ग्रहीय पेरिहेलियन पूर्वकरण पर छोटे चर बल का प्रभाव निर्धारित करना

क्या न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण कानून के अनुसार 2 डी में सूर्य की परिक्रमा करने वाले किसी ग्रह की आकांक्षा की पूर्वगामी (सख्ती से पूर्व की स्थिति पर नहीं बल्कि आकृतियों की रेखा का रोटेशन) की दर पर एक छोटे से चर अनुप्रस्थ त्वरण के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए एक विश्लेषणात्मक तकनीक है। ?

मैंने दोहराव वाले कंप्यूटर मॉडल में इस तरह के प्रभाव डाले हैं और उन मापों को सत्यापित करना चाहूंगा।

अनुप्रस्थ त्वरण सूत्र है

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

कहाँ पे:-

c प्रकाश की गति है,

कश्मीर, 0 और +/- 3 के बीच परिमाण के एक निरंतर है ऐसी है कि $K/(c^2) << 1$ ।

न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के कारण सूर्य की ओर ग्रह का त्वरण है, ( $Ar = GM/r^2$ )।

Vr सूर्य के सापेक्ष ग्रह वेग का रेडियल घटक है (+ = सूर्य से दूर गति)

Vt सूर्य के सापेक्ष ग्रह के वेग का अनुप्रस्थ घटक है (इसके कक्षीय पथ के साथ ग्रह आगे की गति की दिशा)। सदिश रूप से Vt = V - Vr जहां V सूर्य के सापेक्ष ग्रह का कुल तात्कालिक वेग वेक्टर है।

ग्रह द्रव्यमान सूर्य के सापेक्ष छोटा है

कोई अन्य निकाय व्यवस्था में नहीं हैं

सभी गति और त्वरण कक्षा के द्वि-आयामी विमान तक ही सीमित हैं।

अपडेट करें

मेरे लिए यह दिलचस्प है कि यह कारण है कि मेरे कंप्यूटर मॉडल में K = +3 का मान सामान्य सापेक्षता द्वारा अनुमानित उन लोगों के 1% के भीतर बहुत ही करीब से (नॉन-न्यूटोनियन) पेरिअप्स रोटेशन रेट वैल्यू पैदा करता है। जिन्हें खगोलविदों (ली वेरियर, न्यूकॉम्ब द्वारा अपडेट किया गया) द्वारा देखा गया।

फॉर्मूला (आइंस्टीन, 1915) के लिए http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession 2.T से 2. GR-periapse रोटेशन (रेडियंस प्रति कक्षा)

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

अद्यतन 4

मैंने वाल्टर का जवाब स्वीकार कर लिया है। न केवल उन्होंने मूल प्रश्न का उत्तर दिया (क्या एक तकनीक है ...?) लेकिन उनके विश्लेषण से एक सूत्र भी बनता है जो न केवल अनुप्रस्थ त्वरण सूत्र (K = 3 के लिए) के कंप्यूटर-सिम्युलेटेड प्रभावों की पुष्टि करता है, बल्कि यह भी (अप्रत्याशित रूप से) मेरे लिए) अनिवार्य रूप से आइंस्टीन 1915 सूत्र के बराबर है।

वाल्टर के सारांश से (नीचे वाल्टर के उत्तर में): -

: (पहले आदेश याचिका के विश्लेषण से) अर्ध-प्रमुख अक्ष और सनकीपन अपरिवर्तित होते हैं, लेकिन परिधि की दिशा दर की कक्षा में घूमती है जहां कक्षीय आवृत्ति और है साथ अर्द्ध प्रमुख धुरी। ध्यान दें कि ( ) यह सामान्य सापेक्षता (जीआर) के साथ क्रम (आइंस्टीन 1915 द्वारा दिया गया) पर निर्भर करता है।

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
स्रोत

क्या आप अब भी जवाब मांग रहे हैं?

— वाल्टर

@Walter। हां मैं हूं। मैंने Phys.stackexchange.com/questions/123685/… पर इसी तरह का सवाल पूछा है, लेकिन अभी तक कोई ठोस जवाब नहीं मिला है।

— स्टीववे

@Walter। मैंने math.stackexchange.com/questions/866836/… पर भी पूछा ।

— स्टीववे

हां, की सीमा में वैध लगभग विश्लेषणात्मक विधियां (गड़बड़ी सिद्धांत) हैं । शायद आप अपने प्रश्न को थोड़ा स्पष्ट कर सकते हैं। अनुप्रस्थ त्वरण की दिशा क्या है (मैं तात्कालिक वेग के लंबवत अर्थ के लिए 'अनुप्रस्थ' को समझता हूं, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि त्वरण कक्षा या लंबवत या मिश्रण के विमान में है)।

K ≪ 1

$K\ll1$

— वाल्टर

गणित और (भौतिकी) पर यहाँ आपके प्रश्न में अंतर है: यहाँ अनुप्रस्थ त्वरण रेडियल त्वरण के समानुपाती है और एक आयाम रहित संख्या है, वहाँ पर रेडियल त्वरण का अनुप्रस्थ त्वरण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है और को एक होना चाहिए त्वरण (हालांकि आप 'संख्या' के बारे में बात करते हैं)।

