फूरियर परिवर्तन इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

129

सिग्नल प्रोसेसिंग पर चर्चा करते समय हर कोई फूरियर रूपांतरण की चर्चा करता है। प्रोसेसिंग को सिग्नल देना इतना महत्वपूर्ण क्यों है और यह हमें सिग्नल के बारे में क्या बताता है?

क्या यह केवल डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग पर लागू होता है या क्या यह एनालॉग सिग्नल पर भी लागू होता है?

fourier-transform

— jcolebrand
स्रोत

10

हाल ही में मैटर पर फूरियर ट्रांसफॉर्म के बारे में एक चर्चा फिर से शुरू की गई। मैंने सोचा कि इस साइट पर लोगों को इसके लायक कुछ मिल सकता है, और वे भी भाग लेना चाहते हैं।

— दिलीप सरवटे

1

सीएफ कुछ उत्कृष्ट ऐतिहासिक पृष्ठभूमि के लिए यह उत्तर । फूरियर श्रृंखला की तारीख कम से कम टॉलेमी एपिकाइक्लिक खगोल विज्ञान के रूप में । फ्यूरियर श्रृंखला में अधिक शब्द जोड़ने के लिए अधिक सनकी और एपिक चक्र जोड़ने से, कोई भी आकाश में किसी वस्तु की निरंतर गति के लिए जिम्मेदार हो सकता है।

— गेरिमिया

144

यह काफी व्यापक प्रश्न है और यह वास्तव में यह इंगित करने के लिए काफी कठिन है कि सिग्नल प्रोसेसिंग में फूरियर रूपांतरण महत्वपूर्ण क्यों हैं । सबसे सरल, हाथ लहराता उत्तर जो प्रदान कर सकता है वह यह है कि यह एक अत्यंत शक्तिशाली गणितीय उपकरण है जो आपको अपने संकेतों को एक अलग डोमेन में देखने की अनुमति देता है, जिसके अंदर कई कठिन समस्याओं का विश्लेषण करना बहुत सरल हो जाता है।

इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र में इसकी सर्वव्यापकता, सभी अलग-अलग कारणों से, यह एक कारण को कम करने के लिए और अधिक कठिन बनाता है। मुझे आशा है कि इसके कुछ गुणों को देखते हुए जिसके कारण कुछ व्यावहारिक उदाहरणों के साथ-साथ इसे व्यापक रूप से अपनाना पड़ा और इतिहास का एक धड़ा इसके महत्व को समझने में मदद कर सकता है।

इतिहास:

फूरियर रूपांतरण के महत्व को समझने के लिए, जोसेफ फूरियर द्वारा आगे रखी गई फूरियर श्रृंखला की शक्ति की सराहना करना थोड़ा पीछे हटना महत्वपूर्ण है। नट-शेल में, किसी भी आवधिक फ़ंक्शन डोमेन पूर्णांक के रूप में साइन और कोसाइन की एक अनंत राशि के रूप में लिखा जा सकता है $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

जहाँ । यह विचार कि एक फ़ंक्शन को उसके घटक आवृत्तियों में विभाजित किया जा सकता है (अर्थात, सभी आवृत्तियों के साइन और कोज़ाइन में) एक शक्तिशाली था और फूरियर रूपांतरण की रीढ़ बनाता है। $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

फूरियर रूपांतरण:

फूरियर रूपांतरण को गैर-आवधिक कार्यों के लिए उपरोक्त फूरियर श्रृंखला के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। पूर्णता के लिए और स्पष्टता के लिए, मैं यहां फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करूंगा। यदि एक निरंतर, पूर्णांक संकेत है, तो इसका फूरियर रूपांतरण, द्वारा दिया जाता है $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

और व्युत्क्रम परिवर्तन द्वारा दिया गया है

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

सिग्नल प्रोसेसिंग में महत्व:

सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण, सिग्नल का एक फूरियर रूपांतरण आपको बताता है कि आपके सिग्नल में कौन सी फ्रीक्वेंसी मौजूद हैं और किस अनुपात में हैं ।

