बिना किसी लगातार संख्या के 1 से n तक की गिनती

19

लक्ष्य

आपको एक पूर्णांक n( n > 1) दिया जाता है । आप चाहिए उत्पादन कैसे पूर्णांकों के कई क्रमपरिवर्तन 1को nदेखते हैं, जिस पर शुरू 1में अंत, nहै, और लगातार दो पूर्णांकों जो 1 से अलग नहीं है।

वैकल्पिक रूप से, अगर आप पूरा ग्राफ लेने K_nऔर पथ के किनारों को दूर 1-2-3-...-nआप से Hamiltonian पथ गिनती चाहिए 1करने के लिए nशेष ग्राफ में।

उदाहरण f(n)एक फ़ंक्शन के लिए उपयोग करेंगे nजो मान्य क्रमपरिवर्तन की संख्या और आउटपुट करता है, लेकिन आपका सबमिशन एक फ़ंक्शन या प्रोग्राम हो सकता है।

उदाहरण

के लिए n = 6, एक संभव समाधान है1-3-5-2-4-6

हालांकि, 1-3-5-2-6-4एक वैध समाधान नहीं है क्योंकि यह समाप्त नहीं होता है 6।

वास्तव में, के लिए n = 6, केवल 2 समाधान हैं ( 1-4-2-5-3-6अन्य एक है)।

इसलिए f(6) = 2।

के लिए n = 4केवल क्रमपरिवर्तन जिसमें शुरू 1और अंत में 4कर रहे हैं 1-2-3-4और 1-3-2-4। उन दोनों में 2, समीप है 3, जो लगातार पूर्णांक देता है जो 1. से भिन्न होता है f(4) = 0।

परीक्षण के मामलों

f(6) = 2
f(4) = 0
f(8) = 68
f(13) = 4462848

कसौटी जीतना

यह कोड-गोल्फ है, सबसे छोटा उत्तर जीतता है।

code-golf  permutations 
— फिलिप
स्रोत
7
आप देखें, बच्चे, आप यह नहीं देख सकते हैं कि कितने के क्रमपरिवर्तन [2..n-1]में कोई विलंब नहीं है 1या -1, आपको यह भी देखना होगा कि उनमें से कोई भी इसके साथ शुरू 2या समाप्त नहीं होता n-1...
— ETHproductions
1
क्या सूची 1 से शुरू होती है और संख्या के साथ समाप्त होती है?
— ओकेक्स
3
शायद ओपी का अर्थ "आसन्न" है "लगातार" नहीं?
— १
6
स्पष्ट रूप से अनुक्रम यहां है: algo.inria.fr/lbooks/autocomb/graphs99.ps जहां पृष्ठ 6 पर लिखा गया है, Q_ser:=z + 2 z^6 + 10 z^7 + 68 z^8 + 500 z^9 + 4174 z^10 + 38774 z^11 + 397584z^12 + 4462848 z^13 + 54455754 z^14मैं कुछ समय बिता रहा हूं अब सूत्रों का उपयोग करने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन मैं उस अनुक्रम को उत्पन्न नहीं कर सकता। Z के प्रतिपादक को देखने के लिए आश्चर्यजनक सूत्र का इनपुट है और परिणाम गुणन कारक है। वहाँ से फार्मूला कैसे
— क्रिस्टियान वेस्टरबेक
1
@ChristiaanWesterbeek कि अनुक्रम के लिए उत्पादन समारोह कहा जाता है । एक उत्पन्न होने वाले फ़ंक्शन के साथ कई अनुक्रम मौजूद हैं, जिसमें अनुक्रम की तुलना में एक अच्छा बंद रूप है, यह शांत सामान है!
— कारमिस्टर जूल

जवाबों:

