विभिन्न FTs - CFT, DFT, DTFT और फूरियर श्रृंखला के लिए सबसे स्पष्ट, सहज व्याख्या क्या है?

30

यहां तक कि काफी समय तक इनका अध्ययन करने के बाद भी, मैं यह भूल जाता हूं कि [अगर मैं थोड़ी देर के लिए संपर्क से बाहर हूं] वे एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं और प्रत्येक के लिए क्या है [क्योंकि उनके पास इस तरह के समान नाम हैं]। मुझे आशा है कि आप एक स्पष्टीकरण के साथ आएंगे जो इतना सहज और गणितीय रूप से सुंदर है कि वे हमेशा के लिए मेरी स्मृति में एम्बेडेड हो जाएंगे और जब भी मुझे [या किसी और] की आवश्यकता होगी, तो यह धागा एक सुपर क्विक रिफ्रेशर के रूप में काम करेगा।

fourier-transform

— Vighnesh
स्रोत

2

संभवतः फूरियर श्रृंखला के साथ शुरू होना चाहिए

— एंडोलिथ

क्या आप पोंट्रीगिन द्वंद्व से परिचित हैं?

— लोरेम इप्सुम

@ योदा - नहीं। क्या आप कृपया मुझे कुछ अच्छे संदर्भों के बारे में बता सकते हैं या बता सकते हैं? [मैं बेशक इसे गूगल करूँगा।]

— विघ्नेश

1

"स्टीव ऑन इमेज प्रोसेसिंग": फूरियर रूपांतरण को संबोधित करता है बिल्कुल यह सवाल।

— नोबार

जब कोई उत्तर यहां लिखना हो (जब तक आवश्यक हो) नहीं लिखूंगा। फिर भी, एक संभावित उत्तर दिया जा सकता है , क्या मैं निरंतर समय फूरियर ट्रांसफॉर्म का अध्ययन कर सकता हूं और बाकी मामलों को विशेष मामलों के रूप में मानता हूं, जो @LoremIpsum

— लॉरेंट

24

मैंने इस हैंडआउट को ओपेनहेम और विल्स्की के पूरक के रूप में लिखा था । कृपया नीचे दिए गए पृष्ठ 14 पर तालिका 4.1 पर एक नज़र डालें। (बड़ी छवि के लिए क्लिक करें।) मैंने उस तालिका को विशेष रूप से आपके जैसे सवालों के जवाब देने के लिए लिखा है।

चार ऑपरेशनों में समानता और अंतर पर ध्यान दें:

"श्रृंखला": समय-समय पर, आवृत्ति में असतत
"ट्रांसफ़ॉर्म": एपरियोडिक इन टाइम, फ़्रीक्वेंसी में निरंतर
"निरंतर समय": समय में निरंतर, आवृत्ति में एपेरियोडिक
"असतत समय": समय में असतत, आवृत्ति में आवधिक

मुझे आशा है कि आपको ये नोट मददगार लगेंगे! कृपया अपनी इच्छानुसार वितरण करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

— स्टीव तोजा
स्रोत

1

अच्छा सारांश। ध्यान दें कि ऊपर तालिका में संदर्भित "असतत समय फूरियर श्रृंखला" को आमतौर पर असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

— जेसन आर

थोड़ा सा नाइटपिक करने के लिए, यह उत्तर वास्तव में एक अच्छा सारांश है जैसा कि जेसन आर कहते हैं, और ऐसा कुछ जो स्थायी रूप से dsp.SE पर होने लायक है, ताकि हर कोई इसे भविष्य के संदर्भ के लिए लिंक कर सके, लेकिन यह वास्तव में पूछे गए प्रश्न के प्रति उत्तरदायी नहीं है इन मुद्दों की एक सहज व्याख्या के लिए (स्पष्ट रूप से एक जोड़ा बोनस होने के कारण और यह शीर्षक में उल्लेखित नहीं है, लेकिन सवाल के पाठ में नहीं है)।

