कौन सा IIR एक गाऊसी फ़िल्टर अनुमानित करता है?

Question

इसलिए इसने हाल ही में मुझ पर यह आरोप लगाया कि अन्य सामान्य प्रकारों के साथ सूचीबद्ध होने के बावजूद बेसेल फिल्टर, वास्तव में एक ऑडबॉल है जो एक अलग "क्लास" से संबंधित है, और मैं इसके बारे में अधिक जानने की कोशिश कर रहा हूं।

आयताकार परिमाण प्रतिक्रिया आदर्श आवृत्ति डोमेन प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है, संक्रमण बैंड के लिए शून्य है और स्टॉपबैंड में अनंत क्षीणन है। दूसरी ओर, गॉसियन परिमाण प्रतिक्रिया, आदर्श समय-डोमेन प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है, जिसमें आवेग प्रतिक्रिया और चरण प्रतिक्रिया में कोई ओवरशूट नहीं होता है। व्यवहार में प्राप्त प्रतिक्रियाओं में से कई इन आदर्श लोगों के ^{स्रोत हैं}

तो एक ईंटवॉल फिल्टर एक सिनस फ़ंक्शन के साथ कनवल्शन होता है, और इन आवृत्ति डोमेन गुण हैं:

• फ्लैट पासबैंड
• जीरो स्टॉपबैंड
• अनंत रोल-ऑफ दर / कोई संक्रमण बैंड नहीं

यह दोनों दिशाओं में अनंत पूंछ के कारण गैर-कारण और अवास्तविक है। यह इन IIR फ़िल्टर द्वारा सन्निकटन है, क्रम बढ़ने के साथ सन्निकटन में सुधार होता है:

• बटरवर्थ (अधिकतम फ्लैट पासबैंड)
• Chebyshev (स्टॉपबैंड या पासबैंड रिपल के साथ अधिकतम रोल-ऑफ दर )
• अण्डाकार (स्टॉपबैंड और पासबैंड रिपल के साथ अधिकतम रोल-ऑफ दर )
• लीजेंड्रे (मोनोटोनिक पासबैंड के साथ अधिकतम रोल-ऑफ दर)

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गाऊसी फिल्टर एक गाऊसी समारोह के साथ घुमाव है, और इन समय डोमेन गुण है:

• शून्य ओवरशूट
• न्यूनतम वृद्धि और गिरने का समय
• न्यूनतम समूह में देरी

यह sinc फ़ंक्शन के समान कारणों के लिए अवास्तविक है, और इन IIR फ़िल्टर द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, ऑर्डर बढ़ने पर अधिक बारीकी से:

• ^{1 और 2 के अनुसार} बेसेल (अधिकतम फ्लैट समूह विलंब)

यहाँ एक गाऊसी धराशायी रेखा के साथ बढ़ते हुए क्रम के बेसेल फिल्टर मैंने केवल इसलिए उठाए क्योंकि यह ट्रेंड ( लिए उपयुक्त लगता था$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

तो मेरे सवाल हैं:

क्या अब तक सब कुछ सही है? यदि ऐसा है, तो क्या अन्य IIR फ़िल्टर हैं जो गॉसियन का अनुमान लगाते हैं? वे किसके लिए अनुकूलित हैं? शायद एक जो ओवरशूट को कम करता है?

यदि आप "IIR Gaussian" की खोज करते हैं, तो आप कुछ चीजें (Deriche; van Vliet?) पा सकते हैं, लेकिन मुझे नहीं पता कि क्या वे वास्तव में Bessel के समान हैं या यदि वे किसी अन्य संपत्ति के लिए अनुकूलन करते हैं, आदि।

Comments

वास्तव में, जब मैं कहता हूं "IIR" मुझे लगता है कि मैं वास्तव में "शारीरिक रूप से वास्तविक अनुरूप फिल्टर" का मतलब है?