6

MATL , 16 बाइट्स

qtq:Y@0&Yc!d|qAs

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

इनपुट से अधिक के लिए 12यह स्मृति से बाहर चलाता है।

व्याख्या

q      % Implicitly input n. Push n-1
tq     % Duplicate and subtract 1: pushes n-2
:      % Range [1 2 ... n-2]
Y@     % Matrix with all permutations, each in a row
0      % Push 0
&Yc    % Append n-1 and predend 0 to each row
!      % Tranpose
d      % Consecutive differences along each column
|      % Absolute value
q      % Subtract 1
A      % All: true if all values in each column are non-zero
s      % Sum. Implicitly display
— लुइस मेंडो
स्रोत
1
कार्य ठीक, अच्छी तरह से किया :)
— फिलिप
1
हालाँकि इस समस्या में कुछ अच्छी प्रगति हुई है, फिर भी आपका समाधान सबसे छोटा है। यह जेली एक से भी तेज है। Congratz!
— फिलिप
19

गणितज्ञ, 58 बाइट्स, बहुपद ( एन ) समय

Abs[Sum[(k-1)Hypergeometric2F1[k,k-#,2,2](#-k)!,{k,#}]-1]&

यह काम किस प्रकार करता है

तेज बल के साथ क्रमपरिवर्तन पर ध्यान देने के बजाय, हम उन्हें शामिल करने के लिए समावेश-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करते हैं ।

S के सभी क्रमपरिवर्तन के सेट होने दो [1, ..., n] σ के साथ 1 = 1, σ n = n , और एस मैं क्रमपरिवर्तन की सेट हो σ ∈ एस ऐसी है कि | σ मैं - σ मैं + 1 | = 1. फिर जिस गिनती को हम ढूंढ रहे हैं वह है

| S | - - एस 1 | ⋯ ∪ एस एन - 1 | = ≤ 2 ≤ k ≤ n + 1; 1 1 i 2 < i < i k - 1 < n ()1) k - 2 | S i 2 ∩ <∩ S i k - 1 |

अब, | S i 2 ∩ ⋯ | S i k - 1 | केवल k पर और [ i 1 , i 2 ,…, i k - 1 , i k ] में लगातार सूचकांकों के रनों की संख्या j पर निर्भर करता है , जहां सुविधा के लिए हम i 1 = 0 और i k = को ठीक करते हैं n को ठीक करते हैं । विशेष रूप से,

| S i 2 S ⋯ ∩ S i k - 1 | = 2 जे - 2 ( एन - कश्मीर ) !, 2 ≤ के लिए जे ≤ कश्मीर ≤ n ,
| एस मैं 2 ∩ ⋯ ∩ एस मैं k - 1 | = 1, जे = 1, के = एन + 1 के लिए।

ऐसे इंडेक्स सेट की संख्या [ i 1 , i 2 ,…, i k - 1 , i k ] के साथ j रन है

( कश्मीर - 1 सी जे - 1 ) ( n - कश्मीर सी जे - 2 ), 2 ≤ के लिए जे ≤ कश्मीर ≤ n ,
1, के लिए j = 1, कश्मीर = n + 1।

परिणाम तो है

(-1) n - 1 + Σ 2 ≤ कश्मीर ≤ n Σ 2 ≤ जे ≤ कश्मीर (-1) कश्मीर - 2 ( कश्मीर - 1 सी जे - 1 ) ( n - कश्मीर सी जे - 2 ) 2 जे - 2 ( n - के )!

हाइरोमेट्रिक 2 एफ 1 का उपयोग करके आंतरिक ओवर जे लिखा जा सकता है फ़ंक्शन :

(-1) n - 1 + Σ 2 ≤ कश्मीर ≤ n (-1) कश्मीर ( कश्मीर - 1) 2 एफ 1 (2 - कश्मीर , कश्मीर - एन , 2, 2) ( n - कश्मीर )!

