डिजिटल अनुप्रयोगों में निरंतर छंद असतत तरंग परिवर्तन का उपयोग करना

Question

मैं तरंगिकाओं के पीछे की गणितीय पृष्ठभूमि से बहुत परिचित हूं। हालाँकि तरंगों के साथ एक कंप्यूटर पर एल्गोरिदम को लागू करते समय मैं इस बारे में कम निश्चित हूं कि क्या मुझे निरंतर या असतत तरंगों का उपयोग करना चाहिए। सभी वास्तविकता में, कंप्यूटर पर सब कुछ निश्चित रूप से असतत है, इसलिए यह स्पष्ट लगता है कि डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए असतत तरंगिकाएं सही विकल्प हैं। हालाँकि विकिपीडिया के अनुसार यह निरंतर तरंग परिवर्तन है जो मुख्य रूप से (डिजिटल) छवि संपीड़न और साथ ही बड़ी संख्या में अन्य डिजिटल डेटा प्रोसेसिंग गतिविधियों में उपयोग किया जाता है। डिजिटल इमेज या सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए (सटीक) असतत वेवलेट ट्रांसफॉर्म के बजाय (लगभग) निरंतर वेवलेट ट्रांसफॉर्म का उपयोग करने का निर्णय लेते समय क्या विचार करना है?

PS (यहां एक धारणा की जांच) मैं मान रहा हूं कि निरंतर तरंगिका रूपांतरण डिजिटल प्रसंस्करण में समान रूप से निरंतर तरंगिका के मान को समान रूप से स्थान बिंदुओं पर ले जाकर और तरंगिका संगणना के लिए परिणामी अनुक्रम का उपयोग करके किया जाता है। क्या ये सही है?

पीपीएस आमतौर पर विकिपीडिया गणित के बारे में बहुत सटीक है, इसलिए मैं यह मान रहा हूं कि कंटीन्यूअस वेवलेट ट्रांसफॉर्म पर लेख के आवेदन वास्तव में कंटीन्यूअस वेवलेट ट्रांसफॉर्म के अनुप्रयोग हैं। निश्चित रूप से इसमें कुछ का उल्लेख है जो विशेष रूप से सीडब्ल्यूटी हैं इसलिए डिजिटल अनुप्रयोगों में स्पष्ट रूप से सीडब्ल्यूटी का कुछ उपयोग है।

Answer 1

जैसा कि मोहम्मद ने कहा था कि कंटीन्यूअस वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म (सीडब्ल्यूटी) और डिसट्रीट वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म (डीडब्ल्यूटी) थोड़ा भ्रामक हैं। वे लगभग (निरंतर) फूरियर ट्रांसफॉर्म (गणित। इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म) के रूप में डीएफटी (असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म) से संबंधित हैं।

विवरण को समझने के लिए ऐतिहासिक संदर्भ को देखना अच्छा है। तरंगिका परिवर्तन मूल रूप से Morlet द्वारा भूभौतिकी में पेश किया गया था, और मूल रूप से एक विंडो के साथ एक गैबर परिवर्तन था जो चयनित पैमाने / आवृत्ति के साथ बढ़ता और सिकुड़ता है। बाद में डबचीज (बेल्जियम से एक भौतिक विज्ञानी) ने महसूस किया कि विशेष ऑर्थोगोनल तरंगिका आधारों को चुनकर असीम रूप से निरर्थक सीडब्ल्यूटी को गंभीर रूप से एक डायडिक ग्रिड पर नमूना किया जा सकता है। जिसके परिणामस्वरूप DWT से संबंधित पूर्ण CWT संबंधित तरंगिका के प्रजनन कर्नेल के साथ DWT को हल करके प्राप्त किया जा सकता है। पुनरुत्पादित कर्नेल तरंगिका का ही सीडब्ल्यूटी है।

