( एफ)सी( n ) + एन एफसी( एनसी) ( एमn- सी+ एम2n- सी2+ ⋯ + Mकn- सीक) )
के = लॉगसी( लॉग( २ )लॉग( एन ))मn- सीn- सीकएक स्थिरांक है), हम
टी( n ) = O ( n k F)सी( n ) एमक)
हालाँकि, यह बाध्य अपेक्षाकृत ढीला है, और आपको जब भी संभव हो , तो उल्लेख करना चाहिए ।( * )
ध्यान रहे कि किसी भी तरह से यह कठोर नहीं है। मैंने कोई समर्थन नहीं दिया है कि यह कुछ अनाड़ी अनुमानों से परे काम करना चाहिए। फिर भी, अगर आपको अनौपचारिक विश्लेषण के लिए बस एक त्वरित स्पर्शोन्मुख अनुमान की आवश्यकता है, तो आप वास्तव में देख सकते हैं कि यह योजना अच्छी तरह से काम करती है ( व्यवहार में बड़े मूल्यों के लिए , आमतौर पर पर्याप्त)।nn > 10
वैसे भी, और के सभी विकल्पों के लिए जो मैंने कोशिश की है, निम्नलिखित गणना
जहां
अच्छा सन्निकटन देता प्रतीत होता है । यह तकनीक फॉर्म पुनरावृत्ति को भी सामान्य करती है
जिसे साथ अनुमानित किया जा सकता है
जहांसीच
टी^( एन )एफ( एन )= एन ∑कलॉगसीलॉगn2मकnसीकएफ( एनसीक)= ∑कnच( के )कसी
म≈ Σकटी( केसी)कसीएन टी( एनसी)nसी
टी( n ) = टी( n - α ( n ) ) + T( β( n ) ) + च( एन )
टी^( एन )एफ( एन )= एन ∑क#β( एन )मकαक( एन )एफ( βक( n ) )= ∑कnच( के )α ( के )
αक( एन ) = α ( ⋯क( α ( n ) ) )और अनुक्रम के तत्वों की संख्या को दर्शाता है ऐसा है कि अंतिम शब्द और बीच है ।
#β( एन )एन , β( n ) , β( β( एन ) ) , ... , β#β( एन )( एन )12