जिस पर हम एक Pfaff परिवर्तन लागू करते हैं जो हमें पूर्ण मूल्य का उपयोग करके the1 की शक्तियों को दूर करने की अनुमति देता है:

(-1) n - 1 + Σ 2 ≤ कश्मीर ≤ n (-1) एन ( कश्मीर - 1) 2 एफ 1 ( कश्मीर , कश्मीर - एन , 2, 2) ( n - कश्मीर )!
= | -1 + Σ 1 ≤ कश्मीर ≤ n ( कश्मीर - 1) 2 एफ 1 ( कश्मीर , कश्मीर - एन , 2, 2) ( n - कश्मीर !) |।

डेमो

In[1]:= Table[Abs[Sum[(k-1)Hypergeometric2F1[k,k-#,2,2](#-k)!,{k,#}]-1]&[n],{n,50}]

Out[1]= {1, 0, 0, 0, 0, 2, 10, 68, 500, 4174, 38774, 397584, 4462848, 

>    54455754, 717909202, 10171232060, 154142811052, 2488421201446, 

>    42636471916622, 772807552752712, 14774586965277816, 297138592463202402, 

>    6271277634164008170, 138596853553771517492, 3200958202120445923684, 

>    77114612783976599209598, 1934583996316791634828454, 

>    50460687385591722097602304, 1366482059862153751146376304, 

>    38366771565392871446940748410, 1115482364570332601576605376898, 

>    33544252621178275692411892779180, 1042188051349139920383738392594332, 

>    33419576037745472521641814354312790, 

>    1105004411146009553865786545464526206, 

>    37639281863619947475378460886135133496, 

>    1319658179153254337635342434408766065896, 

>    47585390139805782930448514259179162696722, 

>    1763380871412273296449902785237054760438426, 

>    67106516021125545469475040472412706780911268, 

>    2620784212531087457316728120883870079549134420, 

>    104969402113244439880057492782663678669089779118, 

>    4309132147486627708154774750891684285077633835734, 

>    181199144276064794296827392186304334716629346180848, 

>    7800407552443042507640613928796820288452902805286368, 

>    343589595090843265591418718266306051705639884996218154, 

>    15477521503994968035062094274002250590013877419466108978, 

>    712669883315580566495978374316773450341097231239406211100, 

>    33527174671849317156037438120623503416356879769273672584588, 

>    1610762789255012501855846297689494046193178343355755998487686}
— एंडर्स कसीगोर
स्रोत
3
मेरा दिमाग उड़ गया है, अच्छी नौकरी
— फिलिप
6

जेली , 17 16 बाइट्स

ṖḊŒ!ð1;;⁹IỊṀðÐḟL

एक मोनडिक लिंक।

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

कैसे?

ṖḊŒ!ð1;;⁹IỊṀðÐḟL - Link: number n
Ṗ                - pop (implicit range build) -> [1,n-1]
 Ḋ               - dequeue -> [2,n-1]
  Œ!             - all permutations of [2,n-1]
    ð       ðÐḟ  - filter discard those entries for which this is truthy:
     1;          -   1 concatenated with the entry
       ;⁹        -   ...concatenated with right (n)
         I       -   incremental differences
          Ị      -   is insignificant (absolute value <=1)
           Ṁ     -   maximum
               L - length (the number of valid arrangements)
— जोनाथन एलन
स्रोत
क्षमा करें, लेकिन यह परीक्षण के मामलों को पूरा नहीं करता है
— फिलिप
1
हाँ, आपने वही गलती की जो ओकेक्स और मैंने पहली बार में की थी। आपको इस तथ्य पर ध्यान देना होगा कि दूसरी संख्या 2 नहीं हो सकती है और दूसरी-से-अंतिम संख्या n-1 नहीं हो सकती
— ETHproductions
@ खिल्ली ने इसे ठीक कर दिया।
— जोनाथन एलन
मुझे नहीं लगता कि उपयोग IỊṀकरना मान्य है। विशेष रूप से, क्या होगा यदि -2उदाहरण के लिए वहाँ डेल्टा में से एक है? आप IAỊṀ+1 के लिए ठीक कर सकते हैं ।
— निकोल आउटफेलर जूल
1
@JonathanAllan ऊह मुझे लगा कि यह वापस आ गया है x <= 1।
— आउटगॉल्फ जूल
5