उदाहरण: क्या आपने कभी देखा है कि जब आप किसी कॉल के दौरान दबाते हैं तो आपके फ़ोन के प्रत्येक नंबर के बटन अलग-अलग लगते हैं और यह हर फ़ोन मॉडल के लिए समान लगता है? ऐसा इसलिए है क्योंकि वे प्रत्येक दो अलग-अलग साइनसोइड से बने होते हैं, जिनका उपयोग बटन की विशिष्ट पहचान के लिए किया जा सकता है। जब आप किसी मेनू को नेविगेट करने के लिए संयोजनों में पंच करने के लिए अपने फोन का उपयोग करते हैं, तो जिस तरह से दूसरी पार्टी को पता चलता है कि आपने जो कुंजी दबाया है वह इनपुट के फूरियर रूपांतरण करके और मौजूद आवृत्तियों को देखकर है।

कुछ बहुत ही उपयोगी प्राथमिक गुणों के अलावा, जो गणित को सरल बनाते हैं, कुछ अन्य कारण जिनकी वजह से सिग्नल सिग्नल में इसका व्यापक महत्व है:

फूरियर की भयावहता वर्ग को बदलने, तुरन्त हमें बताता है कितनी शक्ति संकेत एक विशेष आवृत्ति पर है । $\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
पार्सल के प्रमेय से (अधिक सामान्यतः प्रमेय से), हमारे पास जिसका अर्थ है कि हर समय एक सिग्नल में कुल ऊर्जा, सभी आवृत्तियों में परिवर्तन में कुल ऊर्जा के बराबर है । इस प्रकार, परिवर्तन ऊर्जा संरक्षण है। $\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
समय डोमेन में बातचीत आवृत्ति डोमेन में गुणा के बराबर होती है, अर्थात, दो सिग्नल और , तो यदि $x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ जहां _ दोष को दर्शाता है, तो का फूरियर रूपांतरण मात्र है $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
असतत संकेतों के लिए, कुशल एफएफटी एल्गोरिदम के विकास के साथ, लगभग हमेशा, यह समय डोमेन की तुलना में आवृत्ति डोमेन में एक कन्वेंशन ऑपरेशन को लागू करने के लिए तेज़ है।
कनवल्शन ऑपरेशन के समान, क्रॉस-सहसंबंध भी आसानी से रूप में आवृत्ति डोमेन में लागू होते हैं , जहां जटिल संयुग्म को दर्शाता है। $Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
अपने घटक आवृत्तियों में संकेतों को विभाजित करने में सक्षम होने से, कोई व्यक्ति अपने योगदानों को शून्य करके आसानी से निश्चित आवृत्तियों को अवरुद्ध कर सकता है।

उदाहरण: यदि आप एक फुटबॉल (सॉकर) प्रशंसक हैं, तो आप vuvuzelas के निरंतर ड्रोन पर नाराज हो गए होंगे जो कि दक्षिण अफ्रीका में 2010 के विश्व कप के दौरान सभी कमेंटरी को डुबो दिया था। हालांकि, वुज़ुजेला में ~ 235 हर्ट्ज की एक निरंतर पिच है जिसने प्रसारणकर्ताओं के लिए आक्रामक शोर को काटने के लिए एक पायदान फिल्टर को लागू करना आसान बना दिया। ^[1]
समय डोमेन में एक स्थानांतरित (विलंबित) संकेत आवृत्ति डोमेन में एक चरण परिवर्तन के रूप में प्रकट होता है। हालांकि यह प्राथमिक संपत्ति की श्रेणी में आता है, यह व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली संपत्ति है, विशेष रूप से इमेजिंग और टोमोग्राफी अनुप्रयोगों में,

उदाहरण: जब कोई तरंग विषम माध्यम से यात्रा करती है, तो यह माध्यम में तरंग प्रसार की गति में परिवर्तन के अनुसार धीमी और धीमी हो जाती है। तो क्या उम्मीद है और क्या मापा जाता है, से चरण में एक परिवर्तन का अवलोकन करके, एक अतिरिक्त समय देरी का अनुमान लगा सकता है जो आपको बताता है कि माध्यम में लहर की गति कितनी बदल गई है। यह निश्चित रूप से, एक बहुत ही सरलीकृत सामान्य व्याख्या है, लेकिन टोमोग्राफी का आधार बनता है।
फूरियर रूपांतरणों का उपयोग करके संकेतों के व्युत्पन्न (एन ^वें डेरिवेटिव भी) आसानी से गणना की जा सकती है (106 देखें)।

डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग (DSP) बनाम एनालॉग सिग्नल प्रोसेसिंग (ASP)

फूरियर ट्रांसफॉर्म का सिद्धांत इस बात पर ध्यान दिए बिना लागू होता है कि सिग्नल निरंतर है या असतत है, जब तक कि यह "अच्छा" है और पूरी तरह से अलग है। हां, एएसपी फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करता है जब तक कि संकेत इस मानदंड को पूरा करते हैं। हालांकि, एएसपी में लैपलैस ट्रांसफॉर्म के बारे में बात करना अधिक सामान्य है, जो एक सामान्यीकृत फूरियर ट्रांसफॉर्म है। लाप्लास रूपांतर को परिभाषित किया गया है

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

लाभ यह है कि फूरियर रूपांतरण के रूप में एक "अच्छे संकेतों" तक ही सीमित नहीं है, लेकिन रूपांतरण केवल एक निश्चित क्षेत्र के भीतर ही मान्य है। यह व्यापक रूप से LC / RC / LCR सर्किट का अध्ययन / विश्लेषण / डिजाइन करने में उपयोग किया जाता है, जो बदले में रेडियो / इलेक्ट्रिक गिटार, वाह-वाह पैडल, आदि में उपयोग किया जाता है।

यह बहुत कुछ है जो मैं अभी सोच सकता था, लेकिन ध्यान दें कि लेखन / स्पष्टीकरण की कोई भी राशि पूरी तरह से सिग्नल प्रोसेसिंग और विज्ञान / इंजीनियरिंग में फूरियर रूपांतरण के वास्तविक महत्व को नहीं पकड़ सकती है।

— लोरम इप्सम
स्रोत

2

एफटी और इसके गुणों का उपयोग करके कुछ रियलवर्ल्ड एप्लिकेशन देने में अच्छा जवाब। +1।

— गोल्डनमी

3

@endolith मैंने यह नहीं कहा कि फूरियर रूपांतरण पहले था, बस यह शक्तिशाली है । ध्यान दें कि एक टेलर श्रृंखला घटक आवृत्तियों के संदर्भ में एक विस्तार नहीं है । उदाहरण के लिए, के टेलर श्रृंखला के बारे में है , जबकि फूरियर का बदलना is (कुछ सामान्यीकरण कारक दें या लें)। उत्तरार्द्ध सही आवृत्ति प्रतिनिधित्व है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि टेलर श्रृंखला के साथ कोई तुलना यहां उपयुक्त है।

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

— लोरेम इप्सम

6

जब मैंने इस प्रतिक्रिया को पढ़ना शुरू किया, तो किसी तरह मुझे पता था कि @yoda ने इसे लिखने से पहले लिखा था कि यह देखने के लिए कि यह वास्तव में कौन था =)

— फोनॉन

2

# 3 पर विस्तार से बताने के लिए: कन्वर्सेशन वह है जो आप तब करते हैं जब आप किसी छवि के लिए फ़िल्टर लागू करते हैं, जैसे कि औसत फ़िल्टर, या गॉसियन फ़िल्टर (हालांकि आप फ़्यूरियर-रूपांतरित नॉन-लीनियर फ़िल्टर नहीं कर सकते हैं)।

— जोनास

1

पीटर के बिंदु वास्तव में महत्वपूर्ण है। सिग्नल को कई अलग-अलग आधारों के संबंध में दर्शाया जा सकता है । Sines और cosines खास हैं क्योंकि ये LTI सिस्टम के आइजनफंक्शन हैं।

— निबोट

53

लॉरेम इप्सम के शानदार उत्तर से एक बात याद आती है: फूरियर ट्रांसफॉर्म ने संकेतों को घटक जटिल घातांक में बदल दिया:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

और जटिल exponentials हैं eigenfunctions के लिए रेखीय, समय अपरिवर्तनीय सिस्टम ।

$H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

तो फूरियर रूपांतरण रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के विश्लेषण के लिए एक उपयोगी उपकरण है।

