एक फिल्टर में शून्य समूह विलंब कैसे हो सकता है?

Question

यदि आप 1-ऑर्डर वाले कम-पास फिल्टर के पासबैंड के माध्यम से एक लहर पैकेट डालते हैं, तो यह फिल्टर के समूह देरी से विलंबित हो जाएगा, और एक ही आयाम रहेगा, है ना?

यदि आप एक ही कटऑफ आवृत्ति के साथ पूरक 1-ऑर्डर हाईपास फिल्टर के माध्यम से एक ही लहर पैकेट डालते हैं, तो समूह देरी वक्र समान है, इसलिए पैकेट की देरी समान होगी, लेकिन लाभ बहुत कम है, इसलिए यह दोनों को देरी और लापरवाही के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए।

चूंकि हाईपास फ़िल्टर का आउटपुट बहुत छोटा है, यदि आप इन दोनों फ़िल्टर के आउटपुट (एक ऑडियो क्रॉसओवर में) के रूप में जोड़ते हैं, तो मैं उम्मीद करूँगा कि यह लोअर फ़िल्टर के आउटपुट से लापरवाही से अलग होगा: बड़े विलंबित सिग्नल + बहुत छोटा देरी संकेत = बड़े विलंबित संकेत।

फिर भी यदि आप फिल्टर प्रतिक्रियाओं को जोड़ते हैं, तो आयाम हर जगह 0 dB है, और चरण हर जगह 0 है, और इसलिए समूह विलंब 0 हो जाता है, जिसका मतलब होगा कि लहर पैकेट बिना किसी देरी और परिवर्तन के साथ आता है। मुझे समझ नहीं आता कि यह कैसे संभव हो सकता है। क्या फिल्टर हमेशा देरी नहीं करते हैं? फ़िल्टर (जिसमें पॉजिटिव ग्रुप डिले भी है) को दूसरे चैनल की वजह से देरी से कैसे रोका जा सकता है, खासकर जब स्टॉपबैंड में ऐसा हो रहा हो?

मैं यहाँ कौन सा हिस्सा गलत समझ रहा हूँ?

रैखिक चरण के साथ सबसे अच्छी तरह से ज्ञात क्रॉसओवर प्रकार पहले-क्रम में गैर-उल्टे क्रॉसओवर हैं, ... पहला-ऑर्डर क्रॉसओवर न्यूनतम चरण है जब इसके आउटपुट सामान्य रूप से अभिव्यक्त किए जाते हैं; इसमें 0 ° पर एक सपाट चरण भूखंड है। - एक्टिव क्रोसोवर्स की डिजाइन

तथा

यहां आउटपुट को एक साथ समेटने का परिणाम 0 ° चरण बदलाव पैदा करता है, जो यह कहता है कि 1-ऑर्डर क्रॉसओवर का सारांशित आयाम और चरण बदलाव तार के एक टुकड़े के बराबर है। - लिंकविट्ज़-रिले क्रोसोवर्स: ए प्राइमर: 1-ऑर्डर क्रॉसओवर नेटवर्क

वास्तविक दालों पर परीक्षण से पता चलता है कि कैसे लोअरपास (नीला) उम्मीद के मुताबिक नाड़ी को विलंबित करता है, और मूल (लाल) नाड़ी के उत्पादन के लिए हाईपास (हरा) इसके साथ कैसे जुड़ सकता है, लेकिन मूल से पहले हाईपास नाड़ी कैसे होती है हाईपास फ़िल्टर कारण है और सकारात्मक समूह देरी है? अंतर्ज्ञान मुझे असफल कर रहा है।

यह करता है कि सबकुछ पार आउटपुट के रूप में नगण्य के रूप में मैं कल्पना नहीं है शो, और देरी अधिक नगण्य की तुलना में मैं कल्पना की है, और जैसा कि आप वाहक आवृत्ति चारों ओर ले जाने, इन दोनों के गुण एक आनुपातिक ढंग से बदल (छोटे देरी कम आयाम सबकुछ पार उत्पादन की आवश्यकता है इसे ठीक करने के लिए)। लेकिन मैं अभी भी वास्तव में इसे नहीं समझता।

