उनके अनुकूलन चरण के दौरान शक्तिशाली चीजों में से एक कंपाइलर करने में सक्षम हैं, समकक्ष लोगों के लिए अक्षम अभ्यावेदन को स्वैप करना है। उदाहरण के लिए, हास्केल में आप संख्याओं की संख्या की गणना करने के लिए एक आलसी सूची का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन जीएचसी हास्केल संकलक यह पहचान लेगा कि यह अस्थायी चर के साथ पुनरावृत्ति का उपयोग करने के बराबर है। इस तरह, आपको एक सरल अमूर्तता के खिलाफ कार्यक्रम करना है, जिसके बारे में तर्क करना आसान है, जबकि आपका निष्पादन योग्य हार्डवेयर प्लेटफ़ॉर्म के लिए बेहतर प्रतिनिधित्व का लाभ उठाता है (और यह बड़े पैमाने पर तर्क करने के लिए बहुत कठिन होता है)।
हालांकि, संकलक के लिए जाने वाले समतुल्य ज्यादातर अच्छी तरह से ज्ञात और शोधित डेटा संरचनाओं तक सीमित हैं, जैसे सूचियों के लिए धारा संलयन। आप स्रोत कोड में अपने स्वयं के समतुल्य को परिभाषित कर सकते हैं (किसी भी दिशा में पहचान करने के लिए रूपांतरण कार्यों की एक जोड़ी का उपयोग करके), लेकिन आपको उन्हें मैन्युअल रूप से लागू करना होगा, और यह सभी स्थानों में उपयोग करने के लिए सही प्रकार का चयन करने के लिए मुश्किल हो सकता है। अत्यधिक रूपांतरण से बचने के लिए।
अब एक ऐसी दुनिया की कल्पना करते हैं जहां आपको "उच्च आगमनात्मक प्रकार" को परिभाषित करने के लिए मिलता है, एक विहित लुकअप नक्शा कहते हैं। इस प्रकार के विभिन्न प्रकार के मानचित्रों के लिए कई निर्माता हैं: द्विआधारी खोज, एवीएल, रेड-ब्लैक, ट्राई, पेट्रीसिया, आदि। विशिष्ट डेटा निर्माणकर्ताओं के साथ, आप इन अभ्यावेदनों के बीच संभवतः कई रूपांतरणों को कैप्चर करने वाले एक तुल्यता प्रकार को परिभाषित करते हैं, जहाँ अलग-अलग होते हैं। रूपांतरण दक्षता के विभिन्न आयाम प्रदान करते हैं (अर्थात, समय बनाम मेमोरी)।
क्या होगा यदि कंपाइलर इस धारणा का उपयोग पारदर्शी रूप से मानचित्र अभ्यावेदन को फिर से लिखने में सक्षम था, उसी तरह यह आज सूची भ्रम के साथ कर सकता है? इस बीच, आपके कोड में आपको उस निर्माण के साथ काम करना है जो कि (जिस तरह के वातावरण में हैं, उसके बारे में तर्क करना सबसे आसान है और सबूत के काम को आसान बनाता है)। यह कई कार्यान्वयनों के साथ एक अमूर्त इंटरफेस की तरह लग सकता है, लेकिन इसमें किसी भी कार्यान्वयन को चुनने की स्वतंत्रता शामिल है और कार्यक्रम के अर्थ को प्रभावित किए बिना संकलक को पारदर्शी रूप से दूसरे स्थान पर प्रतिस्थापित करना है।
HoTT हमें इस फैंसी पुनर्लेखन तंत्र और इन समृद्ध रूप से परिभाषित प्रकारों को सही ठहराने के लिए एक प्रकार का सिद्धांत देता है, क्योंकि यह समानता के समकक्ष होने की धारणा को बढ़ावा देता है। यह देखा जाना बाकी है कि यह वास्तव में व्यवहार में कैसे चलेगा, लेकिन यह हमें सैद्धांतिक ढांचा देता है, जिस पर भविष्य के काम को आधार बनाया जा सकता है।