संशोधित शोर को समझने के लिए कौन से गणितीय उपकरण मौजूद हैं?

मान लीजिए कि हमारे पास एक संकेत है जिसमें गाऊसी सफेद शोर होता है। यदि हम इस संकेत को से गुणा करके संशोधित करते हैं , तो परिणामस्वरूप संकेत में अभी भी एक सफेद शक्ति स्पेक्ट्रम है, लेकिन स्पष्ट रूप से शोर अब समय में "गुच्छेदार" है। यह एक चक्रवात प्रक्रिया का एक उदाहरण है । $n$ $\sin 2\omega t$

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

मान लीजिए कि अब हम साइन और कोसाइन लोकल ऑसिलेटर्स के साथ मिश्रण करके एक आवृत्ति पर इस सिग्नल को डिमोड्यूलेट करते हैं , I और Q सिग्नल बनाते हैं: $\omega$

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Naively देख रहा है कि का पावर स्पेक्ट्रम एक समय अंतराल में से अधिक लिया जाता है ) सफेद है, हम उम्मीद करेंगे कि और दोनों में समान आयाम का सफेद गाऊसी शोर हो। हालांकि, वास्तव में क्या होता है कि चतुष्कोणीय उच्चतर विचरण के साथ चयनात्मक के भागों का चयन करता है , जबकि , नब्बे डिग्री चरण से बाहर, निम्न विचरण के अंशों का नमूना लेता है: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

संशोधित शोर चित्रण

इसका परिणाम यह है कि I का शोर वर्णक्रमीय घनत्व गुना है । $\sqrt{3}$ $Q$

स्पष्ट रूप से पावर स्पेक्ट्रम से परे कुछ होना चाहिए जो कि संशोधित शोर का वर्णन करने में उपयोगी है। मेरे क्षेत्र के साहित्य में उपरोक्त प्रक्रिया का वर्णन करने वाले कई सुलभ पेपर हैं, लेकिन मैं यह सीखना चाहूंगा कि सिग्नल प्रोसेसिंग / ईई समुदायों द्वारा इसे अधिक सामान्यतः कैसे व्यवहार किया जाता है।

चक्रवात शोर को समझने और हेरफेर करने के लिए कुछ उपयोगी गणितीय उपकरण क्या हैं? साहित्य के किसी भी संदर्भ को भी सराहा जाएगा।

संदर्भ:

निबाउर एट अल, "नॉनसेंटरी शॉट शोर और इंटरफेरोमीटर की संवेदनशीलता पर इसका प्रभाव"। भौतिकी। रेव। ए ४३, ५०२२-५०२ ९ ।

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
स्रोत

आपके द्वारा दिखाए जाने वाले परिणामों को प्राप्त करने के लिए, आपके डीमोडुलेटर को उसी वाहक आवृत्ति, द्वारा डाउनकनेक्ट करना होगा , न कि सिर्फ ।

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— जेसन आर

@ जेसन आर, आह, मुझे लगता है कि मैंने मूल मॉडुलन के साथ एक गलती की है। यह पॉइसन शोर से गौसियन शोर में बदलने की गलती के कारण है।

2 ω

$2\omega$

— nibot 6:24 बजे

मुझे विशेष रूप से यकीन नहीं है कि आप यहाँ क्या देख रहे हैं। शोर आमतौर पर इसकी शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व, या इसके ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन के माध्यम से वर्णित है; एक यादृच्छिक प्रक्रिया का ऑटोकॉरेलेशन फ़ंक्शन और इसका PSD एक फूरियर ट्रांसफॉर्म जोड़ी है। सफेद शोर, उदाहरण के लिए, एक आवेगी स्वरभंग है; यह फूरियर डोमेन में एक फ्लैट पावर स्पेक्ट्रम में बदल जाता है।

आपका उदाहरण (कुछ हद तक अव्यवहारिक) एक संचार रिसीवर के अनुरूप है जो वाहक आवृत्ति पर वाहक-संग्राहक सफेद शोर का । उदाहरण रिसीवर काफी भाग्यशाली है, क्योंकि इसके पास एक थरथरानवाला है जो ट्रांसमीटर के साथ सुसंगत है; मॉड्यूलेटर और डेमोडुलेटर पर उत्पन्न साइनसोइड्स के बीच कोई चरण ऑफसेट नहीं है, जिससे बेसबैंड के लिए "पूर्ण" डाउनकॉनवर्सन की संभावना हो सकती है। यह अपने आप में अव्यावहारिक नहीं है; सुसंगत संचार रिसीवर के लिए कई संरचनाएं हैं। हालाँकि, शोर आमतौर पर संचार चैनल के एक योजक तत्व के रूप में तैयार किया जाता है जो कि संग्राहक संकेत के साथ असंबंधित होता है जिसे रिसीवर पुनर्प्राप्त करना चाहता है; $2 \omega$

