आप अण्डाकार कक्षाओं पर रियायत के प्रभावों की गणना कैसे करते हैं?

Question

केपलर के पहले कानून में कहा गया है कि ग्रह (और सभी खगोलीय पिंड एक और शरीर की परिक्रमा करते हैं) अण्डाकार कक्षाओं में यात्रा करते हैं, जिनके पास प्रसिद्ध सूत्र हैं जो कक्षीय तत्वों और संबंधित व्यवहार की गणना करना अपेक्षाकृत आसान बनाते हैं। हालाँकि, चल रही पूर्वधारणा का अर्थ है कि कक्षा लगातार बदल रही है - और इसलिए ग्रह वास्तव में दीर्घवृत्त में यात्रा नहीं कर रहा है, यह मूल रूप से सेट है! आप पूर्वसर्ग और उसके संबंधित प्रभावों की गणना कर सकते हैं ( यह प्रश्न और उत्तर सहायक है), लेकिन क्या गणना करने के लिए कोई तरीका है कि कैसे अण्डाकार कक्षा पूर्वसर्ग द्वारा "विकृत" होगी?

Comments

आप पेरिऐपिसिस (जैसे, पेरिहेलियन) की पूर्वसूचना का उल्लेख कर रहे हैं और अक्षीय झुकाव के संदर्भ में पूर्वगामी नहीं?

— बैरीक्रार्टर

@barrycarter बिल्कुल, हां।

— HDE 226,868

Answer 1

एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु कुछ वैज्ञानिकों के नाम से बहुत पहले से होगा> गति के ग्रहों के समीकरण। उदाहरण के लिए, लैग्रेंज के ग्रहों के समीकरण (कभी-कभी लैगरेंज-लाप्लास ग्रहों के समीकरण कहे जाते हैं), गॉस के ग्रह समीकरण, डेलुने के ग्रह समीकरण, हिल के ग्रह समीकरण और कई और अधिक हैं। इन विभिन्न ग्रहों के समीकरणों के बीच सामान्य विषय यह है कि वे कुछ सामान्य स्थिति के संबंध में परवर्ती बल / परवर्ती क्षमता के आंशिक व्युत्पन्न के एक समारोह के रूप में विभिन्न कक्षीय तत्वों के समय डेरिवेटिव प्राप्त करते हैं।

सामान्य तौर पर, इस प्रक्रिया के परिणाम का वर्णन करने वाले एकमात्र शब्द "हॉट मेस" है। एक गर्म गंदगी पुराने के उन शानदार दिमागों को रोक नहीं पाई। विभिन्न सरलीकृत मान्यताओं और दीर्घकालिक औसत के माध्यम से, वे काफी सरल विवरणों के साथ आए, उदाहरण के लिए, (अप्साइडल प्रिस्क्रिप्शन) और ( )। आप नीचे दिए गए हिल द्वारा 1900 के काम में इसका कुछ अंश देख सकते हैं।$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

जबकि ये तकनीक पुरानी हैं, ये ग्रह समीकरण आज भी उपयोग किए जाते हैं। कभी-कभी आपको "हॉट मेस" मिलता है ठीक है अब हमारे पास कंप्यूटर हैं। लोग ज्यामितीय एकीकरण तकनीकों के साथ युग्मित ग्रहों के समीकरणों का उपयोग कर रहे हैं जो कि तेज, सटीक, स्थिर हैं और समय के लंबे अंतराल पर कोणीय गति और ऊर्जा का संरक्षण करने वाले इंटीग्रेटर्स का उत्पादन करते हैं। (आम तौर पर, आपके पास ये सब नहीं हो सकते हैं। यदि आप सिर्फ दो या तीन प्राप्त करते हैं तो आप भाग्यशाली हैं। इन ग्रहों के समीकरणों की एक और अच्छी विशेषता यह है कि वे आपको प्रतिध्वनि जैसी विशेषताओं को देखने देते हैं जो अन्यथा वास्तव में अस्पष्ट हैं " गति के कार्टेशियन समीकरण के गर्म गड़बड़ "।

चयनित संदर्भ सामग्री, तिथि के अनुसार क्रमबद्ध:

हिल (1900), "ऑन द एक्स्टेंशन ऑफ़ डेलान्यूज़ मेथड ऑफ़ द लूनर थ्योरी टू द जनरल प्रॉब्लम ऑफ़ प्लैनेटरी मोशन," लेन-देन ऑफ़ द अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी , 1.2: 205-242।