Comments

तो आप रहे हैं कि दो फिल्टर ऐसे मेल खाते हैं कि उनका स्थानांतरण कार्य एकता (यानी ) के ? इसका अर्थ यह भी होगा कि उनकी आवेग प्रतिक्रियाओं का योग सिर्फ पर एक आवेग है , जो शून्य समूह विलंब के आपके अवलोकन से सहमत होगा। मुझे लगता है कि आपकी धारणा शून्य के योग के दो फिल्टर का चरण शायद दोषपूर्ण है। $H_{lp}(z) + H_{hp}(z) = 1$$n=0$

— जेसन आर

@ जैसनआर: हां, 1-ऑर्डर फिल्टर, हाईपास और लोपास, एक ही एफसी के साथ। en.wikipedia.org/wiki/Audio_crossover#First_order

— Endolith

@ जेसन: एंडोलिथ वास्तव में सही है। प्रथम क्रम हाय / लो पास पूरी तरह से समानांतर में पुनर्निर्माण करता है। ऐसे अन्य मामले भी हैं जो ऐसा करते हैं

— हिल्मार

क्षमा करें दोस्तों; मैं केवल श्रृंखला कैस्केड के बारे में सोच रहा था। उपेक्षा।

— जेसन आर

Answer 1

"एकता के पुनर्निर्माण" के कुछ दिलचस्प पहलू हैं। सबसे पहले, दो फिल्टर के संयोजन के दो तरीके हैं: समानांतर और श्रृंखला में। एक समानांतर टोपोलॉजी के लिए यह एक मानार्थ फ़िल्टर खोजने के लिए हमेशा संभव है ताकि जोड़े एकता में जुड़ सकें। यह वास्तव में काफी आसान है। बस करो$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$। उस समय डोमेन में जिसका अर्थ है कि मानार्थ फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया केवल मूल आवेग प्रतिक्रिया का नकारात्मक है जो पहले नमूने में 1 जोड़ा गया है। तो सभी "रिंगी" सामान को रद्द कर देता है। अब इस मानार्थ फ़िल्टर का आकार हमेशा वह नहीं होता जिसकी कोई उम्मीद करता है। 1 ऑर्डर कम पास के लिए यह वास्तव में पहला ऑर्डर हाई पास है, लेकिन उच्च ऑर्डर फिल्टर के लिए यह कटऑफ क्षेत्र में झूलों के ऊपर / नीचे होता है। हालांकि, यह हमेशा एक स्थिर कारण फिल्टर के रूप में मौजूद होता है।

श्रृंखला (या कैस्केड) "एकता में पुनर्निर्माण" थोड़ा अधिक जटिल है। जाहिर है कि फिल्टर को एक-दूसरे का उलटा होना होगा, यानी$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$। सामान्य तौर पर यह किसी भी न्यूनतम चरण के फिल्टर के लिए किया जा सकता है। न्यूनतम चरण फ़िल्टर का व्युत्क्रम न्यूनतम चरण भी है और दोनों कारण और स्थिर हैं।

तो यह हमें इस सवाल के साथ छोड़ देता है कि इन मामलों में समूह की देरी की व्याख्या कैसे करें। कैस्केड मामला वास्तव में अधिक दिलचस्प है। चूंकि फिल्टर एक दूसरे के विपरीत हैं, इसलिए चरण, और इसलिए समूह की देरी, दूसरे की नकारात्मक है। इसलिए आवृत्तियों पर एक फिल्टर में सकारात्मक समूह की देरी होती है, दूसरे में नकारात्मक समूह की देरी होती है। एक आसान उदाहरण लाभ के 6dB के साथ कम शेल्फ और कटौती के 6dB के साथ एक कम शेल्फ होगा। तो नकारात्मक समूह देरी बहुत वास्तविक है और निश्चित रूप से कार्य-कारण का उल्लंघन नहीं है। व्यवहार में, ये फिल्टर के क्षेत्रों में दिखाई देते हैं जो काफी "गैर-सपाट" होते हैं, इसलिए "लिफाफे की देरी" की पारंपरिक व्याख्या काफी लागू नहीं होती है क्योंकि उचित मात्रा में आयाम विरूपण भी होता है।

यदि आप Google "नकारात्मक समूह में देरी" करते हैं, तो आप कुछ IEEE लेख पा सकते हैं जिन्होंने इस विषय से निपटा है।