— दिलीप सरवटे

2

एक महान प्रतिक्रिया स्टीव - मेरा मानना है कि यह वही है जो ओपी देख रहा है। संक्षिप्त, प्यारा और सटीक।

— स्पेसी

क्या यह आपके हैंडआउट के पृष्ठ 2 के अलग-अलग तल पर गलत सूचना है? यह कहा गया है: । क्या इसका मतलब यह नहीं था कि ?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

मिसप्रिंट नहीं। आपके दोनों कथन सत्य हैं, लेकिन मैंने पहला लिखने का इरादा किया क्योंकि गाइड के उस खंड में इकाई आवेग की मूल, स्वयंसिद्ध परिभाषाओं का वर्णन है। दूसरा कथन तब उन परिभाषाओं से लिया गया है: ।

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— स्टीव टोज़ा

9

इन अवधारणाओं की एक स्पष्ट और सही व्याख्या के लिए, आपको कुछ मानक पाठ्यपुस्तकों (ओपेनहेम-शेफर, प्रोकिस-मनोलकिस या रिचर्ड लायंस द्वारा "अंडरस्टैंडिंग डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग" से गुजरना होगा जो एक बहुत अच्छी लेकिन अपेक्षाकृत कम लोकप्रिय किताब है) । लेकिन एक कॉफी-टेबल चर्चा को मानते हुए, मैं कुछ बेहद ढीले बयान दे रहा हूं। :)

एक सामान्य निरंतर समय संकेत के लिए, आप किसी विशेष आवृत्ति के अनुपस्थित होने की उम्मीद नहीं करेंगे, इसलिए इसका फूरियर ट्रांसफॉर्म (या कंटीन्यूअस फूरियर ट्रांसफॉर्म) संभवतः -inf + inf के समर्थन के साथ एक निरंतर वक्र होगा।

एक समय-समय पर निरंतर संकेत (पीरियड टी) के लिए, फूरियर ने एक ही अवधि (टी, टी / 2, टी / 3, टी / 4, ...) वाले साइन और कॉशन के संयोजन के रूप में संकेत व्यक्त किया। प्रभावी रूप से, इस सिग्नल का स्पेक्ट्रम 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, स्थानों पर स्पाइक्स की एक श्रृंखला है ... इसे फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व कहा जाता है। एक प्रमेय है जो कहता है कि फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व किसी भी आवधिक निरंतर समय संकेत को संकेत में परिवर्तित करता है क्योंकि आप माध्य वर्ग अर्थ में अधिक से अधिक साइन और कोसाइन (या जटिल घातीय) शामिल करते हैं।

मोरल अब तक: समय-समय पर => स्पाइकी स्पेक्ट्रम

समय असतत करने पर ... यदि आप निरंतर समय संकेत का नमूना लेते हैं तो क्या होगा? यह स्पष्ट होना चाहिए कि पर्याप्त रूप से उच्च सिग्नल के लिए, आप सिग्नल को फिर से बनाने में सक्षम नहीं होंगे। यदि आप सिग्नल में आवृत्तियों के बारे में कोई धारणा नहीं बनाते हैं, तो नमूना संकेत दिया गया है, ऐसा कोई तरीका नहीं है जिससे आप कह सकें कि असली संकेत क्या है। दूसरे शब्दों में, अलग-अलग आवृत्तियों को असतत-समय सिग्नल में समान रूप से दर्शाया जाता है। कुछ गणित के माध्यम से जाना आपको बताता है कि आप मूल निरंतर संकेत से नमूना संकेत का स्पेक्ट्रम प्राप्त कर सकते हैं। कैसे? आप राशियों के निरंतर सिग्नल को राशियों + -1 / T, + -2 / T, ... द्वारा स्थानांतरित करते हैं और सभी स्थानांतरित प्रतियों (कुछ स्केलिंग के साथ) को जोड़ते हैं। यह आपको एक निरंतर स्पेक्ट्रम देता है जो 1 / T अवधि के साथ आवधिक है। (ध्यान दें: समय-समय पर नमूना लेने के परिणामस्वरूप स्पेक्ट्रम आवधिक होता है, समय संकेत करता है ' टी को समय-समय पर होना चाहिए) चूंकि स्पेक्ट्रम निरंतर है, आप केवल इसके एक अवधि के साथ ही इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। यह DTFT ("असतत-समय" फूरियर ट्रांसफॉर्म) है। उस स्थिति में जहां आपके मूल निरंतर समय सिग्नल की आवृत्तियों + -1 / 2T से अधिक नहीं होती है, स्पेक्ट्रम की स्थानांतरित प्रतियां ओवरलैप नहीं होती हैं और इसलिए, आप स्पेक्ट्रम की एक अवधि का चयन करके मूल निरंतर-समय सिग्नल को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं ( Nyquist नमूना प्रमेय)।