— पीटर के।
स्रोत

@ पेटर के। मुझे लगता है कि एक उत्तर की "लोकप्रियता" पर (अकादमिक) शुद्धता पर पसंद के दर्शन के बाद, आपके उत्तर को लोरम इप्सम द्वारा प्रदान किए गए उपरोक्त उत्तर में एकीकृत किया जाना चाहिए, जो 96 के साथ उत्तर के रूप में चुने जाने के बावजूद है। उपयोगकर्ताओं द्वारा बिंदु, इस बहुत महत्वपूर्ण दृष्टिकोण का अभाव है।

— फेट 32

@Peter आपको इस अनुरोध के साथ परेशान करने के लिए क्षमा करें, लेकिन आप 1) एक मध्यस्थ हैं, 2) आपका नाम आपके बीमफॉर्मिंग टैग के साथ "सक्रिय" उपयोगकर्ताओं की सूची में दिखाई दिया। क्या आप एक त्वरित राय दे सकते हैं कि क्या यह पोस्ट Math.E में अच्छी तरह से यहाँ प्राप्त होगी? मुझे यकीन नहीं है, कि DSP.SE, Math.SE या EE.SE के पास उस पूछने वाले की मदद करने का सबसे अच्छा मौका है। मैं प्रवास पर विचार कर रहा हूं (जिसे मैं गणित के रूप में कर सकता हूं। मॉडरेटर)।

— जिरकी लाहोटन

@Peter के।, क्या आप इस प्रश्न को फिर से खोल सकते हैं: dsp.stackexchange.com/questions/37468 । मैंने ठीक कर दिया। धन्यवाद।

— रॉय

@ रोई यह पहले से ही खुला है?

— पीटर के.एच.

पीटर (कैसे कुछ लोगों का उपयोग करके संपर्क किया जा सकता है @और कुछ नहीं कर सकते? उस के लिए विकल्प कहां है?), ऐसा लगता है कि किसी ने इसे खोला है। धन्यवाद।

— रॉय

16

कोई दूसरा कारण:

यह तेज़ी से है (उदाहरण के लिए उपयोगी है), इसके रैखिक समय जटिलता (विशेष रूप से, एफएफटी के कारण )।
मेरा तर्क है कि, अगर ऐसा नहीं होता, तो हम शायद समय डोमेन में बहुत अधिक कर रहे हैं, और फूरियर डोमेन में बहुत कम है।

संपादित करें: चूंकि लोगों ने मुझे लिखने के लिए कहा कि एफएफटी तेज क्यों है ...

यह इसलिए है क्योंकि यह चतुराई से अतिरिक्त काम करने से बचता है।

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

हालांकि, हम एक प्रतीत होता है सांसारिक अवलोकन कर सकते हैं: दो बहुपदों को गुणा करने के लिए, हमें गुणांक को भरने की आवश्यकता नहीं है । इसके बजाय, हम बस (पर्याप्त) अंक में बहुपद का मूल्यांकन कर सकते हैं, मूल्यांकन किए गए मानों का एक बिंदुवार गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणाम प्राप्त करने के लिए प्रक्षेप कर सकते हैं।

$n$ $2n$ $\approx n^2$

लेकिन यह करता है, अगर हम इसे सही ढंग से करते हैं! एक साथ कई बिंदुओं पर एक एकल बहुपद का मूल्यांकन करना उन बिंदुओं पर व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करने की तुलना में तेज़ है, अगर हम "सही" बिंदुओं पर मूल्यांकन करते हैं । "सही" अंक क्या हैं?

$z$ $z^n = 1$

हम परिणाम के बहुपद गुणांक को वापस लाने के लिए अंक के माध्यम से प्रक्षेप करने के लिए एक समान प्रक्रिया कर सकते हैं, बस एकता की उलटा जड़ों का उपयोग करके ।

$n \log n$ $n^2$

इस प्रकार एक सामान्य ऑपरेशन (जैसे बहुपद गुणन) करने के लिए FFT का उपयोग करने की क्षमता बहुत तेज है जो इसे उपयोगी बनाती है, और यही कारण है कि लोग अब MIT की स्पार्स FFT एल्गोरिथम की नई खोज से उत्साहित हैं ।