— एंडोलिथ

Answer 1

Deriche और वैन Vliet फिल्टर heuristics हैं। दोनों ही मामलों में वे RMS अंतर को कम करने के लिए डंडे और शून्य के स्थानों को चुनते हैं या एक गाऊसी से फिल्टर के आवेग प्रतिक्रिया के अधिकतम अंतर को कम करते हैं।

दोनों फिल्टर कारण-विरोधी कारण जोड़े हैं। इसलिए मुझे लगता है कि उनके पास कोई चरण त्रुटि या समूह देरी नहीं है, लेकिन आपको उन्हें डेटा के साथ-साथ आगे की तरफ भी चलाने में सक्षम होने की आवश्यकता है। यह उन्हें इमेज प्रोसेसिंग में लोकप्रिय बनाता है, लेकिन शायद उनकी प्रयोज्यता को कहीं और सीमित कर देता है।

वे कागजात के धन से बेदखल कर रहे हैं कि उन्हें आंकने हैं। उदाहरण के लिए एक Google खोज (जब मैं Deriche पेपर के लिंक की तलाश कर रहा था) ने इस समस्या को हल करने की कोशिश की, जो कि Deriche derivative-of-Gaussian फ़िल्टर की ठीक 0 DC प्रतिक्रिया नहीं है। सीमा की स्थितियों को सही ढंग से शुरू करने के बारे में कुछ दिलचस्प मुद्दे भी हैं ।

मैंने निम्नलिखित अवलोकन को एक अच्छा संसाधन पाया है: डेव हेल, रिकर्सिव गाऊसी , लेटर्स , कोलोराडो स्कूल ऑफ माइन्स सेंटर फॉर वेव फेनोमेना रिपोर्ट CWP-546।

Answer 2

मुझे लगता है कि आपने असतत-समय IIR फ़िल्टर के लिए मौजूदा विश्लेषणात्मक समाधानों का एक अच्छा सारांश दिया है। लेकिन मैं आदर्श आवृत्ति-चयनात्मक फिल्टर विशेषताओं को सन्निकट करने वाले फिल्टर की सूची में बेसेल फिल्टर भी जोड़ूंगा। इसकी परिमाण प्रतिक्रिया समान क्रम के अन्य फिल्टर प्रकारों के रूप में तेज संक्रमण नहीं दिखाती है, लेकिन यह वह कीमत है जो आप पासबैंड में लगभग एक रैखिक चरण के लिए भुगतान करते हैं। इसलिए बेसेल फिल्टर एक आवृत्ति-चयनात्मक परिमाण प्रतिक्रिया और एक अच्छा चरण प्रतिक्रिया के बीच एक समझौता है।

IIR फिल्टर के साथ एक गाऊसी फिल्टर को सन्निकटित करने के लिए, मैं किसी भी विश्लेषणात्मक समाधान के बारे में नहीं जानता, इसके अलावा बेसेल फिल्टर का उल्लेख किया गया है। लेकिन ध्यान दें कि Bessel फ़िल्टर एक Gaussian फ़िल्टर का अनुमान लगाने के लिए नहीं था, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि यह वास्तव में इस तरह के फ़िल्टर को अंजाम देने में कितना अच्छा है। यदि आप वास्तव में इस उद्देश्य के लिए एक IIR फ़िल्टर चाहते हैं, तो मैं आपको गाऊसी फ़िल्टर के संख्यात्मक सन्निकटन के लिए जाने का सुझाव दूंगा। ऐसा करने के लिए कई विकल्प हैं।

आप फ़्रीक्वेंसी डोमेन में गॉसियन फ़िल्टर को अनुमानित करने का प्रयास कर सकते हैं। समस्या यह है कि आपको वांछित चरण प्रतिक्रिया के विषय में कुछ निर्णय लेना है। न्यूनतम चरण प्रतिक्रिया के साथ एक शुद्ध परिमाण का अनुमान बहुत खराब समय-डोमेन गुणों का परिणाम होगा। यदि आप एक रैखिक वांछित चरण निर्दिष्ट करते हैं, तो आपको एक जटिल सन्निकटन समस्या मिलती है (क्योंकि आप परिमाण और चरण के साथ जटिल आवृत्ति प्रतिक्रिया का अनुमान लगाते हैं)। हालांकि इस तरह की सन्निकटन समस्या को हल करने में काफी कठिन हो सकता है, साहित्य में मौजूद तरीके हैं।

एक सरल और संभवत: बेहतर तरीका यह है कि समय क्षेत्र में गॉसियन फ़िल्टर का अनुमान लगाया जाए। Prony का तरीका एक अच्छा शुरुआती बिंदु होगा।

कृपया ध्यान दें कि ये विषय पर सिर्फ मेरे विचार हैं। मैंने खुद IIR गाऊसी फिल्टर डिजाइन करने की कोशिश नहीं की है। मैं वास्तव में एफआईआर के कार्यान्वयन के लिए जाऊंगा जब तक कि इसके खिलाफ बहुत अच्छे कारण नहीं हैं।