याद रखने का दूसरा तरीका: स्पिक टाइम सिग्नल => स्पेक्ट्रम में आवधिकता

यदि आप कुछ कश्मीर के लिए नमूना अवधि टी / के साथ एक सतत-समय आवधिक संकेत का नमूना लेते हैं तो क्या होगा? खैर, निरंतर-समय के संकेत के स्पेक्ट्रम के साथ होने के लिए डरावना था, और टी के कुछ भाजक द्वारा नमूना लेने का मतलब है कि स्थानांतरित प्रतियों में स्पाइक्स 1 / टी के गुणकों पर बिल्कुल गिरते हैं, इसलिए परिणामस्वरूप स्पेक्ट्रम एक स्पाइकिक आवधिक स्पेक्ट्रम है। । स्पिक आवधिक समय संकेत <=> स्पाइकी आवधिक स्पेक्ट्रम (यह मानते हुए कि अवधि और नमूना आवृत्ति ऊपर के रूप में "अच्छी तरह से संबंधित है।) यह वही है जिसे डीएफटी (असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म) के रूप में जाना जाता है। एफएफटी (फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म) डीएफटी को कुशलता से गणना करने के लिए एल्गोरिदम का एक वर्ग है।

डीएफटी को लागू करने का तरीका इस प्रकार है: मान लीजिए कि आप समय में एन नमूनों के अनुक्रम का विश्लेषण करना चाहते हैं। आप DTFT ले सकते हैं और इसके किसी एक पीरियड से निपट सकते हैं, लेकिन अगर आप मानते हैं कि आपका सिग्नल पीरियड N के साथ है, तो DTFT DFT में कम हो जाता है और आपके पास DTFT के एक पीरियड के सिर्फ N सैंपल होते हैं, जो सिग्नल को पूरी तरह से चिह्नित करते हैं। आप स्पेक्ट्रम के महीन नमूने और (ऐसे कई और गुण) प्राप्त करने के लिए सिग्नल को शून्य-पैड कर सकते हैं।

उपरोक्त सभी डीएसपी के अध्ययन के साथ ही उपयोगी है। उपरोक्त कुछ बहुत ही मोटे दिशानिर्देश हैं।

— RK2
स्रोत

7

मान लें कि पीरियड साथ एक बाउंड फंक्शन को निरूपित करता है , अर्थात सभी वास्तविक संख्याओं के लिए , । एक विशेष उदाहरण के रूप में, एक ऐसा कार्य है। हम इस फ़ंक्शन के लिए "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन खोजना चाहते हैं, जहां हम गुणांक चुनना चाहते हैं ताकि वर्ग त्रुटि को छोटे से छोटा है। विस्तार करते हुए, हमारे पास $x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$

