डीएफटी वेक्टर पर जटिल संयुग्म समरूपता को संरक्षित करने के लिए प्रीकोडिंग मैट्रिक्स के लिए शर्तें

Question

मान लीजिए कि एक डीएफटी वेक्टर है $\mathbf{X}$ लंबाई N के साथ, जो अपने मध्य बिंदु के आसपास जटिल संयुग्म समरूपता प्रस्तुत करता है, अर्थात $X(1) = X(N-1)^*$, $X(2) = X(N - 2)^*$ इत्यादि। $X(0)$ तथा $X(N/2)$क्रमशः डीसी और Nyquist आवृत्ति हैं, इसलिए वास्तविक संख्या हैं। शेष तत्व जटिल हैं।

अब, मान लीजिए कि एक मैट्रिक्स है $\mathbf{T}$, आकार के साथ $N \times N$, जो वेक्टर X को गुणा करता है।

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

प्रश्न है:

मैट्रिक्स के लिए किन स्थितियों में $\mathbf{T}$परिणामी वेक्टर के मध्य बिंदु के चारों ओर जटिल संयुग्म समरूपता $\mathbf{Y}$ संरक्षित है?

इस प्रश्न के लिए प्रेरणा एक प्री-कोड मैट्रिक्स के साथ आने की कोशिश कर रही है $\mathbf{T}$ एक प्रीकोड (प्री-इक्वलाइज्ड) प्रतीक में यह परिणाम है $\mathbf{Y}$ जिसका IFFT असली है।

संपादित करें:

धन्यवाद @MattL और @ हनीरेन। इस प्रश्न के बारे में कठिनाई आवश्यक शर्तों को खोजने के लिए है। मैट का जवाब वास्तव में पर्याप्त है। यह निम्नलिखित संशोधन करने के लिए पर्याप्त है:

पहली पंक्ति और पहले कॉलम को शून्य होने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, वे गैर-शून्य हो सकते हैं, जब तक कि इसका मान मध्य बिंदु के चारों ओर एक जटिल संयुग्म समरूपता प्रस्तुत करता है, इसका पहला मूल्य वास्तविक है और इसका मूल्य$(N/2+1)$-यह मूल्य वास्तविक है, ठीक प्रतीक की तरह। उसी के लिए कहा जा सकता है$(N/2+1)$-तथा स्तंभ, $(N/2+1)$-तथा पंक्ति, और मुख्य विकर्ण।

दूसरे, ऊपरी बाएँ कोने में मैट्रिक्स के बीच समान पत्राचार और निचले दाएं कोने के ऊपरी दाएं कोने और निचले बाएँ कोने के बीच बनाया जा सकता है, अर्थात $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ मैट्रिक्स से शुरू $t_{2,N/2 + 2}$ सेवा $t_{N/2,N}$, बाएं से दाएं, नीचे की ओर पलटें और कंजुगेट लें, फिर निचले बाएं कोने पर रखें। MATLAB पर, यह होगा:

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

यह संरचना डीएफटी मैट्रिक्स की संरचना के समान है। क्या यह एक आवश्यक शर्त होगी?

संपादित करें (2):

निम्नलिखित कोड किसी भी वास्तविक मूल्यवान के लिए इस तरह के एक वैध ऑपरेटर को लागू करता है $N \times N$ आव्यूह $\mathbf{A}$:

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

संपादित करें (3):

यह नोट करना भी दिलचस्प है $\mathbf{T}^{-1}$पर्याप्त स्थिति भी प्रस्तुत करता है। यह इस तथ्य से आता है कि:

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ कहाँ पे $\mathbf{W}$ डीएफटी मैट्रिक्स है।

जबसे $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$। यह समीकरण बन जाता है:

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

अंत में, जब से $\mathbf{A}^{-1}$ वास्तविक मूल्य है, बशर्ते कि $\mathbf{A}$ पूर्ण रैंक है,$\mathbf{T}^{-1}$ काफी है।

Comments

इससे पहले कि मैं और अधिक विवरण में जाऊं, मैं इस पर सो जाऊंगा, लेकिन आप पर विचार करने के लिए: भले ही एक विकर्ण मैट्रिक्स का प्रतिबंध $\mathbf{T}$ आवश्यक नहीं है, यह सामान्यता के नुकसान के बिना किया जा सकता है, क्योंकि सभी संभव वैक्टर $\mathbf{Y}$उत्पन्न किया जा सकता है। क्या आप सहमत हैं?