Comments

ठीक है, लेकिन जो हिस्सा भ्रामक है वह यह है कि दोनों फिल्टर में सकारात्मक समूह विलंब है, फिर भी शून्य समूह देरी के साथ आउटपुट का उत्पादन करने के लिए गठबंधन करें।

— एंडोलिथ

याद रखें कि समूह की देरी चरण का नकारात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है। समानांतर कैस्केड के लिए, दो सिस्टम के चरण नहीं जोड़ते हैं, क्योंकि वे एक श्रृंखला कनेक्शन में होंगे। इसलिए, हमें यह उम्मीद नहीं करनी चाहिए कि दोनों प्रणालियों का समूह विलंब या तो जोड़ देगा।

— जेसन आर

यहाँ पर सोचने का एक और तरीका है। समूह विलंब समान है, लेकिन विलंबित भाग चरण से बाहर हैं, इसलिए वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

— हिलमार

Answer 2

इस समस्या में न तो समूह की देरी का कोई दुरूपयोग है और न ही भौतिकी या कार्य-कारण का उल्लंघन। आवृत्ति के संबंध में चरण के नकारात्मक व्युत्पन्न के रूप में समूह की देरी की परिभाषा अभी भी रखती है, जिसमें प्रत्येक फ़िल्टर अपने आप में एक सकारात्मक समय देरी है जो आवृत्ति पर स्थिर नहीं है। विवरण का पता तब चलता है जब फ़िल्टर समानांतर या श्रृंखला में जुड़े होते हैं।

क्रॉस-ओवर फ़िल्टर के इस उदाहरण के लिए दो फ़िल्टर स्पष्ट रूप से दिखाए गए परिणाम को प्राप्त करने के लिए समानांतर में हैं, जो तब बहुत सहज है कि परिणाम 0 समूह विलंब कैसे हो सकता है: दो फ़िल्टर एक मानार्थ कम पास और उच्च पास हैं; और जब समानांतर अधिनियम में जुड़ा हुआ है जैसे कि न तो फिल्टर मौजूद हैं (सभी-पास, 0 विलंब के साथ)। यदि ये फ़िल्टर श्रृंखला में जुड़े होते हैं, तो परिणाम एक अपेक्षित विलंब के साथ क्रॉस-ओवर में एक बैंडपास होगा; हाईपास कम आवृत्तियों को आकर्षित करेगा, और लोअरपास उच्च आवृत्तियों को आकर्षित करेगा, और क्रॉस-ओवर में दोनों सिग्नल सिग्नल के -3 डीबी को पारित करेंगे, जिसके परिणामस्वरूप क्रॉस ओवर में 0.5 और चरण = 0 ° का परिमाण होगा। :$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

समानांतर और आवृत्ति में दो रैखिक प्रणालियों के सामान्य मामले पर विचार करें, जैसा कि उनकी आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के साथ नीचे ब्लॉक आरेख में दिखाया गया है। ध्यान दें कि गुणांक और प्रतिपादक आवृत्ति के कार्य हैं जिन्हें मैंने अभिव्यक्तियों को सरल और स्पष्ट रखने के लिए छोड़ दिया था;$A_1 e^{j\phi_1}$ प्रतिनिधित्व करता है $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$ और दोनों अभिव्यक्तियाँ उन प्रणालियों की आवेग प्रतिक्रिया (आवृत्ति प्रतिक्रिया) के फूरियर ट्रांसफॉर्म हैं, जैसे कि उच्च पास और कम पास प्रणालियों के लिए ओपी द्वारा दिखाए गए भूखंड।

ओपी के सवाल के प्रकाश में पहले मामले पर विचार करें। प्रत्येक फ़िल्टर पर क्रॉस पर एक परिमाण और चरण दिया गया है:

क्रॉस-ओवर पर हाईवे: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

लो-क्रॉस क्रॉस-ओवर: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

समानांतर में परिणाम होगा: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$ कोण 0. के साथ 1 के बराबर है। इस मामले को दो वैक्टर के अलावा रेखांकन के रूप में देखना सबसे आसान है:

श्रृंखला में परिणाम होगा $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$। जब आप वैक्टर को गुणा करते हैं तो आप परिमाण को गुणा करते हैं और चरण (घातांक) जोड़ते हैं, इसलिए यह परिणाम केवल चरण 0 के साथ 0.5 है।