डबचीज के निष्कर्षों ने 80 के दशक की शुरुआत में वेवलेट सिद्धांत को बड़ा बढ़ावा दिया। अगला बड़ा परिणाम यह था कि फ़िल्टरबैंक के सिद्धांत से तकनीकों का उपयोग करके DWT को [इसे कभी-कभी FWT [फास्ट डब्ल्यूटी] भी कहा जाता है) (जैसे कि FWT [फास्ट डब्ल्यूटी] कहा जाता है) को बहुत ही कुशलता से फ़िल्टर किया जा सकता है। विशेष QMFs का निर्माण करके संबंधित DWT को फ़िल्टरिंग और डाउनसमलिंग के माध्यम से गणना की जा सकती है, जो आज DWT की गणना करने के लिए अत्याधुनिक एल्गोरिदम है। आपको DWT की गणना करने के लिए स्केलिंग फ़ंक्शन की आवश्यकता नहीं है, यह सिर्फ एक कार्यान्वयन विवरण है जो FWT प्रक्रिया है।

आवेदन पक्ष के संबंध में सीडब्ल्यूटी सिग्नल के लिए अधिक आदर्श उम्मीदवार है या इसके अधिक बारीक दाने वाले रिज़ॉल्यूशन के कारण समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए और आमतौर पर अधिकांश कार्यों (जैसे विलक्षणता का पता लगाने) में चुना जाता है। तेज गैर निरर्थक परिवर्तनों के संदर्भ में DWT अधिक रुचि रखता है। DWT में एक बहुत अच्छा ऊर्जा जमाव है और इस प्रकार हानिपूर्ण संपीड़ित और सिग्नल प्रसारण के लिए एक अच्छा उम्मीदवार है।

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आशा है कि चीजों को स्पष्ट किया।

Comments

नामकरण के बारे में ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य और स्पष्टीकरण के लिए आंद्रे का धन्यवाद। मैं इन नामों के कारण भ्रम के कारण बिल्कुल संघर्ष कर रहा हूं!

— यानुशुई काओ

नमस्ते, क्या आप उन कागजात से जुड़ सकते हैं जो प्रदर्शित करते हैं कि आप क्या वर्णन करते हैं? मैं विशेष रूप से अपने 2 पैरा, यानी कैसे Daubechies शो डीडब्ल्यूटी एक dyadic ग्रिड पर पूरा हो गया है में दिलचस्पी है, और CWT एक प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य कर्नेल का उपयोग कर फिर से संगठित कर सकते हैं

— यानिक

Answer 2

तरंगों के क्षेत्र में एक बहुत ही सामान्य अभी तक दुर्भाग्यपूर्ण गलत अवधारणा "कंटीन्यूअस वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म" की गैर-गढ़ा शब्दावली के साथ करना है।

पहली बात सबसे पहले: द कंटीन्यूअस वेवलेट ट्रांसफॉर्म, (सीडब्ल्यूटी), और डिस्क्रीट वेवलेट ट्रांसफॉर्म (डीडब्ल्यूटी), दोनों ही बिंदु-दर-बिंदु, डिजिटल, रूपांतरण हैं जो आसानी से एक कंप्यूटर पर लागू होते हैं।

"कंटीन्यूअस" ट्रांसफ़ॉर्म, और "डिस्ट्रेट" ट्रांसफ़ॉर्म वेवलेट के संदर्भ में अंतर, इससे आता है:

1) जब आप अपने तरंगिका के साथ एक संकेत को पार करते हैं तो नमूनों की संख्या समाप्त हो जाती है।

2) जब आप अपने तरंगिका को पतला करते हैं तो नमूनों की संख्या कम हो जाती है।

3) CWT केवल एक वेवलेट का उपयोग करता है, जबकि DWT एक वेवलेट और स्केल-लेट दोनों का उपयोग करता है। (इस चर्चा के लिए महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन यहाँ पूर्णता के लिए)।

लेकिन कोई गलती न करें - डीडब्ल्यूटी की तरह एक सीडब्ल्यूटी, हर समय एक असतत, डिजिटल, ऑपरेशन है।

