बड़े कदम के साथ अंतर का उपयोग करके एक संकेत के चिकने व्युत्पन्न की गणना करना = आयताकार खिड़की के साथ कायल करना

Question

मेरे पास पर एक सिग्नल है, जहाँ मैं = 0..n-1 है। मैं संकेत के पहले व्युत्पन्न को खोजना चाहता हूं: f '(t)।$\Delta t: fi(ti=i\Delta t)$

मेरा पहला विचार केंद्रीय अंतर से यह अनुमान लगाना था:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+1})−f(t_{i−1})}{2\Delta t}$

हालांकि सिग्नल में बहुत अधिक आवृत्ति वाला शोर हो सकता है जो एफ में त्वरित उतार-चढ़ाव का कारण हो सकता है। मुझे लगता है कि उचित बात यह हो सकती है कि विंडो फ़ंक्शन जैसे, हनी के साथ बातचीत करके सिग्नल को सुचारू किया जाए और फिर मतभेदों से व्युत्पन्न का पता लगाया जाए।

एक सहकर्मी ने व्युत्पन्न के एक सुचारू अनुमान को खोजने का एक तेज़ तरीका सुझाया: 2n नमूनों पर एक केंद्रीय अंतर का उपयोग करें, जहां 1%:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+n})−f(t_{i−n})}{2n\Delta t}$

यह निश्चित रूप से एक खिड़की समारोह के साथ पहले समझाने की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से तेज़ होगा लेकिन क्या यह एक अच्छा समाधान है?

यदि हम योग बनाते हैं:

$S=2\Delta t[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

और चरण साथ केंद्रीय अंतर द्वारा प्रत्येक व्युत्पन्न का विस्तार करें :$\Delta t$

$S=f(t_{i-n+2})-f(t_{i-n})+f(t_{i-n+3})-f(t_{i-n+2})+..+f(t_{i+n})-f(t_{i+n-2})$

दो रद्द को छोड़कर सभी शर्तें:

$S=f(t_{i+n})-f(t_{i-n})=2n\Delta tf'(t_i)$

इसलिए:

$f'(t_i)=\frac{1}{n}[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

तो 2n नमूनों पर केंद्रीय अंतर लेना पहले 2n - 2 आकार के आयताकार खिड़की द्वारा पहले समझाने के बराबर है और फिर +/- 1 नमूना पर केंद्रीय अंतर लेना।

आयताकार खिड़की के साथ चिकना करना कितना "बुरा" है?

यदि हम एफएफटी लेते हैं तो यह "रिंगिंग" का कारण बनेगा, लेकिन हमें एफएफटी लेने की आवश्यकता नहीं है।

किसी भी जवाब के लिए अग्रिम धन्यवाद!

Answer 1

यह आम तौर पर संभालने के लिए एक कठिन सवाल है। एक आयताकार खिड़की के साथ चिकनाई का उपयोग हर समय किया जाता है (अक्सर इसे "चलती औसत" कहा जाता है), इसलिए यह जरूरी नहीं कि एक समस्या है। मुझे यकीन नहीं है कि आप किस रिंगिंग का उल्लेख कर रहे हैं, शायद आयताकार खिड़की के आवृत्ति प्रतिक्रिया के साइडबॉल्स।

भेदभाव स्वाभाविक रूप से एक हाईपास ऑपरेशन है; आदर्श निरंतर-समय विभेदक का स्थानांतरण कार्य है:

$$H(s) = s$$

ताकि इसकी परिमाण प्रतिक्रिया है:

$$|H(j\omega)| = \omega$$

एक विभेदक का लाभ इसलिए आवृत्ति के साथ एकात्मक रूप से बढ़ता है। यदि आपके सिग्नल में उच्च-आवृत्ति वाला शोर है, तो एक विभेदक को लागू करके इसे प्रवर्धित किया जा सकता है। इससे निपटने के लिए, दो दृष्टिकोण स्पष्ट हैं:

• एक अधिक परिष्कृत विभेदक फ़िल्टर डिज़ाइन करें जिसमें बैंड के हिस्से पर वांछित रैखिक परिमाण प्रतिक्रिया हो जो आपकी रुचि के संकेत को कवर करती है, फिर उच्च आवृत्तियों पर तेजी से भाग लेती है। आप उदाहरण के लिए, कम से कम वर्ग विधियों या आवृत्ति-नमूना विधि का उपयोग करके इस तरह के एक फिल्टर को डिजाइन कर सकते हैं।

• एक कैस्केड दृष्टिकोण का उपयोग करें जहां आप पहली बार उच्च-आवृत्ति वाले शोर को दबाते हैं जिसे आप एक लोपास फ़िल्टर का उपयोग कर सकते हैं, फिर विभेदक के साथ पालन करें। विभेदक की आवृत्ति कवरेज को तंग करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि लोअरपास फ़िल्टर आउट-ऑफ-बैंड शोर को समाप्त कर देगा।

यदि आप रैखिक फिल्टर का उपयोग कर रहे हैं तो विधियां लगभग समान होनी चाहिए; आप पहले एकल-फ़िल्टर दृष्टिकोण के बारे में सोच सकते हैं जैसे कि एक विभेदक का एक झरना और एक लोअरपास फ़िल्टर। जैसा कि आपने नोट किया, केंद्रीय-अंतर दृष्टिकोण इस तरह से मॉडल किया जा सकता है। किसी के लिए यह कहना कठिन है कि यह आपके आवेदन के किसी भी ज्ञान के बिना "बुरा" है। मेरा मुख्य विचार यह होगा कि यह "बुरा" है यदि चौरसाई ऑपरेशन स्पष्ट रूप से आपकी रुचि के संकेत को दर्शाता है, जैसे कि व्युत्पन्न अनुमान अब उपयोगी नहीं है। हालांकि, यदि सिग्नल के पैरामीटर ऐसे हैं कि आप सिग्नल को ध्यान से विकृत किए बिना शोर को सुचारू कर सकते हैं (यानी यदि सिग्नल अच्छी तरह से ओवरसम्पल्ड है), तो यह एक जीत हो सकती है।