यह दिखाना कि X में कोई समस्या X- पूर्ण नहीं है

Question

Reals के अस्तित्व के सिद्धांत में है PSPACE , लेकिन मैं नहीं जानता कि क्या यह है PSPACE: पूर्ण । अगर मुझे लगता है कि यह मामला नहीं है, तो मैं इसे कैसे साबित कर सकता हूं?

आम तौर पर, कुछ जटिलता वर्ग में एक समस्या को देखते हुए एक्स , मैं कैसे दिखा सकते हैं कि यह है नहीं एक्स-पूरा ? उदाहरण के लिए, एक्स हो सकता है एनपी , PSPACE , EXPTIME ।

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यकीन है कि यह आसान नहीं है और कोई भी आपके सामान्य भाग के लिए कोई उत्तर नहीं दे सकता है :-) मुझे बहुत सी समस्याएं हैं जो मुझे पता है कि वे एनपी हैं, लेकिन मुझे नहीं पता कि वे एनपी-पूर्ण हैं या नहीं (न ही बहुत अधिक अन्य लोग)।

Answer 1

असल में साबित नहीं है पी एस पी ए सी ई -Complete (के तहत, कहते हैं, बहुपद समय में कटौती) अत्यंत करने के लिए मुश्किल होगा।$X$$PSPACE$

अगर , तो सभी गैर तुच्छ (यानी, नहीं ∅ और नहीं Σ हिन्दी ⋆ में) और अनंत समस्याओं पी एस पी ए सी ई कर रहे हैं पी एस पी ए सी ई बहुपद समय में कटौती के तहत -Complete। Reals के अस्तित्व के सिद्धांत के बाद से इस गैर तुच्छ और अनंत संपत्ति है, साबित है कि यह नहीं है पी एस पी ए सी ई -Complete अर्थ होगा पी ≠ पी एस पी ए $P=PSPACE$$\varnothing$$\Sigma^{\star}$$PSPACE$$PSPACE$ $PSPACE$ । (प्रमाणके एक स्केच के लिएCSTheory.SE पर इस प्रश्न का उत्तरदेखें।)$P \neq PSPACE$

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निश्चित रूप से ऐसा लग रहा है कि मैं जितना चबा सकता हूं, उससे ज्यादा थोड़ा सा बोल सकता हूं।

— डेव क्लार्क

Answer 2

में एक समस्या यह है है नहीं एक्स अगर वहाँ में किसी भी अन्य समस्याएं हैं -Complete एक्स जो यह करने के लिए कम नहीं किया जा सकता है। एक सीधा (लेकिन संभवतः केवल तुच्छ उदाहरण पर प्रभावी) विधि साबित किया जाएगा आपकी समस्या कुछ अन्य जटिलता वर्ग में भी है Y ऐसी है कि वाई ⊂ एक्स ।$X$$X$$X$$Y$$Y \subset X$

उदाहरण के लिए, आप को दिखाने के लिए है कि आपकी समस्या नहीं है चाहते हैं, तो पूरा है, तो यह पता चलता है कि उस में है पर्याप्त है पी के बाद से, पी ⊊ ई एक्स पी टी मैं एम ई । हालाँकि, यदि आप यह दिखाना चाहते हैं कि कोई समस्या N P -complete नहीं है, तो यह दिखाना आवश्यक नहीं है कि यह P में है , क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि P = N P है या नहीं ।$EXPTIME$$P$$P \subsetneq EXPTIME$$NP$$P$$P = NP$

Answer 3

MathOverflow पर इस प्रश्न के लिए स्वीकृत उत्तर को देखें, क्या तकनीक यह दिखाने के लिए मौजूद है कि एक समस्या एनपी-पूर्ण नहीं है? । यह मामले का जवाब देता है जब एक्स = एनपी।

Answer 4

जैसा कि रेयान ने लिखा है, यह साबित करना कि एक समस्या कठिन नहीं है आसान नहीं है।

बता दें कि एक जटिलता वर्ग X में एक समस्या है और S बंद wrt a कटौती है। साबित होता है कि क्यू है नहीं एक्स -हार्ड wrt ≤ है जटिलता वर्ग के बंद होने लेने के द्वारा प्राप्त की अलग करने के बराबर क्यू wrt ≤ । अब, अगर क्यू अन्य वर्ग के लिए कठिन है Y wrt ≤ , तो यह अलग करने का मतलब Y से एक्स । जैसा कि आप जानते हैं, कई पृथक्करण परिणाम नहीं हैं।$Q$$X$$S$$\leq$$Q$$X$$\leq$$Q$$\leq$$Q$$Y$$\leq$$Y$$X$

आपके मामले में, , ≤ = ≤ पी मीटर है, और वाई = पी ।$X = \mathsf{PSpace}$$\leq = \leq^\mathsf{P}_m$$Y=\mathsf{P}$

क्योंकि हम इस तरह के परिणामों को फिलहाल साबित नहीं कर सकते हैं (रयान :) के संभावित अपवाद के साथ, यह साबित करने के स्थान पर कि एक्स -हार्ड नहीं है , हम दिखाते हैं कि यह एक जटिलता वर्ग में है जिसे एक्स से छोटा माना जाता है । उदाहरण के लिए, यदि आप पता चलता है कि टी एच ∃ ( आर , + , × , 0 , 1 ) में है पी एच , तो इसके लिए एक मजबूत साक्ष्य के रूप में ले जाया जाएगा क्यू नहीं किया जा रहा $Q$$X$$X$$\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$$\mathsf{PH}$$Q$$X$ -हार्ड। (तर्कवादियों की भाषा में, यदि आप बिना शर्त परिणाम को साबित नहीं कर सकते हैं, तो सशर्त साबित करने की कोशिश करें, जिसे साबित करना कठिन है, लेकिन व्यापक रूप से माना गया कथन जैसे $\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$