Dirac फ़ंक्शन का नमूना लेना

Question

मैं डिराक समारोह के विषय में एक सैद्धांतिक प्रश्न पूछना चाहता हूं। Dirac फ़ंक्शन का फूरियर ट्रांसफॉर्म हर आवृत्ति के लिए मूल्य 1 (डीसी) है। यदि हम नमूना प्रमेय पर विचार करते हैं, तो हमें सिग्नल में अधिकतम आवृत्ति , ताकि हम साथ नमूना कर । लेकिन जैसा कि हम इसके फूरियर ट्रांसफॉर्म से देख सकते हैं, डिराक फंक्शन में हर फ्रीक्वेंसी होती है, इसलिए हम एक उपयुक्त नहीं ढूंढ सकते हैं । मेरा सवाल है, एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, क्या डायक फ़ंक्शन का नमूना लिया जा सकता है?$\ f_{max}$$\ f_s \ge \ 2f_{max}$$f_s$

संपादित करें: अपने सहायक उत्तर के लिए धन्यवाद दोस्तों!

Comments

डिजिटल भूमि में अनुक्रम x [n] = (1, n = 0) (0, अन्यथा) जो अधिकांश कार्य करता है, जो कि डाइरेक वितरण एनालॉग वर्ल्ड में करता है। यह कनवल्शन का आधार कार्य है, इसमें फ़्लैट फ़्रीक्वेंसी प्रतिक्रिया होती है और यह "वायर" की आवेग प्रतिक्रिया है। यह वास्तव में एक चीज है जो डिजिटल में आसान है

— हिलमार

व्यक्तिगत रूप से, मुझे लगता है कि एक अधिक संक्षिप्त जवाब है "नहीं, एक dirac आवेग, , पर नमूना नहीं किया जा सकता है क्योंकि कोई मूल्य नहीं है कि फ़ंक्शन (या वितरण) पर लेता है ।" $\delta(t)$$t=0$$t=0$ वहाँ नहीं है भौतिक दुनिया में Dirac डेल्टा समारोह केवल इसे करने के लिए अनुमानों,। इसलिए नमूना करने के लिए कुछ भी नहीं है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

Answer 1

किसी भी संकेत को नमूना किया जा सकता है, स्वतंत्र रूप से कि नमूना प्रमेय धारण करता है या नहीं। नमूना प्रमेय आपको बताता है कि, यदि नमूनाकरण दर पर्याप्त है, तो नमूने पूर्ण मूल संकेत का प्रतिनिधित्व करते हैं।

विच्छेदन के साथ सिग्नल या इससे भी बदतर, वितरण जैसे , बैंड-सीमित नहीं हैं, इसलिए नमूना प्रमेय की परिकल्पना कभी भी पकड़ में नहीं आएगी।$\delta(t)$

यह भी ध्यान दें कि नमूना प्रमेय के सामान्य प्रदर्शन में एक पल्स ट्रेन द्वारा सिग्नल को गुणा करना शामिल है। मेरा मानना ​​है कि यह पूरी तरह से वितरण होने के संकेतों को बताता है, क्योंकि वितरण के उत्पादों को अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है ।

व्यवहार में, पर नमूने नमूने की कल्पना करें । इस नमूने का एक अपरिभाषित मूल्य है।$\delta(t)$$t=0$

Comments

"किसी भी संकेत का नमूना लिया जा सकता है" - ठीक है, एक नमूना एल्गोरिथ्म को किसी भी संकेत पर लागू किया जा सकता है , हाँ, लेकिन वास्तव में इस प्रक्रिया को "नमूनाकरण" कहा जा सकता है, संदर्भ के आधार पर, पहले से ही आपको संकेत से पुनर्निर्माण करने में सक्षम होने की उम्मीद है। परिणाम, अर्थात नमूना प्रमेय के लिए पूर्व शर्त पूरी की जाती है।

— 13:30

Answer 2

मैं जुआनो के जवाब से पूरी तरह सहमत हूं। मैं कुछ चीजें जोड़ना चाहूंगा। मुझे लगता है कि मुख्य समस्या गलतफहमी है जो प्रश्न के अंतिम वाक्य में स्पष्ट हो जाती है: "... क्या डायराक को निपटाया जा सकता है?" डायक आवेग एक सामान्य कार्य नहीं है, जिसमें प्रत्येक लिए निश्चित मान हैं , लेकिन यह एक वितरण है (भले ही इसे अक्सर 'डीरेक फ़ंक्शन' कहा जाता है)। इसलिए इसे 'मूल्यांकन' (या नमूना!) करने की कोशिश नहीं करनी चाहिए। डायराक आवेग के बारे में क्या महत्वपूर्ण है इसके अभिन्न गुण हैं:$t$

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$$ और $$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$$

जैसा कि जुआनचो ने पहले ही बताया था, एक डिराक आवेग के वर्ग को परिभाषित नहीं किया गया है। इसलिए यदि आप डिराक आवेग का नमूना लेते हैं, तो आपको अपरिभाषित परिणाम मिलेगा$\delta^2(t)$

$$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$$

Dirac आवेग रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के विश्लेषण के लिए एक सुविधाजनक उपकरण है, लेकिन उन्हें देखभाल के साथ व्यवहार किया जाना चाहिए क्योंकि सामान्य संकेतों (जैसे कि नमूनाकरण) पर किए गए सामान्य प्रकार के प्रसंस्करण जब Diad आवेगों पर लागू नहीं होते हैं तो अपरिभाषित और निरर्थक परिणाम हो सकते हैं।

Answer 3

एक दीराक द्वारा की गई जानकारी इसके स्थान और तीव्रता हैं। वेटेरली एट अल। यह दर्शायें कि N diracs के योग द्वारा दिए गए सिग्नल का नमूना कैसे संभव है:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

सैम्पलिंग $x(t)$ इस संदर्भ में ठीक होने का मतलब है $r_i$ तथा $t_i$ के लिये $i=0,\ldots,N-1$। संक्षेप में, यह कम-पास फ़िल्टरिंग द्वारा किया जाता है$x(t)$और मानक वर्णक्रमीय आकलन तकनीकों का उपयोग करना। अधिक जानकारी के लिए देखें:

ब्लू, थियरी, एट अल। "सिग्नल नवाचारों का विरल नमूना।" सिग्नल प्रोसेसिंग मैगज़ीन, IEEE 25.2 (2008): Abra।