जाप , 19 18 बाइट्स

o2 á è_pU äÉ m²e>1

इसे ऑनलाइन टेस्ट करें! मैं इससे बड़ी किसी चीज पर परीक्षण की सिफारिश नहीं करूंगा 10।

व्याख्या

o2 á è_  pU äÉ  m²  e>1
o2 á èZ{ZpU ä-1 mp2 e>1}
                          : Implicit: U = input integer
o2                        : Create the range [2..U-1].
   á                      : Generate all permutations of this range.
     èZ{               }  : Check how many permutations Z return a truthy value:
        ZpU               :   Push U to the end of Z.
            ä-1           :   Push 1 to the beginning of Z, then take the difference
                          :   of each pair of items.
                m         :   Map each item X to
                 p2       :     X ** 2. This gives a number greater than 1 unless the
                          :     item is 1 or -1.
                    e>1   :   Return whether every item in this list is greater than 1.
                          :   This returns `true` iff the permutation contains no
                          :   consecutive pairs of numbers.
                          : Implicit: output result of last expression
— ETHproductions
स्रोत
बहुत बढ़िया! अजीब बात है कि कैसे मेरा जानवर बल कोड n = 13 से अधिक नहीं मिल सकता है न तो आह
— फिलिप
@Philippe मैं इतनी जल्दी स्वीकार करने की सलाह नहीं दूंगा, मुझे यकीन है कि यह 05AB1E या Jfish में; छोटा होगा;;
— ETHproductions
टेस्टकेस पर विफल 1।
— ओकेक्स
2
@ ओएक्सएक्स ओपी ने निर्दिष्ट किया है कि हम मान सकते हैं n > 1।
— ETHproductions
5

05AB1E , 17 बाइट्स

L¦¨œʒ¹1Š)˜¥Ä1å_}g

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

— Okx
स्रोत
यह सही परिणाम प्रदान नहीं कर रहा है, क्षमा करें
— फिलिप
@Philippe किस टेस्टकेस पर है?
— ओकेक्स
@Philippe फिक्स्ड।
— ओकेक्स
¹1Š)˜एक बाइट बचाता है।
— एमिगा जूल
5

हास्केल, 76 65 बाइट्स

11 बाइट्स @xnor की बदौलत बची।

Q_rec@ ChristiaanWesterbeek की खोज के पेज 7 पर परिणाम के लिए , हमें मिलता है

f 1=1
f n|n<6=0
f n=sum$zipWith((*).f)[n-5..][n-4,1,10-2*n,4,n-2]

मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि उनका अगला परिणाम haइससे कैसे संबंधित है, लेकिन गति बढ़ाने के बाद (पहले संस्मरण द्वारा, पहले के संस्करणों को देखें, फिर नीचे के रूप में) मुझे उनके नंबर मिलते हैं।

जबकि ऊपर के लिए ठीक है n=20, यह एक उदाहरण है कि कैसे पुनरावृत्ति नहीं करना है। यहां एक तेज़ संस्करण है (केवल उसी के लिए n>=6) जिसे केवल निरंतर मेमोरी की आवश्यकता होगी - यदि केवल संख्या बढ़ती नहीं थी ...

f n=last$foldl(#)[1,0,0,0,0][6..n]
l#n=tail l++[sum$zipWith(*)l[n-4,1,10-2*n,4,n-2]]

देता है कि

Prelude> f 50
1610762789255012501855846297689494046193178343355755998487686
Prelude> f 500
659178618863924802757920269977240274180092211041657762693634630044383805576666007245903670780603497370173231423527767109899936008034229541700392144282505597945561328426013937966521561345817045884498867592832897938083071843810602104434376305964577943025310184523643816782047883794585616331928324460394146825636085453532404319881264974005968087265587062691285454120911586459406436421191277596121471930913837355151842093002557978076653884610826296845041929616496533544124347765641367732716560025553179112645454078955409181466212732427071306363820080109636358537270466838558068527692374178581063316309789026101221004745226182671038004326069705775312654329754698423385241664984156235692539255677944294995403233446243315371404887473868003155621849544566385172835597260848972758443874423271017007843907015007416644383573987606586308556317833384896267539628278571497402655322562624217658332870157802254043614726316296058329670971054977099155788604175817828380564156329839201579006169173002756295957371639199917376529472990059986681882194726437566769717959443857298155265292535858523609764515938314672724480762724541633037484152303637096

यह भी कोई समस्या नहीं है, f 5000लेकिन मैं परिणाम चिपकाना नहीं चाहता ...