और उच्चतम आवृत्ति पर प्रत्येक फ़िल्टर में एक परिमाण और चरण दिया गया है:

हाईपास च $\rightarrow \infty$: $1e^{j0}$

लोपास च $\rightarrow \infty$: $0e^{-j\pi}$

ध्यान दें कि समानांतर मामले के लिए परिणाम कोण 0 के साथ अभी भी 1 है, लेकिन श्रृंखला के मामले में यह 0 (कोण के साथ) तक पहुंचता है $-\pi$) आवृत्ति के रूप में $\infty$। यह समझ में आता है, उच्च पास सिग्नल को पास करता है (बिना देरी के - फिल्टर उच्चतम आवृत्तियों पर पारदर्शी होता है) लेकिन लोवर पूरी तरह से इसे ब्लॉक कर देता है, इसलिए कुछ भी नहीं मिलता है। इसके अलावा, हम देखते हैं कि क्रॉस-ओवर से गुजरने पर चरण एक नकारात्मक दिशा में कैसे बदल रहा है, और सुव्यवस्थित फ़िल्टर के बैंडपास परिणाम में देरी हो रही है, जैसा कि शुद्ध चरण बदलाव बनाम आवृत्ति की ढलान के नकारात्मक द्वारा दिया गया है ।

बीच में क्या होता है एक शून्य चरण के लिए समानांतर संयोजन के लिए दो फिल्टर के बीच एक विशेष गणितीय संबंध की आवश्यकता होती है (और इसलिए शून्य समूह देरी, अनिवार्य रूप से समानांतर संयोजन को भी पारदर्शी बनाता है)। ओपी के उदाहरण पर विचार करें जहां हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि दो फिल्टर के चरण में एक द्विघात संबंध है। इस प्रकार हमारे पास है:

$$A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j\phi_2}$$ $$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j(\phi_1 - \pi/2})$$ $$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{-j\pi/2}e^{j\phi_1}$$ $$=A_1e^{j\phi_1} - A_2je^{j\phi_1}$$ $$=e^{j\phi_1}(A_1-jA_2)$$

इस परिणाम के लिए सभी आवृत्तियों के लिए हमेशा शून्य चरण होना चाहिए, निम्नलिखित समानता होनी चाहिए:

$$A_1-jA_2 = e^{-j\phi_1}$$

या वैकल्पिक रूप से वर्णित:

$$A_1+jA_2 = e^{j\phi_1}$$

यूनिट सर्किल का वास्तविक और काल्पनिक घटक है जैसा कि हम स्वीप करते हैं $\phi_1$सभी संभावित मूल्यों पर। इसलिए जब$A_1 = cos(\phi_1)$ तथा $A_2 = sin(\phi_1)$दो फिल्टर के सदिश योग का परिणाम सभी के लिए शून्य चरण में होगा $\phi_1$ और इसलिए सभी आवृत्तियों।

अंतिम साजिश के साथ एक संभावित अंतर्ज्ञान के रूप में, जो ओपी ने दिखाया और उनके सवाल पर विचार करें कि व्युत्पन्न एक उच्च पास फ़ंक्शन है - यदि आपने लाल नाड़ी के व्युत्पन्न लिया तो आपको परिणामस्वरूप हरी नाड़ी मिलेगी। आप इस परिणाम को प्राप्त करना शुरू नहीं कर सकते, जब तक कि लाल नाड़ी मौजूद न हो, इसलिए कार्य-कारण का कोई उल्लंघन नहीं है।

Answer 3

मैंने सोचा था कि यह एक दिलचस्प सवाल था इसलिए मैं इसका जवाब देने की कोशिश करूंगा, भले ही 5 साल देर हो जाए।

मुझे लगता है कि आपने समूह में देरी को मापने के तरीकों में से एक को गलत तरीके से खोजने का एक तरीका खोज लिया है, जो यह कहना है कि इसे चरण के नकारात्मक व्युत्पन्न के रूप में गणना करना है। इस स्थिति में, यह विधि उपयुक्त नहीं है।