\int_{0}^{टी} (एक्स (टी) - ए_{n} क्योंकि (2 π n टी / टी))^{2} घ टी,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

squared error = \int_{0}^{टी} {एक्स}^{2} (टी) घ टी - 2 ए_{n} \int_{0}^{टी} एक्स (टी) क्योंकि (2 π n टी / टी) घ टी + (ए_{n})^{2} \int_{0}^{टी} {क्योंकि}^{2} (2 π n टी / टी) घ टी ।

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ वाम-पंथी अभिन्न ऊर्जा है में से एक अवधि के द्वारा दिया , जबकि दायीं अभिन्न महत्व है और इसलिए हम देखते हैं कि अभी व। के लिए , द्विघात समारोह पर एक न्यूनतम है (जड़ों के बीच रास्ते के मध्य में ! !) और हां, क्योंकि हम की द्विघात क्रिया के रूप में वर्ग त्रुटि व्यक्त की है , की पसंद कि कम करता वर्ग त्रुटि है

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

चुकता त्रुटि = ए - 2 ए_{n} \int_{0}^{टी} एक्स (टी) क्योंकि (2 π n टी / टी) घ टी + (ए_{n})^{2} \frac{टी}{2} ।

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

ए_{n} = \frac{2}{टी} \int_{0}^{टी} एक्स (टी) क्योंकि (2 π n टी / टी) घ टी ।

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ इसी प्रकार, को रूप में चुनने पर और लिए चुकता त्रुटि को कम करता है। । इस प्रकार हम देखते हैं कि फूरियर श्रृंखला कुछ भी नहीं है, लेकिन एक समान अवधि और हार्मोनिक्स के साइन और कोसाइन संकेतों के संदर्भ में एक आवधिक कार्य लिए न्यूनतम चुकता त्रुटि सन्निकटन खोजने के लिए एक सस्ती चाल है।

b_{n}

$b_n$

ख_{n} = \frac{2}{टी} \int_{0}^{टी} एक्स (टी) पाप (2 π n टी / टी) घ टी

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

4

एंडोलिथ इसमें सही है, यदि आप वास्तव में फूरियर श्रृंखला के साथ शुरू करते हैं, और देखें कि यह फूरियर रूपांतरण के लिए कैसे बढ़ाया जाता है, तो चीजें बहुत अधिक समझ में आने लगती हैं। मैं इस उत्तर के पहले भाग में इसके लिए एक संक्षिप्त विवरण देता हूं ।

फूरियर ट्रांसफॉर्म परिवार को देखने का एक अच्छा (शायद सरल नहीं) तरीका है (जिसके द्वारा मेरा मतलब है कि आपने ऊपर सूचीबद्ध 4 है), पोंट्रीगिन द्वैत चश्मे के माध्यम से है । यह आपको मूल और रूपांतरित डोमेन के विभिन्न परिवर्तनों को याद रखने का एक अच्छा तरीका देता है।

पर एक जटिल मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए (एफटी के अस्तित्व के लिए अन्य आवश्यक शर्तों को मानते हुए), इसका फूरियर ट्रांसफॉर्म भी पर एक जटिल मूल्यवान फ़ंक्शन है । अंतरिक्ष एक पोंट्रीगिन सेल्फ-डुअल है और आप कह सकते हैं कि यदि पूरे परिवार में एक मूल और रूपांतरित डोमेन दोनों के रूप में , तो यह फूरियर ट्रांसफॉर्म (या CFT, के रूप में) है आप इसे कहते हैं)। $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

संख्याओं का एक जटिल मूल्यवान अनुक्रम पर एक आवधिक जटिल मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है , जो एक चक्रीय पूर्णांक modulo समूह है ( अधिक जानकारी के लिए परिमित एबेलियन समूह देखें )। इस अनुक्रम के लिए रूपांतरण में डोमेन (स्व-दोहरी) भी है और यह असतत फूरियर रूपांतरण है। $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