उस रास्ते से, हालांकि, आपके उदाहरण के पीछे के गणित पर एक नज़र आपके अवलोकन की व्याख्या कर सकती है। परिणाम प्राप्त करने के लिए जो आप वर्णन करते हैं (कम से कम मूल प्रश्न में), न्यूनाधिक और डिमोडुलेटर में दोलक होते हैं जो एक समान संदर्भ आवृत्ति और चरण पर काम करते हैं। न्यूनाधिक निम्न आउटपुट देता है:

\begin{aligned} n (टी) & ~ एन (0, σ^{2}) \\ एक्स (टी) & = n (टी) पाप (2 ω टी) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

प्राप्तकर्ता निम्न I और Q संकेतों को निम्न प्रकार से उत्पन्न करता है:

\begin{aligned} मैं (टी) & = एक्स (टी) पाप (2 ω टी) = n (टी) {पाप}^{2} (2 ω टी) \\ क्यू (टी) & = एक्स (टी) क्योंकि (2 ω टी) = n (टी) पाप (2 ω टी) क्योंकि (2 ω टी) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

कुछ त्रिकोणमितीय पहचानें और को मांस से बाहर निकालने में मदद कर सकती हैं : $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

अब हम निम्न संकेत जोड़ी को फिर से लिख सकते हैं:

\begin{aligned} मैं (टी) & = n (टी) \frac{1 - क्योंकि (4 ω टी)}{2} \\ क्यू (टी) & = \frac{1}{2} n (टी) पाप (4 ω टी) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

इनपुट शोर शून्य-माध्य है, इसलिए और भी शून्य-माध्य हैं। इसका मतलब है कि उनके संस्करण हैं: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

आपने अपने प्रश्न में और के भिन्नताओं के बीच का अनुपात नोट किया है । इसे सरल बनाया जा सकता है: $I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

अपेक्षाओं को यादृच्छिक प्रक्रिया के समय चर । चूंकि फ़ंक्शन नियतात्मक और आवधिक हैं, यह वास्तव में एक अवधि के लिए प्रत्येक साइनसोइडल फ़ंक्शन के औसत-चुकता मूल्य के बराबर है; यहां दिखाए गए मूल्यों के लिए, आपको का अनुपात मिलता है , जैसा कि आपने नोट किया। तथ्य यह है कि I चैनल में आपको अधिक शोर शक्ति मिलती है, शोर की एक कलाकृति है जो सुसंगत रूप से संशोधित की जा रही है (यानी चरण में) डीमोडुलेटर के अपने साइनसोइडल संदर्भ के साथ। अंतर्निहित गणित के आधार पर, इस परिणाम की उम्मीद की जानी है। जैसा कि मैंने पहले कहा था, हालांकि, इस प्रकार की स्थिति विशिष्ट नहीं है। $n(t)$ $t$ $\sqrt 3$

यद्यपि आप इसके बारे में सीधे नहीं पूछते थे, मैं यह नोट करना चाहता था कि इस तरह के ऑपरेशन (एक समान या लगभग-समान-प्रजनन के वाहक के डिमॉड्यूलेशन के बाद एक साइनसोइडल वाहक द्वारा मॉड्यूलेशन) संचार प्रणालियों में एक मौलिक बिल्डिंग ब्लॉक है। एक वास्तविक संचार रिसीवर, हालांकि, वाहक डिमॉडुलेशन के बाद एक अतिरिक्त कदम शामिल होगा: आवृत्ति और पर I और Q सिग्नल घटकों को हटाने के लिए एक लोअरपास फ़िल्टर । यदि हम दोहरे वाहक-आवृत्ति वाले घटकों को समाप्त करते हैं, तो Q ऊर्जा के लिए I ऊर्जा का अनुपात निम्न प्रकार दिखता है: $4 \omega$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

यह एक सुसंगत चतुर्भुज मॉड्यूलेशन रिसीवर का लक्ष्य है: सिग्नल जिसे इन-फेज (I) चैनल में रखा गया है, रिसीवर के I सिग्नल में क्वाडरेचर (Q) सिग्नल में कोई रिसाव नहीं है।