इस स्थिति में समूह देरी को मापने के लिए एक अधिक उपयुक्त तरीका साइन लहर इनपुट का उपयोग करना है और इनपुट और अभिव्यक्त आउटपुट के बीच देरी को मापना है। बेशक, एक पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए आपको एक आवृत्ति स्वीप करने की आवश्यकता होगी, जो एक परेशानी है, लेकिन सटीक है।

यदि आप ऐसा करते हैं, तो मुझे लगता है कि हम सभी सहमत हो सकते हैं कि आप एक गैर-समूह समूह की देरी को मापेंगे।

Comments

क्षमा करें, यह सही नहीं है। समूह की देरी को चरण बनाम आवृत्ति के नकारात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। यह परिभाषा है और इस तरह के "गलत" नहीं किया जा सकता है। आप जो वर्णन करते हैं वह वास्तव में चरण विलंब को मापेगा, समूह विलंब को नहीं। एक कैस्केड के पहले क्रम में लोअरपास और हाईपास फ़िल्टर के परिणाम समान होंगे। सभी आवृत्तियों पर समूह विलंब और चरण विलंब दोनों शून्य हैं।

— हिल्मर

@ हिलेर का मानना ​​है कि यह हाई पास और लो पास फिल्टर का समानांतर संयोजन है (मेरा जवाब देखें) कैस्केड नहीं, सहमत हैं? इसके अलावा, माप वास्तव में उस आवृत्ति पर समूह की देरी है यदि हम समय की देरी को माप रहे हैं। हम मापा समय देरी को गुणा करके चरण विलंब माप को चरण में परिवर्तित कर सकते हैं$2\pi / f$।

— डैन बॉशेन

आप वास्तव में समय देरी को सीधे माप नहीं सकते हैं, यदि समय की देरी आवृत्ति निर्भर है। इसलिए चरण विलंब या समूह विलंब के रूप में परिभाषा। चरण विलंब है$f/\omega$ , समूह की देरी है $\partial f/ \partial \omega$चूंकि समूह विलंब एक व्युत्पन्न है, आप इसे एकल माप से निर्धारित नहीं कर सकते हैं, आपको ब्याज की आवृत्ति के आसपास कुछ माप की आवश्यकता होती है।

— हिल्मर

$f/\omega$ है $1/(2\pi)$?

— डैन बॉशेन

हाँ। $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$, अगर यह आप पूछ रहे हैं

— हिल्मार

Answer 4

समूह की देरी समूह से संबंधित होती है अर्थात संशोधित संकेत इस प्रकार समूह की देरी का मापन समूह (संशोधित संकेत) का उपयोग करके किया जाना चाहिए। फ़िल्टर में प्रवेश करने वाला समूह फ़िल्टर के आउटपुट पर उसके आकार के संबंध में समान होना चाहिए। आकृति का अर्थ है जैसे समूह का वर्णक्रम। एकल आवृत्ति पर किए गए माप समूह में देरी के बारे में कोई जानकारी नहीं रखते हैं।

Comments

मुझे नहीं लगता कि यह सही है। समूह की देरी किसी भी आवृत्ति पर चरण प्रतिक्रिया की ढलान का माप है। हम प्रत्येक आवृत्ति पर समूह की देरी की गणना करते हैं, और एक बैंडविड्थ से अधिक हम यह बताने के लिए "समूह विलंब भिन्नता" का उपयोग करते हैं कि समूह विलंब ब्याज की बैंडविड्थ पर कितना भिन्न होगा। हमें निश्चित रूप से आवृत्तियों की एक श्रृंखला की आवश्यकता होती है जिसमें चरण के व्युत्पन्न की गणना की जाती है, लेकिन मेरी समझ यह है कि आवृत्ति के संबंध में चरण के व्युत्पन्न को लेने के आधार पर गणना की गई देरी वास्तव में समय की देरी है जिसे आप एकल तरंगों के लिए मापेंगे। उन आवृत्तियों में से प्रत्येक पर।

— दान बोशेन

समूह की देरी को चरण बनाम आवृत्ति के नकारात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। जब तक आप इसे मापते हैं, तब तक यह मायने नहीं रखता कि आप इसे कैसे मापते हैं और परिणाम समान होंगे। समूह की देरी को संकीर्ण बैंड संशोधित संकेतों के लिफाफे में देरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन व्याख्या की वैधता सटीक परिस्थितियों पर बहुत कुछ निर्भर करती है।

— हिलमार