यूनिट सर्कल का डोमेन, (संपूर्ण मान 1 के साथ सभी जटिल संख्याएँ; सर्कल समूह भी देखें ) और पूर्णांक के सेट एक दूसरे के पोंट्रीगिन दोहरे हैं। पहले दो के समान, से बीच एक परिवर्तन मौजूद है और जिसे हम असतत-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म कहते हैं और दूसरा रास्ता फूरियर श्रृंखला है , जिसमें से सब कुछ शुरू हुआ। $\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

यह उत्तर पूरी तरह से पूरा नहीं हुआ है और मैं शायद इस समय का निर्माण कुछ बिंदुओं को स्पष्ट करने के लिए करूंगा जब मेरे पास समय होगा, लेकिन तब तक, यह तब तक चबा सकता है जब तक कि आप किसी और से अधिक सहज स्पष्टीकरण प्राप्त नहीं करते। विकिपीडिया पर फूरियर विश्लेषण के वेरिएंट को पढ़ने का भी प्रयास करें।

— लोरम इप्सम
स्रोत

3

मुझे लगता है कि सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि हम मूलभूत रूप से यह समझें कि हमें फूरियर रूपांतरण की आवश्यकता क्यों है। वे कई संभावित संकेत परिवर्तनों में से एक हैं, लेकिन सबसे उपयोगी लोगों में से एक भी हैं। एक ट्रांसफ़ॉर्मेशन मूल रूप से एक सिग्नल को दूसरे डोमेन में बदल देता है जो हमें उस डोमेन में सिग्नल के बारे में जानकारी दे सकता है, या यह हो सकता है कि डोमेन गणितीय रूप से काम करना आसान हो। एक बार जब हम उस डोमेन में काम कर रहे होते हैं, तो हम वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए उलटा रूपांतरण कर सकते हैं।

फूरियर सिद्धांत में सबसे बुनियादी इमारत ब्लॉक मोनोटोन (साइन और कोजाइन) हैं। हम फूरियर गणित का उपयोग करके इसके आवृत्ति घटकों (मोनोटोन) में एक संकेत को विघटित कर सकते हैं। इसलिए, फूरियर रूपांतरण मूल रूप से टाइम डोमेन से फ़्रीक्वेसी डोमेन के लिए एक सिग्नल को बदल देता है। फूरियर श्रृंखला में प्रत्येक मोनोटोन का गुणांक हमें सिग्नल में उस आवृत्ति घटक की ताकत के बारे में बताता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म (CFT, DFT) स्पष्ट रूप से हमें सिग्नल का एक आवृत्ति डोमेन दृश्य देता है। प्रकृति में, साइन और कोजाइन प्रमुख तरंग हैं। वर्ग तरंग, या तेज उतार-चढ़ाव वाले संकेतों जैसे सिंथेटिक संकेतों की स्वाभाविक रूप से होने की संभावना कम होती है और आश्चर्यजनक रूप से आवृत्तियों की अनंत श्रेणी की रचना नहीं होती है जैसा कि फूरियर रूपांतरण द्वारा स्पष्ट रूप से समझाया गया है। लोगों को संदेह था कि क्या कोई संकेत साइन / कोजाइन के योग के रूप में विकट हो सकता है। फूरियर ने वर्ग तरंग दिखाया (जो साइन / कोसाइन से बहुत दूर है) वास्तव में हो सकता है। सफेद शोर में समान शक्ति के साथ सभी आवृत्तियों होते हैं।

इसके अलावा, यदि आप फूरियर श्रृंखला के साथ काम कर रहे हैं, तो चरण शब्द के साथ गुणांक को देखा जा सकता है क्योंकि घटक सिनोसाइडल तरंगों को ठीक से सुपरमपोज करने के लिए आवश्यक है ताकि सुपरपोजिशन वास्तव में आवश्यक संकेत हो, जिसमें आप परिवर्तन ले रहे हैं। जब फूरियर ट्रांसफॉर्म के साथ काम करते हैं, तो जटिल संख्याओं में निहित रूप से चरण की शर्तें और प्रत्येक मोनोटोन की आवश्यक मात्रा होती है। (एकीकरण लगभग योग की तरह है। निरंतर => एकीकरण, असतत => सारांश)