वलाडो (1997 और बाद में), "फंडामेंटल ऑफ एस्ट्रोइडैमिक्स एंड एप्लीकेशन", विभिन्न प्रकाशक। छेद के अलावा यह आपके बटुए के माध्यम से छिद्र करता है, आप इस पुस्तक के साथ गलत नहीं कर सकते।

एफ्रोइम्स्की (2002), "केप्लरियन तत्वों के लिए समीकरण: छिपा समरूपता," गणित और उनके अनुप्रयोगों के लिए संस्थान

एफ्रोइमस्की और गोल्डीरिच (2003), "हेमिल्टन-जैकोबी दृष्टिकोण में एन-बॉडी समस्या का गेज समरूपता।" जर्नल ऑफ़ मैथमेटिकल फ़िज़िक्स , 44.12: 5958-5977।

वायट (2006-2009), ग्रैजुएट सिस्टम पर ग्रेजुएट लेक्चर कोर्स, इंस्टीट्यूट ऑफ एस्ट्रोनॉमी, कैम्ब्रिज।
लैग्रेंज ग्रह समीकरणों के परिणाम स्लाइड 6 पर प्रस्तुत किए गए हैं।

केचम एट अल। (2013), "एक्सोप्लेनेट सिस्टम्स में मीन मोशन रेजोनेंस: एन इन्वेस्टिगेशन इन नोडिंग बिहेवियर।" द एस्ट्रोफिजिकल जर्नल 762.2।

Answer 2

केवल वास्तविक रूप से मुखर दीर्घवृत्तीय कक्षा केंद्रीय संभावित में एक बाध्य परीक्षण कण है या समकक्ष, दो बिंदुओं की तरह (गोलाकार सममित आंतरिक द्रव्यमान वितरण के साथ) जनता न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण (और नकारात्मक होने) के लिए एक दूसरे को आकर्षित करती है। कुल ऊर्जा, यानी एक दूसरे से बंधे रहना)।$-k/r$

बाकी सब कुछ गैर-अण्डाकार (अनबाउंड ऑर्बिट्स परवलयिक या हाइपरबोलिक हैं), लेकिन अधिकांश विचलन छोटे हैं। छोटे विचलन कई स्रोतों से उत्पन्न हो सकते हैं, जिसमें निकायों के बड़े पैमाने पर वितरण (कण सूर्य में), गैर-गुरुत्वाकर्षण बल (धूल के दाने पर विकिरण दबाव और गैस खींचें), गैर-न्यूट्रियन (जीआर) प्रभाव सहित चौथा पद शामिल हैं, अन्य वस्तुओं (सभी अन्य ग्रहों) से गड़बड़ी। न्यूटन स्वयं इस अंतिम प्रभाव से अच्छी तरह वाकिफ थे।

यदि विचलन छोटे होते हैं, तो उनका अनुमान लगाने का पारंपरिक तरीका है, गड़बड़ी सिद्धांत , जहां एक अपरंपरागत (अण्डाकार) कक्षा के साथ गड़बड़ी बल को एकीकृत करता है। उदाहरण के लिए, परिधि की पूर्वता प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति विलक्षण वेक्टर के परिवर्तनों को एकीकृत कर सकता है। उस सदिश का एक चक्कर पेरीएप्स प्रीसेशन से मेल खाता है। इस सवाल का मेरा जवाब देखें , बिल्कुल उसी के उदाहरण के लिए।

Answer 3

डेविड हैमेन ने लिखा

लोग ज्यामितीय एकीकरण तकनीकों के साथ युग्मित ग्रह समीकरणों का उपयोग कर रहे हैं ...

आप ऑब्जेक्ट मास, पोजीशन, वेलोसिटी और एक्सेलेरेशन पर काम करने के लिए न्यूटन के नियमों का उपयोग करते हुए एक साधारण परिमित-स्टेप सिमुलेशन का भी प्रयास कर सकते हैं। मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह डेविड "ज्यामितीय एकीकरण तकनीकों" के अंतर्गत आता है। मेरा कहना है कि आप इसे ग्रहों के समीकरणों को शामिल किए बिना कर सकते हैं। नुकसान = सिम्युलेटर सन्निकटन का उपयोग करके "कोनों को काटता है" और यह उस मॉडल में व्यवहार की ओर जाता है जो कलाकृतियों हैं। अन्य तकनीकों का उपयोग करके इन नुकसानों को दूर किया जा सकता है। फायदा = यह कोड डिजाइन को आसान बनाता है, यह संदेह को टालता है कि ग्रह समीकरण (और उनकी धारणाएं) शो को चला रहे हैं।