— mehrdad
स्रोत

रैखिक समय जटिलता क्या है? मैं इस उत्तर को अस्वीकार नहीं करूंगा, लेकिन मुझे नहीं लगता कि फूरियर रूपांतरण पर इस चर्चा के मूल्य में कुछ भी जोड़ता है ।

— दिलीप सरवटे

1

@DilipSarwate मुझे संदेह है कि वह इसे हे (एन * लॉग (एन)) के लिए शॉर्टहैंड के रूप में उपयोग कर रहा है।

— जिम क्ले

@DilipSarwate: जिम सही है। यह फूरियर रूपांतरण के साथ करने के लिए सब कुछ है (असतत)। एफएफटी के बिना, आपके फूरियर रूपांतरण इनपुट आकार के वर्ग के लिए आनुपातिक होंगे, जो उन्हें बहुत कम उपयोगी बना देगा। लेकिन एफएफटी के साथ, वे इनपुट के आकार के समय के अनुपात में लेते हैं (इसके लघुगणक के समय), जो उन्हें बहुत अधिक उपयोगी बनाता है, और जो बहुत अधिक गणनाओं को गति देता है। इसके अलावा इस एक दिलचस्प पढ़ा हो सकता है।

— मेहरदाद

आपको इसके उपवास का उल्लेख क्यों करना चाहिए। इसका उपवास कहाँ है और हम इसका व्रत क्यों करते हैं?

— साइबरमेन

1

मुझे लगता है कि यह जवाब वैध है। इसे परिभाषित किया जाना चाहिए - "अन्य लोगों के उत्तर में बताई गई सभी अच्छी विशेषताओं के साथ, FFT इसे वास्तविक समय के अनुप्रयोगों में एक व्यवहार्य दृष्टिकोण बनने की अनुमति देता है"।

— एंड्रे रुबेश्टिन 18

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

संपादित करें: तथ्य की बात के रूप में, अंतर (और अभिन्न) ऑपरेटर LSIV ऑपरेटर हैं, यहां देखें ।

— chaohuang
स्रोत

8

इस धागे के कुछ अन्य उत्तरों में फूरियर रूपांतरण की परिभाषा और गुणों की उत्कृष्ट गणितीय चर्चा है; एक ऑडियो प्रोग्रामर के रूप में, मैं केवल अपना व्यक्तिगत अंतर्ज्ञान प्रदान करना चाहता हूं क्योंकि यह मेरे लिए महत्वपूर्ण क्यों है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म मुझे एक ध्वनि के बारे में सवालों के जवाब देने की अनुमति देता है जो अन्य विधियों के साथ उत्तर देना मुश्किल या असंभव है। यह कठिन समस्याओं को आसान बनाता है।

एक रिकॉर्डिंग में तीन संगीत नोटों का एक सेट होता है। नोट क्या हैं? यदि आप समय के साथ रिकॉर्डिंग को एम्पलीट्यूड के एक सेट के रूप में छोड़ देते हैं, तो यह एक आसान समस्या नहीं है। यदि आप रिकॉर्डिंग को समय के साथ आवृत्तियों के एक सेट में परिवर्तित करते हैं, तो यह वास्तव में आसान है।

मैं किसी रिकॉर्डिंग की पिच को उसकी अवधि को बदले बिना बदलना चाहता हूं। मैं यह कैसे करु? यह संभव है, लेकिन इनपुट सिग्नल के आयाम में हेरफेर करके, ऐसा करना आसान नहीं है। लेकिन यह आसान है यदि आप उन आवृत्तियों को जानते हैं जिनमें संकेत शामिल हैं।

क्या इस रिकॉर्डिंग में भाषण है या इसमें संगीत है? केवल आयाम-आधारित विधियों का उपयोग करके सुपर कठिन। लेकिन अच्छे समाधान हैं जो फूरियर रूपांतरण और उसके परिवार के आधार पर लगभग हर समय सही उत्तर का अनुमान लगाते हैं।

लगभग हर सवाल जो आप डिजिटल ऑडियो रिकॉर्डिंग के बारे में पूछना चाहते हैं, वह फूरियर रूपांतरण के असतत संस्करण का उपयोग करके रिकॉर्डिंग को परिवर्तित करके आसान बना दिया जाता है।