इस उदाहरण को स्पष्ट करें: हार तरंग, [१ -1] पर विचार करें। बता दें कि हम हर वेवलेट के साथ DWT करना चाहते थे। तो आप अपने संकेत को हारा माता तरंगिका [1 -1] के साथ मनाते हैं, लेकिन केवल डायडिक विलंब पर। उदाहरण के लिए, हम कहें कि आपका संकेत निम्नलिखित वेक्टर है:

$$x = [1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8]$$

आपके Haar Wavelet के साथ DWT कनवल्शन का पहला परिणाम है:

$$1(-1) + 2(1)$$

अगला परिणाम है:

$$3(-1) + 4(1)$$

अगला है:

$$5(-1) + 6(1)$$

और अंत में अंतिम है:

$$7(-1) + 8(1)$$

क्या कुछ आप के रूप में अजीब हड़ताल करता है? मैंने कहा कि तरंग के साथ अपने संकेत का दृढ़ संकल्प लें - तो मैं केवल चार मूल्यों के साथ कैसे आऊं? इसका कारण यह है कि जब मैं DWT में कॉन्फोल्यूशन करता हूं तो मैं सैंपल छोड़ देता हूं। मैंने पहली बार [1 2] लिया, एक डॉट उत्पाद किया, और फिर [3 4] लिया। क्या हुआ [२ ३]? मैंने उसे छोड़ दिया।

आप इसे कब नहीं छोड़ते? जब आप एक सीडब्ल्यूटी करते हैं। यदि आपने एक सीडब्ल्यूटी किया, तो यह आपके सिग्नल का एक 'सामान्य' डिजिटल कनवल्शन होगा, जिसके साथ हैर वेवलेट है।

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दूसरी बात, जिस तरह से आप अपने तरंगिका को पतला करते हैं। शीर्ष उदाहरण में, हैर वेवलेट पहले स्तर के अपघटन के लिए [1 -1] है। दूसरे स्तर में, DWT Haar Wavelet [1 1 -1 -1] बन जाता है। हालाँकि, CWT में, दूसरा स्तर हैर तरंग है [1 0 -1]। एक बार फिर, DWT में, मैं बिंदु के लिए बिंदु का विस्तार नहीं कर रहा हूं - मेरे पास कभी भी तीन-लंबाई वाली तरंगिका नहीं है। हालाँकि, CWT में, मैं लंबाई 2 से, लंबाई 3 तक जाता हूं। DWT में, मैं सीधे 2 लंबाई से, लंबाई 4 तक गया।

यह इसका लंबा और छोटा हिस्सा है, आशा है कि इससे मदद मिलेगी।

Comments

हालांकि यह सच है कि किसी भी वेलेट ट्रांसफ़ॉर्म (सीडब्ल्यूटी या डीडब्ल्यूटी) के डीएसपी अहसास में, कार्यान्वयन संभवतया एक बिंदु के रूप में एक असतत वेवलेट फ़ंक्शन के साथ गुणा के रूप में किया जाता है (जिस तरह से डीएफटी तैयार की जाती है), सीडब्ल्यूटी की गणितीय परिभाषा निरंतर है। DWT के संस्करण हैं जो असतत डेटा के लिए विकसित किए गए थे, इसलिए कुछ DWT कार्यान्वयन परिभाषा द्वारा सटीक हैं। सीडब्ल्यूटी का कोई भी कार्यान्वयन एक सन्निकटन है जो निरंतर तरंगिका फ़ंक्शन के साथ एक सतत संचालन (एकीकरण) को असतत ऑपरेशन में परिवर्तित करके आया था।

— user2718

@ ब्रूसज़ेनोन निश्चित रूप से, और परिभाषा निश्चित रूप से संदर्भ से लेती है। "सीडब्ल्यूटी" के बारे में बात करने वाले दो गणितज्ञों का मतलब अभिन्न लोगों के साथ निरंतर संस्करण होगा, जबकि कार्यान्वयन के बारे में दो इंजीनियरों का कहना है कि "सीडब्ल्यूटी" और इसका अर्थ होगा असतत संस्करण, (यह डीडब्ल्यूटी के समान नहीं है), इसलिए स्रोत ओपी की उलझन।

— स्पेसी

आधी हकीकत। मैं डीएसपी के लिए सीडब्ल्यूटी (मॉर्लेट कहना) का एक अच्छी तरह से प्रलेखित कार्यान्वयन देखना चाहता हूं कि कैसे असतत प्रसंस्करण की दुनिया में निरंतर संचालन / कार्यों का अनुवाद किया जाता है। ध्यान दें कि DFT और फूरियर रूपांतरण गणितीय रूप से बोलते हुए काफी भिन्न जानवर हैं।

— user2718