BTW, यह फैंसी गणित का उपयोग नहीं करने और अभी भी (अल्ट्रा) जानवर बल का उपयोग नहीं करने के लिए संभव है। पहले, सभी क्रमपरिवर्तन को देखने के बजाय, आंशिक क्रमपरिवर्तन को देखें और केवल जब वे पहले से ही अमान्य न हों तो उनका विस्तार करें। इसके साथ शुरू होने वाले सभी क्रमपरिवर्तन को देखने का कोई फायदा नहीं है 1 6 5। दूसरा, कुछ आंशिक क्रमपरिवर्तन जैसे हैं 1 3 5 7और 1 5 3 7बिल्कुल समान वैधताएं हैं, इसलिए उन्हें एक साथ संभालें। इन विचारों का उपयोग करते हुए, मैं n=16 0.3s में मूल्यों की गणना कर सकता था ।

— क्रिश्चियन सिवर्स
स्रोत
आप गुणांक निकालकर डॉट की तरह कम होने वाली पुनरावर्ती अभिव्यक्ति लिख सकते हैं f n=sum$zipWith((*).f)[n-5..][n-4,1,10-2*n,4,n-2]:।
— xnor
@ एक्सनोर राइट, धन्यवाद!
— क्रिश्चियन सिवर्स 2
यह कुछ अच्छा काम है, इस समुदाय के साथ आए परिणामों से मैं चकित हूं! बहुत बुरा यह एक गोल्फ है ^ ^
— फिलिप
3

मैथेमेटिका, 66 बाइट्स

Count[Permutations@Range@#,x:{1,__,#}/;FreeQ[Differences@x,1|-1]]&

व्याख्या

Functionपहले तर्क के साथ #।

Count[                                                             (* Count the number of *)
      Permutations@                                                (* permutations of *)
                   Range@#,                                        (* the list {1, ..., #} *)
                           x:{1,__,#}                              (* of the form {1, __, #} *)
                                     /;                            (* such that *)
                                             Differences@x,        (* the list of differences of consecutive elements *)
                                       FreeQ[                      (* is free of elements of the form *)
                                                           1|-1    (* 1 or -1 *)
                                                               ]]&
— ngenisis
स्रोत
3

जावास्क्रिप्ट (ईएस 6), 100 74 72 60 बाइट्स

f=n=>n--<6?!n|0:f(n)*--n+4*f(n--)-2*f(n--)*--n+f(n)*++n+f(n)

नीचे @PeterTaylor के गोल्फ-महारत से पहले का संस्करण है

f=n=>n<6?n==1|0:(n-4)*f(n-5)+f(n-4)-2*(n-5)*f(n-3)+4*f(n-2)+(n-2)*f(n-1)

@ChristianSievers के उत्तर के लिए धन्यवाद जो एक से हास्केल समाधान का मसौदा तैयार करने में कामयाब रहा पेपर '0, 2, 10, 68, 500, 4174, 38774, 397584' गूगुलिंग के बाद मिले रहा, यहाँ एक जावास्क्रिप्ट संस्करण है जो कि क्रमबद्ध भी नहीं है।