व्यवहार में, प्रत्येक आधुनिक डिजिटल ऑडियो डिवाइस फूरियर रूपांतरण के समान कार्यों पर बहुत अधिक निर्भर करता है।

फिर, अत्यधिक अनौपचारिक विवरण को माफ करें; यह केवल मेरा व्यक्तिगत अंतर्ज्ञान है कि फूरियर रूपांतरण महत्वपूर्ण क्यों है।

— johnwbyrd
स्रोत

हे जॉन, मेरे पास एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न है। मैं TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) की ध्वनि की गणना हम एक कार्यस्थल में दर्ज ध्वनि से करना चाहते हैं , मुझे आश्चर्य है कि अगर मैं अपनी ऑडियो फ़ाइल का विश्लेषण करने में फूरियर रूपांतरण को नियोजित करता हूं तो मैं इस मूल्य को अधिक सटीक रूप से माप सकता हूं।

— होसैन सरशर

नहीं जब तक कि माइक्रोफोन और रिकॉर्डिंग वातावरण को कैलिब्रेट नहीं किया गया था, नहीं।

— जॉन्हबीरड

6

अन्य लोगों ने शानदार, उपयोगी उत्तर दिए हैं। केवल कुछ सिग्नल के बारे में सोचें: आप केवल इस बात की परवाह करते हैं कि इसमें क्या फ्रीक्वेंसी हैं (और उनके चरण), टाइम डोमेन के बारे में नहीं। मुझे नहीं पता कि यह अंतिम या पूर्ण उत्तर है, लेकिन सिर्फ एक और कारण है कि फूरियर रूपांतरण उपयोगी है।

जब आपके पास कुछ संकेत होता है, तो यह आपके नमूने दर के आधार पर एक अनंत (या करीब) आवृत्तियों से बना हो सकता है। लेकिन, यह मामला नहीं है: हम जानते हैं कि अधिकांश संकेतों में सबसे कम आवृत्तियों की संख्या है, या हम उच्च पर्याप्त दर पर नमूना ले रहे हैं।

अगर हम जानते हैं कि, हम इसका उपयोग क्यों नहीं कर सकते? संपीड़ित संवेदन का क्षेत्र यही करता है। वे जानते हैं कि सबसे संभावित संकेत वह है जिसमें कम से कम त्रुटि है और सबसे कम आवृत्तियों है। इसलिए, वे हमारे मापन के साथ-साथ फूरियर रूपांतरण की परिमाण के सापेक्ष समग्र त्रुटि को कम करते हैं।

कुछ आवृत्तियों के संकेत में अक्सर एक न्यूनतम फूरियर रूपांतरण होता है, या अधिकतर शून्य (उर्फ "विरल," जैसा कि वे संकुचित संवेदन में कहते हैं)। उदाहरण के लिए, एक आवृत्ति के संकेत में केवल डेल्टा फ़ंक्शन होता है।

हम औपचारिक गणितीय परिभाषा का भी उपयोग कर सकते हैं।

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

आपको याद हो सकता है कि Nyquist ने कहा कि आपको एक अच्छा प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए दो बार उच्चतम आवृत्ति पर मापना होगा। ठीक है, कि आप अपने संकेत में अनंत आवृत्तियों था मान रहा था। हम पा सकते हैं कि अतीत!

संपीड़ित संवेदन का क्षेत्र किसी भी सिग्नल को फिर से संगठित कर सकता है जो कुछ डोमेन में ज्यादातर शून्य (या विरल) है। खैर, यह फूरियर रूपांतरण के लिए मामला है।

— स्कॉट
स्रोत

5

फूरियर रूपांतरण का मुख्य महत्व सिस्टम विश्लेषण के साथ निहित है। हमारे ब्रह्मांड का मुख्य घटक वैक्यूम है, और वैक्यूम खेतों का एक मौलिक रूप से रैखिक और समय-अपरिवाहक वाहक है: विभिन्न क्षेत्र अपने संबंधित वैक्टर को जोड़कर सुपरइम्पोज करते हैं, और जब भी आप कुछ क्षेत्रों के आवेदन को दोहराते हैं, तो परिणाम समान होगा। ।