संपादित करें: मैं नीचे आपकी टिप्पणियों को संबोधित करना चाहता था। एक चतुर्भुज रिसीवर के लिए, वाहक आवृत्ति ज्यादातर मामलों में संचरित संकेत बैंडविड्थ के केंद्र में होगी, इसलिए वाहक आवृत्ति लिए बैंडलिफ्ट किए जाने के बजाय , एक विशिष्ट संचार संकेत अंतराल , जहां इसका संग्राहक बैंडविड्थ है। एक क्वाड्रेचर रिसीवर बेसबैंड को प्रारंभिक चरण के रूप में सिग्नल को नीचे करने का लक्ष्य रखता है; यह I और Q चैनलों को बाद के विश्लेषण चरणों के लिए एक जटिल-मूल्यवान संकेत के वास्तविक और काल्पनिक घटकों के रूप में मानकर किया जा सकता है। $\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

चक्रवात के दूसरे क्रम के आँकड़ों पर आपकी टिप्पणी के संबंध में , आपके पास एक त्रुटि है। संकेत के साइक्लोस्टेनेशन प्रकृति को इसके ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन में कैप्चर किया गया है। फ़ंक्शन : $x(t)$ $R(t, \tau)$

आर (टी, τ) = इ (एक्स (टी) एक्स (टी - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

आर (टी, τ) = इ (n (टी) n (टी - τ) पाप (2 ω टी) पाप (2 ω (टी - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

आर (टी, τ) = इ (n (टी) n (टी - τ)) पाप (2 ω टी) पाप (2 ω (टी - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

मूल शोर प्रक्रिया की सफेदी की वजह से , उम्मीद (और इसलिए समीकरण के पूरे दाहिने हाथ) सभी गैर-अक्षीय मानों के लिए शून्य है । $n(t)$ $\tau$

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

शून्य-अंतराल पर स्वतःसंबंध अब केवल एक साधारण आवेग नहीं है; इसके बजाय, यह साइनसॉइडल स्केलिंग कारक के कारण समय-संस्करण और आवधिक है। यह उस घटना का कारण बनता है जिसे आपने मूल रूप से देखा था, इसमें और अन्य अवधियों में "उच्च विचरण" की अवधि होती है, जहां विचरण कम होता है। "उच्च विचरण" अवधियों को एक साइनसॉइड द्वारा डिमोड्यूलेट करके चुना जाता है जो इसे संशोधित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले के साथ सुसंगत है, जो तर्क के लिए खड़ा है। $x(t)$

— जेसन आर
स्रोत

पुन: "यह एक सुसंगत चतुर्भुज मॉड्यूलेशन रिसीवर का लक्ष्य है ..." - यह केवल तभी सही है जब मूल संकेत वाहक आवृत्ति से कम आवृत्तियों तक सीमित है?

— निबोट

पुन: "शोर आमतौर पर इसकी शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व के माध्यम से वर्णित किया जाता है, या इसके ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन के बराबर होता है"। यह चक्रवात शोर ( ) वर्णक्रमीय रूप से सफेद होता है और इसमें एक नियमित (स्थिर) गौसियन शोर की तरह एक आटोक्लेररेशन फंक्शन होता है। मैं एक ऐसे विवरण की तलाश में हूं, जो अपने चक्रवात प्रकृति को घेरता है।

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$

δ (t)

$\delta(t)$

— nibot

मैंने आपकी दो टिप्पणियों के बारे में बात करने के उत्तर को संपादित किया।

— जेसन आर

@ जेसन, अच्छी पोस्ट। मैं समझने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन वह हिस्सा जहां आप साइक्लोस्ट्रेशन प्रक्रिया के बारे में बात करते हैं। मुझे यह समझने में कठिन समय हो रहा है कि 't' यहाँ R का फ़ंक्शन क्यों है ... - अपेक्षा ऑपरेटर के बाद, अब कोई 't' (समय) चर नहीं है ... केवल ताऊ का कार्य है।

— स्पेसी

@ जैसन कभी नहीं, मुझे एहसास हुआ कि समय के साथ आँकड़ों में बदलाव के बाद से 't' होना चाहिए, (इसलिए) यह मामला यह है कि आपको डेल्टा * पाप ^ 2 कैसे मिला ... क्या यह वारंट मेरे लिए एक वास्तविक प्रश्न है?

— स्पेसी