संपादित करें: इस सवाल के विषय में कुछ और टिप्पणी कि क्या एक बेसेल फिल्टर एक गाऊसी का अनुमान लगाता है या नहीं। मैं किसी भी सार्थक त्रुटि मानदंड के बारे में नहीं जानता, जो कि बेसेल फिल्टर एक गाऊसी फिल्टर को अनुमानित करने में कम करता है। मुझे हालांकि इसके बारे में जानकर खुशी होगी। लोग दावा कर सकते हैं कि बेसेल फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया गौसियन के समान है, या इसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया एक गाऊसी के समान है, लेकिन मैंने अभी तक ऐसा कोई प्रमाण नहीं देखा है कि बेसेल फिल्टर किसी भी मायने में एक गौसियन को फ़िल्टर करता है, और यह अनुमान त्रुटि पर जाता है फ़िल्टर क्रम बढ़ने पर शून्य। मैं इनकार नहीं करता कि यह अन्य मानक फिल्टर (बटरवर्थ, चेबीशेव, आदि) की तुलना में गॉसियन के समान है, लेकिन यह सवाल के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।

ऑक्टेव (फ़ंक्शन बेज़ेल) में डिज़ाइन किए गए बेसेल फिल्टर (ऑर्डर 5, 10, 15, 20) के आवेग प्रतिक्रियाओं के चार भूखंडों के नीचे देखें। जैसा कि आप देख सकते हैं, पूंछ में रिंगिंग बढ़ते फिल्टर ऑर्डर के साथ कम नहीं होती है, और मैं नहीं देखता कि ये फिल्टर कैसे एक गाऊसी को अनुमानित करते हैं, और यदि ऐसा है, जिसके अनुसार इष्टतमता मानदंड। हालांकि, अगर कोई मुझे इस बारे में बता सकता है, तो मैं खुश हो सकता हूं।

Comments

मैं इसे इस तरह की जगहों से प्राप्त कर रहा हूं: "Bessel-Thomson फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया एक गाऊसी की ओर जाती है क्योंकि फ़िल्टर क्रम बढ़ जाता है" robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/SP/l3.pdf "An एनालॉग Bessel फ़िल्टर एक गाऊसी फ़िल्टर के लिए एक सन्निकटन है, और जैसे ही फ़िल्टर क्रम बढ़ता है, सन्निकटन में सुधार होता है। " dsprelated.com/showmessage/130958/1.php

— Endolith

... और चूंकि एक गाऊसी के फूरियर रूपांतरण एक गाऊसी है, मुझे नहीं लगता कि यह कहना सही है कि यह दूसरों की तरह एक ईंट की प्रतिक्रिया का दृष्टिकोण है।

— एंडोलिथ

एक गाऊसी के फूरियर रूपांतरण एक गाऊसी है, इस बारे में कोई संदेह नहीं है। लेकिन हम बेसेल फिल्टर के बारे में बात कर रहे हैं, जो - जहाँ तक मुझे पता है - किसी भी सार्थक तरीके से गौसियन का अनुमान नहीं है। अधिक जानकारी जोड़ने के लिए मैंने अपना उत्तर संपादित किया।

— मैट एल।

इस बारे में प्रश्न करने के लिए कुछ और विवरण जोड़े। क्या आप तने के बजाय लाइन प्लॉट के रूप में और उसी वाई अक्ष के साथ अपने भूखंडों को फिर से कर सकते हैं? ऐसा लगता है कि यह ऑर्डर के साथ आकार बदल रहा है लेकिन यह बताना मुश्किल है।

— एंडोलिथ

मैंने 60 तक ऑर्डर करने के लिए बेसल फिल्टर की गणना करने की कोशिश की और गाऊसी लोगों द्वारा उनकी आवेग प्रतिक्रियाओं को फिट किया, और हालांकि मेरा कोड कच्चा है, वे गौसियन से संपर्क करने लगते हैं, "अंडरशूट" घटने और आदेश के बाद त्रुटि कम होने के साथ। 10 वाँ क्रम: imgur.com/1qNsHeg 60 वाँ क्रम: imgur.com/BgmFzZp आदेश बढ़ने पर त्रुटि: imgur.com/cpHDDJs गणना गलत हो सकती है, हालाँकि। आपने अपनी गणना कैसे की?

— एंडोलिथ