क्या एक असममित बर्नौली मैट्रिक्स आरआईपी को संतुष्ट करता है?

Question

परिभाषित करें a $n\times N$ संवेदन मैट्रिक्स $A$ द्वारा $A_{ij} = 0$ संभावना के साथ $p$, तथा $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ संभावना के साथ $1-p$। कर देता है$A$प्रतिबंधित सममिति संपत्ति से संतुष्ट है ?

संदर्भ के लिए, निम्नलिखित पेपर में सममित मामले का जवाब दिया गया है:

RG Baraniuk, MA Davenport, RA DeVore, और MB Wakin, "यादृच्छिक मैट्रिस के लिए प्रतिबंधित सममितीय संपत्ति का एक सरल प्रमाण," रचनात्मक अनुमोदन, 28 (3) पीपी 253-263, दिसंबर 2008। ( पीडीएफ )

Comments

यह एक संकेतक हो सकता है: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (दुर्भाग्य से, यह भुगतान किया गया है और मुझे इसकी OA प्रति नहीं मिली है)। मुझे कागज के बारे में विस्तार से नहीं पता है, लेकिन मैं एक त्वरित नज़र से देख सकता हूं कि वे सामान्य मामले को नहीं मानते हैं जैसा कि आप पूछते हैं; वे पी = 1/2 मानते हैं। इसके अलावा, मुझे नहीं पता कि वे इस तरह के मेट्रिप के आरआईपी के बारे में कितने अच्छे हैं।

— थॉमस अरिल्डसन

यह एक संकेत भी हो सकता है: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (पृष्ठ 98)। दुर्भाग्य से, ऐसा लगता है कि वह जिसे बर्नौली यादृच्छिक चर कहते हैं, वह यादृच्छिक हैं +/- 1 - नहीं 0/1 (मैं इन रेडीमर को कॉल करूंगा)।

— थॉमस अरिल्डसन

मुझे आँकड़े पर समान पोस्ट (अब हटाए गए) पर किए गए एक टिप्पणी के सार को दोहराने की अनुमति दें। यह इस प्रश्न को और अधिक सटीक बनाने में मदद करेगा और इंगित करेगा कि वास्तव में आप क्या रुचि रखते हैं और क्या आप अनुकूलन के लिए संघर्ष कर रहे हैं। @ थोमस की टिप्पणी प्रासंगिक है; हम भी विरलता का क्या डिग्री (यानी, आदेश) नहीं जानते कि तुम में रुचि रखने वाले होते हैं। यहां तक कि अगर हम Rademacher कार्यों पर विचार करें, इस सवाल का जवाब स्पष्ट रूप से है कोई किसी भी वर्दी में (में$p$) भावना, चलो के लिए $p$ होना $1$(या, पर्याप्त रूप से पास) ताकि एक सबमेट्रिक्स होने की (उच्च संभावना) सभी हो। (cont।)

— कार्डिनल

एक क्रम चुनकर $p_n \in (0,1)$ के एक समारोह के रूप में $n$, यह कुछ के लिए सच हो जाएगा $p$किसी भी आकार के मैट्रिक्स के लिए। दूसरी ओर, नियत के लिए $p$, अगर, हम निर्माण को संशोधित करते हैं ताकि $A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$ संभावना के साथ $p$ तथा $-p/\sqrt{n}$ संभावना के साथ $(1-p)$, तो इसका उत्तर स्पष्ट रूप से हाँ है , इसके लिए शून्य-माध्य सबगॉसियन रैंडम मैट्रिस से संबंधित सामान्य सिद्धांत से बहुत अधिक है।

— कार्डिनल

धन्यवाद @cardinal, मैट्रिक्स $A$शून्य-माध्य नहीं है, लेकिन सबगॉसियन यादृच्छिक मैट्रिसेस का सिद्धांत इस प्रश्न का उत्तर देता है। मैं सोच रहा था कि कैसे$A$ दिए गए RIP को संतुष्ट कर सकता है यह आदर्श को संरक्षित नहीं करता है, लेकिन यह स्पष्ट है कि एक उपयुक्त स्केलिंग है $A$वह करता है

— ओलिविया

Answer 1

जैसा कि अन्य ने टिप्पणियों में कहा है, इसका उत्तर "नहीं" है। मैट्रिक्स का गैर-शून्य मतलब यह बताता है कि एक नॉनजरो मतलब वेक्टर (कहते हैं, सभी वाले), शून्य मतलब के साथ एक यादृच्छिक वेक्टर की तुलना में काफी अधिक लाभ होगा (समान रूप से यादृच्छिक + 1, -1 कहें)।

ए के वर्ग मान पर विचार करें एक स्थिर वेक्टर y के n * (p * N) ^ 2 होने की उम्मीद है। (उम्मीदों का पुनरावृत्ति)

एक बार (-1, + 1) से समान रूप से खींची गई वेक्टर x का वर्ग मान n * (p * N) होने की उम्मीद है। (द्विपद वितरण के प्रकारों के योग से गणना योग्य)

X और y के मानदंड समान हैं, लेकिन रूपांतरित मानदंड की अपेक्षा p * N के एक कारक द्वारा भिन्न होती है - आयाम बदलते हुए बड़े होते जाते हैं।

यहाँ प्रदर्शित करने में मदद करने के लिए matlab कोड है।

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;