मुझे लगता है कि एक बार जब आप एक अवधारणा के विषय की समझ रखते हैं, तो बाकी सभी केवल विवरण होते हैं जो आपको पुस्तकों को पढ़कर खुद समझना होगा। विभिन्न क्षेत्रों में फूरियर रूपांतरण के आवेदन के बारे में पढ़ना आपको बेहतर बोधगम्यता प्रदान करेगा।

— अभिषेक
स्रोत

2

डीएफटी एक ऑर्थोगोनल स्पेस से दूसरे में संख्या जोड़े के वेक्टर का रूपांतरण है। आम तौर पर एक संख्यात्मक गणना के रूप में किया जाता है। किसी कारण से, जब वास्तविक दुनिया से संख्याओं का एक गुच्छा लिया जाता है, तो संख्याओं का दूसरा गुच्छा अक्सर काफी उपयोगी कुछ के करीब हो जाता है।

मुझे प्राकृतिक विज्ञान में गणित की अनुचित प्रभावकारिता की याद दिलाई जाती है , विशेष रूप से डीएफटी को लागू करने के बारे में कई प्रणालियों में विभिन्न प्रकार के 2 डी डिफरेंशियल समीकरण द्वारा अनुमानित किए जाते हैं, यहां तक कि कॉफी चम्मच की आवाज मैं भी गिरा।

अन्य 3 एक्सवाईजेड-एफटी कॉफ़ी को ठंडा होने से पहले व्हाइटबोर्ड पर प्रतीकात्मक समाधानों में मदद करने के लिए कुछ पौराणिक अनंत संस्थाओं के अस्तित्व के बारे में धारणा बनाते हैं। वे सिग्नल प्रोसेसिंग की "गोलाकार गाय" हैं। DTFT और फूरियर श्रृंखला का दावा है कि एक वेक्टर को दूसरी इकाई के अनंत घनत्व की कीमत पर असीम रूप से बढ़ाया जा सकता है। फूरियर श्रृंखला का दावा है कि दोनों संस्थाएं अनंत निरंतर कार्य कर सकती हैं।

पर्याप्त गणित पाठ्यक्रम लें और कोई भी इन काल्पनिक संस्थाओं को कुछ अर्थों में सटीक और पूर्ण दोहरे बनाने के लिए आवश्यक सभी परिभाषाओं और मान्यताओं को निर्धारित कर सकता है।

— hotpaw2
स्रोत

आपके पहले वाक्य में "ऑर्थोगोनल स्पेस" का क्या अर्थ है? अंतरिक्ष ओर्थोगोनल क्या है करने के लिए , या क्या विशेष गुण अंतरिक्ष कि आप उस पर विशेषण कन्यादान "ओर्थोगोनल" द्वारा अन्य रन-ऑफ-द-मिल रिक्त स्थान से यह भेद कर रहे हैं है?

— दिलीप सरवटे

शायद वेक्टर स्थानों के लिए "सही" अधिक सही शब्द है?

— hotpaw2

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$ अंतरिक्ष में वैक्टर एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं या ऑर्थोगोनल हैं और यूनिट की लंबाई भी है? यदि हां, तो क्या आप ऐसे स्थान का उदाहरण दे सकते हैं?

— दिलीप सरवटे

सभी सीन्स या कोसाइन के बीच डॉट उत्पाद जो कि डीएफटी एपर्चर लंबाई में बिल्कुल आवधिक होते हैं, समान आवृत्ति कार्यों को छोड़कर, शून्य होते हैं। भले ही एन बैग में कॉफी बीन्स की संख्या से बड़ा हो। उन्हें orthonormal के लिए इकाई आयाम बनाएं।

— hotpaw2

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$