— मैट एल

ज़रूर, मैं इससे सहमत हूं।

— इगोरौद

Answer 1

मुझे लगता है कि आपके मैट्रिक्स में प्रविष्टियाँ $\bf{T}$ पालन ​​ज़रूर करें $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$। यह पंक्ति में प्रविष्टियाँ कह रहा है$N-n+1$पंक्ति n में गुणांक के समान हैं, लेकिन जहां गुणांक संयुग्मित और उलट हैं। में पैटर्न$\bf{T}$ के लिये $N=4$ है

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

मुझे यकीन है कि कोई बेहतर और सटीक जवाब देगा।

Comments

डीसी घटक के बारे में क्या? के डीसी घटक$\mathbf{Y}$ की पहली पंक्ति का आंतरिक उत्पाद है $\mathbf{T}$ (जटिल) वेक्टर के साथ $\mathbf{X}$। यह वास्तविक रूप से कैसे मूल्यवान है?

— मैट एल

मैंने खांसी में उन दो पंक्तियों को सामान करने के लिए ओपी को एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया । लेकिन मैं यह नहीं देखता कि आप इस निष्कर्ष पर आते हैं कि केवल एक विकर्ण मैट्रिक्स काम करेगा (यह कहते हुए कि आप गलत नहीं हैं)।

— नीरेन

मैं वास्तव में गलत हो सकता है। जब मेरे पास अधिक समय होगा मैं इसके बारे में फिर से सोचूंगा ... चलो इसे इस तरह से रखें: एक विकर्ण मैट्रिक्स (संयुग्म समरूपता के साथ) किसी भी मामले में काम करेगा।

— मैट एल

Answer 2

अगर मैं गलत समाधान के लिए नहीं हूँ $\mathbf{T}$ जो वेक्टर से स्वतंत्र है $\mathbf{X}$ एक विकर्ण (जटिल) मैट्रिक्स है, जहां विकर्ण जटिल संयुग्म समरूपता को संतुष्ट करता है।

संपादित करें: ठीक है, मैं गलत था। विकर्ण ठीक है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। साँचा$\mathbf{T}$ निम्नलिखित सामान्य संरचना होनी चाहिए: तत्व $t_{11}$ तथा $t_{N/2+1,N/2+1}$वास्तविक मूल्य होना चाहिए (वे डीसी और Nyquist के अनुरूप हैं)। इसके अलावा$t_{11}$पहली पंक्ति और कॉलम में केवल शून्य होता है। तत्वों के लिए$t_{22}$ सेवा $t_{N/2,N/2}$ एक मध्यस्थ चुना $(N/2-1)\times (N/2-1)$आव्यूह। फिर सभी पंक्तियों को स्वैप करके एक नई मैट्रिक्स बनाने के लिए इस मध्यस्थ मैट्रिक्स का उपयोग करें (पहली पंक्ति अंतिम एक बन जाती है, दूसरी पंक्ति दूसरी आखिरी बन जाती है, आदि), पंक्तियों को बाएं से दाएं और फ़्लिप करके। फिर इस सबमेट्रिक्स को कुल मैट्रिक्स के निचले दाएं कोने में रखें$\mathbf{T}$। के अन्य सभी तत्व$\mathbf{T}$शून्य होना चाहिए। मुझे पता है कि यह एक विज़ुअलाइज़ेशन के बिना समझने के लिए थोड़ा कठिन है, इसलिए मैं एक बाद में जोड़ूंगा जब मेरे पास अधिक समय होगा।