एक परिणाम के रूप में, बहुत सारे सिस्टम में भौतिक पदार्थ शामिल होते हैं जो कि रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के रूप में व्यवहार करने वाले एक अच्छे सन्निकटन के लिए होते हैं।

इस तरह के एलटीआई सिस्टम को उनके "आवेग प्रतिक्रिया" द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और किसी भी समय-वितरित सिग्नल की प्रतिक्रिया को आवेग प्रतिक्रिया के साथ सिग्नल को दोषी ठहराते हुए वर्णित किया जाता है।

कन्वोक्यूशन एक कम्यूटेटिव और एसोसिएटिव ऑपरेशन है, लेकिन यह काफी कम्प्यूटेशनल और कॉन्सेप्टिवली महंगा भी है। हालाँकि, फंक्शंस को पीसवाइज गुणा में बदलकर फ़ंक्शंस की कन्वेंशन की जाती है।

इसका मतलब है कि रेखीय समय के अपरिवर्तनीय प्रणालियों और उनके संयोजनों के गुणों को बेहतर ढंग से वर्णित किया जाता है और फूरियर रूपांतरण के बाद हेरफेर किया जाता है।

नतीजतन, बहुत सारी प्रणालियों के व्यवहार का वर्णन करने के लिए "आवृत्ति प्रतिक्रिया" जैसी चीजें काफी विशेषता हैं और उन्हें चिह्नित करने के लिए उपयोगी हो जाती हैं।

फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म "लगभग, लेकिन काफी नहीं हैं, पूरी तरह से फूरियर ट्रांसफॉर्म के विपरीत" वर्ग हैं, क्योंकि उनके परिणाम वास्तव में समझदारी से व्याख्या करने योग्य नहीं हैं, क्योंकि फूरियर रूपांतरित हो जाता है, हालांकि उनके सिद्धांत में मजबूती से बदलाव हुआ है। वे फूरियर ट्रांसफॉर्म के अनुरूप हैं, जब ट्रांसफ़ॉर्मिंग अंतराल की आवधिकता के साथ एक नमूना संकेत के बारे में बात करते हैं। विशेष रूप से "आवधिकता" मानदंड लगभग हमेशा पूरा नहीं होता है।

उस के आसपास काम करने के लिए कई तकनीकें हैं, जैसे ओवरलैपिंग विंडोिंग फ़ंक्शन का उपयोग।

हालाँकि चीजों को सही करते समय एफएफटी को असतत समय के लिए नियोजित किया जा सकता है, और क्या यह एक कुशल एल्गोरिथ्म है, जो इसे बहुत सी चीजों के लिए उपयोगी बनाता है।

एक व्यक्ति एफएफटी एल्गोरिथ्म को भी संख्या सिद्धांतिक रूपांतरों के लिए नियोजित कर सकता है (जो जटिल "वास्तविक" के बजाय असतत संख्या क्षेत्रों में काम करता है) क्रम में तेजी से दृढ़ संकल्प करने के लिए, जैसे कि विनम्र संख्या या बहुपद को गुणा करना। इस मामले में, "फ़्रीक्वेंसी डोमेन" मूल रूप से किसी भी इनपुट के लिए सफेद शोर से अप्रभेद्य है और इससे पहले कि आप उलटा रूपांतर करें, इससे पहले इसकी कोई उपयोगी व्याख्या नहीं है।

— डेविड
स्रोत

2

फूरियर रूपांतरण की भौतिकी प्रासंगिकता यह संकेत में मौजूद आवृत्तियों के सापेक्ष आयाम को बताती है। इसे असतत समय और निरंतर समय संकेत दोनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। किसी भी संकेत को कई हार्मोनिक आवृत्तियों के मिश्रण के रूप में दर्शाया जा सकता है। फूरियर रूपांतरण को फ़िल्टर अनुप्रयोगों में मदद करता है, जहाँ हमें आवृत्तियों की केवल निश्चित सीमा की आवश्यकता होती है, तब हमें सबसे पहले यह जानना होगा कि आवृत्तियों के आयाम क्या हैं।

— वात्स्यायन
स्रोत