सफेद शोर का चरण और परिमाण क्या है?

मैं फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सफ़ेद शोर पैदा करना चाहूंगा, और फिर इसे अजगर का उपयोग करके टाइम डोमेन में बदल दूंगा। समस्या को समझने के लिए, मैंने बस समय क्षेत्र में सफेद शोर उत्पन्न किया, और इसे freq डोमेन में बदल दिया:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

मुझे उम्मीद के सफेद शोर की साजिश मुताबिक़ बिल्कुल नहीं दिखता: प्रश्न:

क्या सफेद शोर एक सपाट परिमाण प्रतिक्रिया नहीं माना जाता है? (सभी आवृत्तियों के लिए समान मात्रा)
मानक विचलन (मेरे उदाहरण में 1) और परिमाण और चरण के बीच क्या संबंध है?

आपका अग्रिम में ही बहुत धन्यवाद!

fft noise python

— Uffe
स्रोत

क्या सफेद शोर एक सपाट परिमाण प्रतिक्रिया नहीं माना जाता है? (सभी आवृत्तियों के लिए समान मात्रा)

सफेद शोर की अपेक्षित परिमाण प्रतिक्रिया सपाट है (यह वही है जिसे जेसन पावर स्पेक्ट्रल घनत्व कहते हैं)। सफेद शोर अनुक्रम के किसी भी विशेष उदाहरण में ठीक सपाट प्रतिक्रिया नहीं होगी (यह वही है जो जेसन की टिप्पणी को पावर स्पेक्ट्रम के रूप में संदर्भित करता है)।

वास्तव में, सफेद शोर का फूरियर रूपांतरण है ... सफेद शोर!

मानक विचलन (मेरे उदाहरण में 1) और परिमाण और चरण के बीच क्या संबंध है?

मानक विचलन और चरण के बीच कोई संबंध नहीं होगा। परिमाण का सवाल है, मान लीजिए $n(t)$ शून्य माध्य और मानक विचलन के साथ स्थिर सफेद शोर है $\sigma$ । फिर निरंकुशता (कोविरेंस) है:

{आर}_{n n} (τ) = इ [n (टी) n (टी + τ)] = σ^{2} δ (τ)

$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$

तो पावर वर्णक्रमीय घनत्व सिर्फ है $\sigma^2$ (हालांकि असतत समय के लिए, वहाँ संकेत की अवधि के आधार पर एक स्केलिंग हो जाएगा)।

टिप्पणी से प्रश्न:

जब आप कहते हैं कि फूरियर ट्रांसफॉर्म भी सफेद शोर है, तो जब ट्रांसफॉर्म जटिल है तो मैं std-dev को कैसे माप सकता हूं? वास्तविक, काल्पनिक भाग या कुछ संयोजन?

मान लें कि हमारे शोर असतत समय है और है $n[m]$ (शून्य मतलब, गाऊसी, विचरण के साथ सफेद शोर $\sigma^2$ )। फिर परिवर्तन है:

\begin{array}{rcl} एन [क] & = & Σ_{म = 0}^{म - 1} n [म] इ^{- जे 2 π म क / म} \\ = & Σ_{म = 0}^{म - 1} n [म] क्योंकि (2 π म क / म) + जे n [म] पाप (2 π म क / म) \end{array}

$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$

और अपेक्षित मूल्य है:

\begin{array}{rcl} इ [एन [क]] & = & इ [Σ_{म = 0}^{म - 1} n [म] इ^{- जे 2 π म क / म}] \\ = & Σ_{म = 0}^{म - 1} इ [n [म]] इ^{- जे 2 π म क / म} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

वास्तविक भाग का विचरण निम्न द्वारा दिया गया है:

\begin{array}{rcl} इ [(ℜ एन [क])^{2}] & = & इ [Σ_{म = 0}^{म - 1} n [म] क्योंकि (2 π म क / म) \cdot Σ_{पी = 0}^{म - 1} n [पी] क्योंकि (2 π पी क / म)] \\ = & इ [Σ_{म = 0}^{म - 1} Σ_{पी = 0}^{म - 1} n [म] n [पी] δ [n - पी] क्योंकि (2 π म क / म) क्योंकि (2 π पी क / म)] \\ = & Σ_{म = 0}^{म - 1} इ [n [म]^{2}] {क्योंकि}^{2} (2 π म क / म) \\ = & σ^{2} Σ_{म = 0}^{म - 1} {क्योंकि}^{2} (2 π म क / म) \\ = & σ^{2} (\frac{म}{2} + \frac{क्योंकि (म + 1) 2 π क / म पाप (2 π म क / म)}{2 पाप (2 π क / म)}) \\ = & \frac{σ^{2} म}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$

मेरा मानना है कि काल्पनिक हिस्सा उसी तरह का व्यवहार करेगा।

क्या आप मुझे बता सकते हैं कि सिग्नल की अवधि पावर वर्णक्रमीय घनत्व (असतत समय स्थितियों के लिए) से कैसे संबंधित है

मेरा मानना है कि (उपरोक्त व्युत्पत्ति के आधार पर), पावर वर्णक्रमीय घनत्व (डीएफटी के वर्ग का अपेक्षित मूल्य) अवधि के रूप में रैखिक रूप से स्केल करेगा।

यदि चरण std-dev से प्रभावित नहीं है, तो 3 डिग्री आयाम और क्या वितरण का प्रकार निर्धारित करता है (सामान्य के बजाय एक समान प्रतीत होता है)

इस PDF फ़ाइल के पृष्ठ 2 पर तालिका देखें । यह कहता है कि गुणांक के तर्क (चरण) को समान रूप से वितरित किया जाएगा, जैसा कि आप कहते हैं। नीचे दिए गए तालिका का स्क्रीनशॉट।

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— पीटर के।
स्रोत

विशेष रूप से, ओपी को भ्रमित करने वाली दो अवधारणाएं सफेद शोर की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व और एक सफेद शोर यादृच्छिक प्रक्रिया की एक विशेष प्राप्ति के शक्ति स्पेक्ट्रम हैं।

— जेसन आर

धन्यवाद! मेरे कुछ फॉलो-अप प्रश्न हैं। 1: जब आप कहते हैं कि फूरियर ट्रांसफॉर्म भी सफेद शोर है, तो जब ट्रांसफॉर्म जटिल है तो मैं std-dev को कैसे माप सकता हूं? असली, काल्पनिक हिस्सा या कुछ संयोजन? 2: क्या आप मुझे बता सकते हैं कि सिग्नल की अवधि शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व (असतत समय स्थितियों के लिए) से कैसे संबंधित है 3: यदि चरण std-dev से प्रभावित नहीं है, तो 3 डिग्री आयाम और प्रकार का निर्धारण क्या होता है वितरण (सामान्य के बजाय एक समान प्रतीत होता है)

— उफ़े

π

$\pi$

\frac{σ^{2} M}{2}

$\frac{\sigma^2 M}{2}$

यह ऊपर उल्लिखित पीडीएफ दस्तावेज़ ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ) की वर्तमान लिंक है , जो टूटी हुई है।

— अतिथि

@ सबसे अच्छा धन्यवाद! भविष्य में, बस नए लिंक के साथ उत्तर को संपादित करने का प्रयास करें। यह सीधे नहीं जाएगा क्योंकि इसे उच्च-प्रतिनिधि उपयोगकर्ता द्वारा समीक्षा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन यह वहां पहुंच जाएगा (और आपको प्रक्रिया में +2 प्रतिनिधि मिलेगा)।

— पीटर के.एच.