PSD (पावर वर्णक्रमीय घनत्व) स्पष्टीकरण

मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि PSD की गणना कैसे की जाती है। मैंने अपनी कुछ संचार इंजीनियरिंग पाठ्यपुस्तकों में देखा है, लेकिन कोई फायदा नहीं हुआ। मैंने ऑनलाइन भी देखा है। विकिपीडिया पर सबसे अच्छी व्याख्या है; हालाँकि, मैं उस हिस्से में खो जाता हूँ जहाँ वे CDF (संचयी डिसटर्ब्यूशन फंक्शन) बनाने का निर्णय लेते हैं और फिर किसी कारण से उस ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन से संबंधित निर्णय लेते हैं।

मुझे लगता है कि जो मुझे समझ नहीं आ रहा है, ऑटोकॉर्पलेशन का PSD की गणना के साथ क्या करना है? मुझे लगा होगा कि PSD सरल (जहां समय के संबंध में संकेत की शक्ति है का फूरियर ट्रांसफॉर्म हो सकता है )। $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
स्रोत

आप

को कैसे परिभाषित करते हैं ?

P (t)

$P(t)$

— फोनन

मैं वास्तव में इसे कुछ भी परिभाषित नहीं करता हूं। यह सिर्फ कुछ शक्ति संकेत है। मुझे लगता है कि अगर मैं इसे परिभाषित करने के लिए किया था, यह होगा

... मुझे लगता है कि मुद्दा यह है कि PSD नहीं है

और यह है autocorrelation के साथ करने के लिए कुछ और मुझे क्या नहीं मिलता ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

आप वास्तव में मनमाने संकेतों के लिए उस तरह की शक्ति को परिभाषित नहीं कर सकते। कोई वोल्टेज और वर्तमान अवधारणाएं नहीं हैं। इस मामले में पावर को एक तरंग की विद्युत (यदि आप चाहें तो विद्युत चुम्बकीय) के रूप में परिभाषित किया गया है। तो यह

, और यह एक संख्या है, न कि एक समय अलग मात्रा है।

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— फ़ोनॉन

वीनर-खिनचिन प्रमेय के बारे में पढ़ें । आप यह समझने से इंकार कर रहे हैं कि फ़ोनन आपको क्या इंगित कर रहा है कि आप जिस सीमा की गणना कर रहे हैं वह एक स्थिर है और इसलिए इसका फूरियर रूपांतरण आवृत्ति डोमेन में

पर सिर्फ एक आवेग है । यदि यह आपकी नाव को तैरता है, तो इसके लिए जाएं, लेकिन यह पावर वर्णक्रमीय घनत्व नहीं है क्योंकि हर कोई इसे समझता है।

f = 0

$f=0$

— दिलीप सरवटे

मैंने उस प्रमेय के बारे में पढ़ा है ... और मुझे लगता है कि यह ऑटोकॉर्पेशन में फूरियर रूपांतरण से कैसे संबंधित है। और मैं यह समझने से इंकार नहीं कर रहा हूं कि फोनन ने क्या कहा ... मुझे ठीक-ठीक समझ में आता है कि @ फॉनोन ने क्या कहा। मुझे समझ में नहीं आता है कि ऑटोक्रेलेशन फॉर्मूला का उपयोग क्यों किया जाता है और मुझे यह भी समझ में नहीं आता है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग क्यों किया जाता है (पीएसडी पाने के लिए आप फूरियर ट्रांसफॉर्म को ले सकते हैं, इसका परिमाण ले सकते हैं, इसे वर्ग कर सकते हैं) ... मुझे नहीं पता कि ऐसा करने से PSD क्यों मिलेगी और मैं एक सभ्य व्युत्पत्ति नहीं पा सका हूं।

— user968243

जवाबों:

आप सही हैं, PSD को सिग्नल की शक्ति के फूरियर ट्रांसफॉर्म की गणना के साथ करना है और लगता है कि ..... यह क्या करता है। लेकिन पहले आइए PSD और ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन के बीच गणितीय संबंध को देखें।

अंकन:
- रूपांतरण फूरियर: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (समय) ऑटो सहसंबंध फंक्शन: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
आइए साबित करें कि ऑटो-सहसंबंध समारोह के फूरियर ट्रांसफॉर्म वास्तव में हमारे स्टोचस्टिक सिग्नल सिग्नल के पावर स्पेक्ट्रल घनत्व के बराबर है । $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

इस सबका क्या मतलब है? नोट: यह स्पष्टीकरण थोड़ा "हैकी" है। लेकिन यहाँ यह हो जाता है

$\mathcal{F}[x(t)]$

क्या होगा यदि आप फूरियर रूपांतरण के अपेक्षित मूल्य को लेते हैं? यह काम नहीं करेगा। उदाहरण के लिए शून्य माध्य संकेत लेते हैं।

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

$P(t)$

संदर्भ:

[१] संचार १, पीएल। ड्रैगोटी, इंपीरियल कॉलेज लंदन

[२] सफ़ेद शोर और अनुमान, एफ। टोबार [अप्रकाशित रिपोर्ट]

— ssk08
स्रोत

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

हाँ य़ह सही हैं।

— ssk08

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

N

$N$

N

$N$

@ मोहम्मद ने इसे पूरी तरह से अभिव्यक्त किया।

— ssk08

अच्छी व्युत्पत्ति है लेकिन मुझे लगता है कि आप इसे और भी आसान बना सकते हैं

$r(t) = x(t)*x(-t)$

टाइम डोमेन में कन्वेंशन आवृत्ति डोमेन में गुणा है।

समय डोमेन में फ़्लिप फ़्रीक्वेंसी डोमेन में "जटिल संयुग्म" है।

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
स्रोत

क्या ऑटो-सहसंबंध सिग्नल के दृढ़ीकरण के साथ जटिल संयुग्म नहीं है, समय-समय पर स्व-फ़्लिप?

— जिम क्ले

मुझे लगता है कि वह मान रहा है कि संकेत वास्तविक है।

— ssk08

@ जिम & ssk08: आप दोनों सही हैं, बिल्कुल। समीकरणों की सफाई के लिए धन्यवाद।

— हिलमार

PSD (पावर वर्णक्रमीय घनत्व) स्पष्टीकरण

P(t)P(t)P(t)

$P(t)$