K

$K$

K

$K$

— वाल्टर

आप गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करना चाह सकते हैं । यह आपको केवल अनुमानित उत्तर देता है, लेकिन विश्लेषणात्मक उपचार की अनुमति देता है। आपके बल को केप्लरियन अण्डाकार कक्षा में एक छोटा सा चक्कर माना जाता है और शक्तियों में गति के परिणामस्वरूप समीकरणों का विस्तार होता है । रैखिक गड़बड़ी सिद्धांत के लिए, केवल में रैखिक शब्द ही बनाए रखे जाते हैं। यह बस unperturbed मूल कक्षा के साथ गड़बड़ी को एकीकृत करने की ओर जाता है। एक सदिश के रूप में अपना बल लिखते हुए, त्वरण with रेडियल वेलोसिटी ( ) और $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ वेग का घूर्णी घटक ( पूर्ण वेग माइनस रेडियल वेग)। यहाँ, ऊपर दिया गया डॉट एक समय व्युत्पन्न और एक टोपी को वेक्टर से दर्शाता है।

अब, यह निर्भर करता है कि ' प्रभाव ' से आपका क्या मतलब है । आइए काम कक्षीय अर्ध दीर्घ अक्ष के परिवर्तन बाहर , सनक , और periapse की दिशा। $a$ $e$

नीचे दिए गए परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए : अर्ध-प्रमुख अक्ष और सनकीपन अपरिवर्तित हैं, लेकिन परिधि की दिशा दर पर कक्षा की कक्षा में घूमती है जहां कक्षीय आवृत्ति और है साथ अर्द्ध प्रमुख धुरी। ध्यान दें कि ( ) यह सामान्य सापेक्षता (GR) की पूर्ववर्ती दर पर आदेश (आइंस्टीन द्वारा 1915 में दिए गए लेकिन मूल प्रश्न में वर्णित नहीं है ) से सहमत है ।

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

सेमीमाजर अक्ष का परिवर्तन

संबंध से (साथ कक्षीय ऊर्जा) हम के परिवर्तन के लिए है एक बाहरी की वजह से (गैर-केप्लरियन) त्वरण सम्मिलित करना (ध्यान दें कि कोणीय गति वेक्टर के साथ ), हमें चूँकि किसी भी फंक्शन (नीचे देखें), लिए orbit औसत । $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

सनकीपन का परिवर्तन

से , हम पाते हैं हम पहले से ही जानते हैं कि , इसलिए केवल पहले शब्द पर विचार करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, जहाँ मैंने पहचान और तथ्य $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ । फिर से और इसलिए ।

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

पेरीपेज़ की दिशा में परिवर्तन

सनक वेक्टर परिमाण अंक periapse की दिशा में (गुरुत्वाकर्षण का केंद्र से), है , और केप्लर की गति के तहत संरक्षित है (एक अभ्यास के रूप में सभी को मान्य करें!)। इस परिभाषा से हमें बाहरी त्वरण कारण इसके तात्कालिक परिवर्तन का पता $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ जहाँ मैंने पहचान और तथ्य । इन अभिव्यक्ति की कक्षा औसत को नीचे दिए गए परिशिष्ट में माना गया है। यदि हम अंत में सब कुछ एक साथ करते हैं, तो हमें साथ [ फिर से सही किया गया ] यह कोणीय आवृत्ति साथ कक्षा के तल में चक्कर का एक चक्कर है। विशेष रूप से

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ हमारी पिछली खोज के साथ समझौते में ।

यह न भूलें कि प्रथम-क्रम गड़बड़ी सिद्धांत के हमारे उपयोग के कारण ये परिणाम केवल सीमा में सख्ती से सही हैं । दूसरे क्रम गड़बड़ी सिद्धांत में, हालांकि, दोनों और / या बदल सकते हैं। अपने संख्यात्मक प्रयोगों में, आपको यह पता लगाना चाहिए कि और के ऑर्बिट-एवरेज्ड परिवर्तन या तो शून्य हैं या पेर्टेब्रेशन आयाम साथ रैखिक की तुलना में अधिक मजबूत हैं । $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

अस्वीकरण कोई गारंटी नहीं है कि बीजगणित सही है। इसे जाँचे!

परिशिष्ट: कक्षा औसत

की ऑर्बिट एवरेज (लेकिन पूर्णांक) फ़ंक्शन के साथ किसी भी प्रकार की आवधिक कक्षा के लिए सीधे गणना की जा सकती है। चलो के antiderivative होना , यानी , तो कक्षा औसत है: के साथ कक्षीय अवधि। $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

में आवश्यक औसत कक्षा के लिए , हमें थोड़ा गहरा खुदाई करना चाहिए। दीर्घवृत्तीय कक्षा के लिए विलक्षण वेक्टर और एक वेक्टर लंबित to और । यहाँ, विलक्षण विसंगति है, जिसका अर्थ है विसंगति माध्यम से जैसे कि $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ और एक कक्षा औसत बन जाता है समय व्युत्पन्न (ध्यान दें कि ) , हम तात्कालिक ( ) कक्षीय वेग जहाँ मैंने , अर्धवृत्ताकार अक्ष के साथ वृत्ताकार कक्षा की गति । इससे हम रेडियल वेग पाते हैं

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ और घूर्णी वेग

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

इनके साथ, हमने [ फिर से सुधारा ] विशेष रूप से, दिशा में घटक औसत शून्य तक। इस प्रकार [ फिर से सही ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— वाल्टर
स्रोत

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— called2voyage