सौर प्रणाली में कक्षाओं में न्यूटनियन रियायत को कुछ शताब्दियों तक बनाए रखने के लिए सरल लेपफ्रॉग इंटीग्रेशन तकनीक ( फेनमैन लेक्चर्स आई में विस्तार से वर्णित ) का उपयोग करने के लिए आपको संख्यात्मक तरीकों का विशेषज्ञ होने की आवश्यकता नहीं है। विभिन्न समय चरणों में सिमुलेशन चलाकर (जैसे ) एक्सेल में परिणामों की साजिश एक वक्र फिटिंग और लिए एक्सट्रपलेटिंग$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$आप लंबे समय तक औसत न्यूटोनियन रियायत के लिए परिणाम प्राप्त कर सकते हैं जो स्वीकृत आंकड़ों के 1% के भीतर हैं। विश्लेषणात्मक तरीकों पर एक और फायदा जो दीर्घकालिक औसत परिणाम उत्पन्न करता है, वह यह है कि आप कम समय के पैमाने पर व्यवहार की जांच कर सकते हैं। उदाहरण के लिए यदि आप किसी निश्चित ग्रह (जैसे बुध) के लिए समय बनाम दिशा का ग्राफ बनाते हैं, तो आप सूर्य के चारों ओर बृहस्पति की गति से उत्पन्न होने वाली पूर्व दर में वर्ष की आवधिक उतार-चढ़ाव देख सकते हैं। यह बहुत मजेदार है (और बहुत आसान है एक बार जब आपने मूल कोड लिखा है) "तो क्या होगा?" सिस्टम में निकायों की संख्या और गुणों को अलग करके और यहां तक ​​कि अतिरिक्त गैर-न्यूटनियन बलों को जोड़कर सिमुलेशन। $\approx 11.9$

फेमनन को उद्धृत करने के लिए: -

यह हो सकता है कि गणना के एक चक्र में, समस्या के आधार पर, हमारे पास 30 गुणा या ऐसा कुछ हो सकता है, इसलिए एक चक्र में 300 माइक्रोसेकंड होंगे। इसका मतलब है कि हम प्रति सेकंड 3000 चक्र गणना कर सकते हैं। एक अरब में एक हिस्सा, सटीकता, कहने के लिए, हमें सूर्य के चारों ओर एक ग्रह की एक क्रांति के अनुरूप 4 × 10 ^ 5 चक्र की आवश्यकता होगी। यह 130 सेकंड या लगभग दो मिनट की गणना समय से मेल खाती है। इस प्रकार, सूर्य के चारों ओर बृहस्पति का पालन करने में केवल दो मिनट लगते हैं, सभी ग्रहों के सभी गड़बड़ियों को एक बिलियन में एक हिस्से के लिए सही है, इस विधि से!

लेकिन आपको इस बात पर ध्यान से सोचना होगा कि आप सिमुलेशन से क्या भरोसा कर सकते हैं - उदाहरण के लिए यदि आपका समय-चरण कुछ सौ सेकंड से अधिक लंबा है तो अनुकरण विपरीत दिशा में पूर्व संकेत देगा जो वास्तव में होता है (अर्थात प्रतिगामी जब यह होता है प्रोग्रेस होना चाहिए)।

Comments

मुझे आपका उत्तर पसंद है और मैं उम्मीद करता हूं कि मैं जल्द ही कुछ समय के लिए इसे मजेदार बनाने की कोशिश करूंगा। ऐतिहासिक कारणों से मुझे लगा कि फेनमैन के मूल वाक्यों को शामिल करना अच्छा होगा।

— उहोह

@ लुह सौभाग्य। एक टिप: पेरीहेलियन (या एपेलियन) के पास 3 या 4 स्थिति / वेग के नमूनों पर न्यूटन-राल्फसन विधि का उपयोग करें, प्रत्येक पेरिहेलियन और एपेलियन के युग और कोण का अधिक सटीक अनुमान प्राप्त करने के लिए। अन्यथा आप एक प्रकार के अलियासिंग प्रभाव के कारण अपने परिणामों में एक मोटे आरी का शोर पैटर्न प्राप्त करेंगे।

— 15

ओह, मैं अपना "होमवर्क" करना भूल गया, ठीक है मैं कल देखूंगा। याद दिलाने के लिए शुक्रिया!

— उहोह