प्रयोग

for (i=1; i<=20; i++) {
  console.log(i, f(i))
}

1 1 
2 0 
3 0 
4 0 
5 0 
6 2 
7 10 
8 68 
9 500 
10 4174 
11 38774 
12 397584 
13 4462848 
14 54455754 
15 717909202 
16 10171232060 
17 154142811052 
18 2488421201446 
19 42636471916622 
20 772807552752712
— क्रिस्टियान वेस्टरबेक
स्रोत
1
कार्य विवरण केवल f(n)तब के लिए पूछता है n>1, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किस लिए लौटते हैं n=1। इसके अलावा मुझे लगता f(1)=1है कि सही है।
— क्रिश्चियन सिवर्स
आप n<6?n==1|0:दो-चार बचत के लिए विशेष मामलों को जोड़ सकते हैं ।
— पीटर टेलर
महान। मैंने उन 2 टिप्पणियों के लिए समायोजित किया।
— क्रिस्टियान वेस्टरबेक
1
और शब्दों को क्रमबद्ध करने और मूल्यांकन के आदेश पर भरोसा करने से यह 60 तक नीचे जाना संभव है:f=n=>n--<6?!n|0:f(n)*--n+4*f(n--)-2*f(n--)*--n+f(n)*++n+f(n)
— पीटर टेलर
1

ब्रेकीलॉग , 26 बाइट्स

{⟦₁pLh1&~tLs₂ᶠ{-ȧ>1}ᵐ}ᶜ|∧0

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

व्याख्या

{                    }ᶜ       Output = count the number of outputs of:
 ⟦₁pL                           L is a permutation of [1, …, Input]
    Lh1                         The head of L is 1
       &~tL                     The tail of L is the Input
          Ls₂ᶠ                  Find all sublists of length 2 of L
              {    }ᵐ           Map on each sublist:
               -ȧ>1               The elements are separated by strictly more than 1
                       |      Else (no outputs to the count)
                        ∧0    Output = 0
— Fatalize
स्रोत
1

पायथन 3 , 109 107 102 बाइट्स

q=lambda s,x,n:sum(q(s-{v},v,n)for v in s if(v-x)**2>1)if s else x<n;f=lambda n:q({*range(2,n)},1,n-1)

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

फ़ंक्शन को एक-लाइन करने की कोशिश नहीं करके चार बाइट्स को हटा दिया (जैसा कि @shooqie द्वारा सुझाया गया है) और एक अन्य बाइट absको एक वर्ग के साथ बदलकर । (पाइथन 3.5+ की आवश्यकता है)

— rici
स्रोत
— shooqie
0

गणितज्ञ, 134 बाइट्स

(s=Permutations@Range[2,#-1];g=Table[Join[Prepend[s[[i]],1],{#}],{i,Length@s}];Length@Select[Union@*Abs@*Differences/@g,FreeQ[#,1]&])&


परीक्षण के मामले n: 2 से 12

{, 0, 0, 0, 2, 2, 10, 68, 500, 4174, 38774, 397584}

— J42161217
स्रोत
0

पायथन 2 , 105 बाइट्स

lambda n:reduce(lambda a,i:a+[i*a[-5]+a[-4]+2*(1-i)*a[-3]+4*a[-2]+(i+2)*a[-1]],range(2,n),[0,1]+4*[0])[n]

इसे ऑनलाइन आज़माएं!

यह फिलिप फ्लेजलेट के द्वारा खोजे गए पेपर पर आधारित है @Christiaan Westerbeek ; यह बहुत तेज़ है और मेरे पायथन 3 समाधान की तुलना में दो बाइट्स है जो संभावित क्रमपरिवर्तन को दर्शाता है। (पायथन 3 में, reduceगुस्से में स्थानांतरित कर दिया गया हैfunctools ।)

Numpy के डॉट उत्पाद का उपयोग करते हुए एक बहुत छोटा संस्करण है, लेकिन यह बहुत तेजी से बह जाता है और आयात करने के लिए numpy की आवश्यकता होती है। लेकिन इसके लायक क्या है:

lambda n:reduce(lambda a,i:a+[dot([i,1,2-2*i,4,i+2],a[-5:])],range(2,n),[0,1]+4*[0])[n]
— rici
स्रोत
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