मिफ का जवाब निश्चित रूप से सुरुचिपूर्ण है। चूंकि मेरे पास मेरा लगभग पूरा था, वैसे भी मैं इसे फिर भी प्रदान करता हूं। अच्छी बात यह है कि मुझे n = 500 :-) के लिए समान परिणाम मिलेगा
बता दें कि विभिन्न वर्णों की संख्या की अनुमति है, आपके मामले में d = 4 है।
चलो n की लंबाई स्ट्रिंग है, अंततः आप एन के मूल्यों को देख रहे होंगे।
चलो एक स्ट्रिंग में अनपेक्षित वर्णों की संख्या हो।
N (n, d, u) लंबाई n के तारों की संख्या हो, d विभिन्न वर्णों से निर्मित हो और u unpaired वर्ण हो। चलो N की गणना करने का प्रयास करते हैं।
अवलोकन करने के लिए काफी कुछ कोने मामले हैं:
u> d या u> n => N = 0
u <0 => N = 0
n% 2! = u% 2 => N = 0।
जब n से n + 1 की ओर बढ़ते हैं, तो u को 1 से बढ़ाना चाहिए या 1 से घटाना चाहिए, इसलिए हमारे पास इसके अनुसार एक पुनरावृत्ति है
एन (एन, डी, यू) = एफ (एन (एन -1, डी, यू -1), एन (एन -1, डी, यू + 1))
यू को एक से कम करने के कितने तरीके हैं। यह एक आसान है, क्योंकि हमें यू अनपायर कैरेक्टर्स में से एक को पेयर करना है, जो इसे सिर्फ यू बनाता है। तो च का दूसरा भाग (u + 1) * N (n-1, d, u + 1) पढ़ेगा, निश्चित रूप से इस चेतावनी के साथ कि हमें उस N = 0 का अवलोकन करना चाहिए, यदि u + 1> n-1 या u +1> डी।
एक बार जब हम इसे समझ जाते हैं, तो यह देखना आसान होता है कि f का पहला भाग क्या है: u-1 अनपेक्षित वर्ण होने पर हम कितने तरीकों से यू बढ़ा सकते हैं। ठीक है, हम में से एक चुनना (k- (यू -1)) वर्ण जो जोड़ा जाता है।
तो सभी कोने के मामलों को ध्यान में रखते हुए, एन के लिए पुनरावर्ती सूत्र है
एन (एन, डी, यू) = (डी- (यू -1)) * एन (एन -1, डी, यू -1) + (यू + 1) * एन (एन -1, डी, यू + 1)
मैं http://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_Mathematics में पढ़ने नहीं जा रहा हूं कि कैसे पुनरावृत्ति को हल किया जाए।
इसके बजाय मैं कुछ जावा कोड लिखा था। फिर से थोड़ा और अनाड़ी, जैसा कि जावा वैसे भी इसकी वाचालता के कारण है। लेकिन मेरी प्रेरणा थी कि मैं पुनरावृत्ति का उपयोग न करूं, क्योंकि यह कम से कम जावा में, कम से कम जावा में टूट जाता है, जब स्टैक 500 या 1000 घोंसले के स्तर पर ओवरफ्लो हो जाता है।
एन = 500, घ = 4 और यू = 0 है के लिए परिणाम:
एन (500, 4, 0) = 1339385758982834151185531311325002263201756014631917009304687985462938813906170153116497973519619822659493341146941433531483931607115392554498072196838958545795769042788035468026048125208904713757765805163872455056995809556627183222337328039422584942896842901774597806462162357229520744881314972303360
मध्यवर्ती परिणामों को याद करने के कारण 0.2 सेकंड में गणना की गई। N (40000,4,0) 5 सेकंड से कम समय में गणना करता है। यहाँ भी कोड: http://ideone.com/KvB5Jv
import java.math.BigInteger;
public class EvenPairedString2 {
private final int nChars; // d above, number of different chars to use
private int count = 0;
private Map<Task,BigInteger> memo = new HashMap<>();
public EvenPairedString2(int nChars) {
this.nChars = nChars;
}
/*+******************************************************************/
// encodes for a fixed d the task to compute N(strlen,d,unpaired).
private static class Task {
public final int strlen;
public final int unpaired;
Task(int strlen, int unpaired) {
this.strlen = strlen;
this.unpaired = unpaired;
}
@Override
public int hashCode() {
return strlen*117 ^ unpaired;
}
@Override
public boolean equals(Object other) {
if (!(other instanceof Task)) {
return false;
}
Task t2 = (Task)other;
return strlen==t2.strlen && unpaired==t2.unpaired;
}
@Override
public String toString() {
return "("+strlen+","+unpaired+")";
}
}
/*+******************************************************************/
// return corner case or memorized result or null
private BigInteger getMemoed(Task t) {
if (t.strlen==0 || t.unpaired<0 || t.unpaired>t.strlen || t.unpaired>nChars
|| t.strlen%2 != t.unpaired%2) {
return BigInteger.valueOf(0);
}
if (t.strlen==1) {
return BigInteger.valueOf(nChars);
}
return memo.get(t);
}
public int getCount() {
return count;
}
public BigInteger computeNDeep(Task t) {
List<Task> stack = new ArrayList<Task>();
BigInteger result = null;
stack.add(t);
while (stack.size()>0) {
count += 1;
t = stack.remove(stack.size()-1);
result = getMemoed(t);
if (result!=null) {
continue;
}
Task t1 = new Task(t.strlen-1, t.unpaired+1);
BigInteger r1 = getMemoed(t1);
Task t2 = new Task(t.strlen-1, t.unpaired-1);
BigInteger r2 = getMemoed(t2);
if (r1==null) {
stack.add(t);
stack.add(t1);
if (r2==null) {
stack.add(t2);
}
continue;
}
if (r2==null) {
stack.add(t);
stack.add(t2);
continue;
}
result = compute(t1.unpaired, r1, nChars-t2.unpaired, r2);
memo.put(t, result);
}
return result;
}
private BigInteger compute(int u1, BigInteger r1, int u2, BigInteger r2) {
r1 = r1.multiply(BigInteger.valueOf(u1));
r2 = r2.multiply(BigInteger.valueOf(u2));
return r1.add(r2);
}
public static void main(String[] argv) {
int strlen = Integer.parseInt(argv[0]);
int nChars = Integer.parseInt(argv[1]);
EvenPairedString2 eps = new EvenPairedString2(nChars);
BigInteger result = eps.computeNDeep(new Task(strlen, 0));
System.out.printf("%d: N(%d, %d, 0) = %d%n",
eps.getCount(), strlen, nChars,
result);
}
}