इनपुट और आउटपुट सिग्नल के सेट से एक रैखिक प्रणाली के आवेग प्रतिक्रिया को कैसे कम करें?

Question

मैं जानना चाहता हूं कि उन प्रकार की समस्याओं को कैसे हल किया जाए .. क्या यह निरीक्षण से है?

नीचे रैखिक प्रणाली पर विचार करें। जब सिस्टम , x 2 [ n ] और x 3 [ n ] पर इनपुट होता है, तो सिस्टम की प्रतिक्रियाएं y 1 [ n ] , y 2 [ n ] और y 3 [ n ] के रूप में दिखाई जाती हैं।$x_1[n]$$x_2[n]$$x_3[n]$$y_1[n]$$y_2[n]$$y_3[n]$

1. निर्धारित करें कि सिस्टम समय अपरिवर्तनीय है या नहीं। बस आपका जवाब है।

2. आवेग प्रतिक्रिया क्या है?

EDIT: एक सामान्य मामले को मानते हुए, जहां दिए गए इनपुट में x 2 [ n ] की तरह एक छोटा आवेग शामिल नहीं है$x_2[n]$

Comments

संकेत: और y 2 [ n ] का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए करें कि T की आवेग प्रतिक्रिया क्या होनी चाहिए ( x 2 [ n ] केवल एक छोटा आवेग है)। यह आपको भाग (बी) का जवाब देता है। फिर, अन्य दो मामलों की जाँच करें कि क्या इनपुट / आउटपुट उस आवेग प्रतिक्रिया (रैखिक प्रणाली के सुपरपोज़िशन प्रॉपर्टी का उपयोग करके) भाग (ए) के लिए उत्तर पाने के लिए अनुरूप हैं। $x_2[n]$$y_2[n]$$T$$x_2[n]$

— जेसन आर

यह सामान्य मामले में एक अधिक कठिन समस्या है। यदि वे इस तरह से कम हैं, तो आप आवेग प्रतिक्रिया की अवधि पर एक ऊपरी सीमा जानते हैं, और आपके पास पर्याप्त इनपुट / आउटपुट जोड़े हैं, फिर आप रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित कर सकते हैं जिसे आप अज्ञात आवेग में आने के लिए हल कर सकते हैं प्रतिक्रिया मान।

— जेसन आर

सामान्य मामले में यह भी संभव है कि कोई एफआईआर समाधान या कोई समाधान नहीं है। संकेत: X1 [n] और y1 [n] के डीसी मानों की जाँच करें।

— हिल्मर

संकेत: संकेत कैसा दिखता है? एक के लिए LTI प्रणाली, प्रतिक्रिया होना चाहिए y 2 [ एन ] - y 2 [ n - 2 ] , नहीं? क्या यह? यह भी ध्यान दें कि असतत-समय रैखिक समय- संस्करण प्रणाली के लिए, एक इकाई-नाड़ी प्रतिक्रिया नहीं है, लेकिन इकाई-नाड़ी प्रतिक्रियाओं का एक संक्रमण है, जब इकाई नाड़ी होती है, तो प्रत्येक समय के लिए एक। $x_2[n]-x_2[n-2]$$y_2[n]-y_2[n-2]$

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate: मैं मानता हूं कि यह एक भयानक होमवर्क समस्या है। हालाँकि, सिस्टम कार्य-कारण दिखता है। जबकि n = - 2 के लिए nonzero है , इसलिए x 3 [ n ] है , इसलिए सिस्टम आउटपुट समय पर इनपुट का नेतृत्व नहीं कर रहा है। $y_3[n]$$n=-2$$x_3[n]$

— जेसन आर

Answer 1

मुझे यकीन नहीं है कि करणीय या उसके अभाव के बारे में क्या सनक है। आप केवल रैखिक बीजगणित के बारे में सोचकर इस समस्या का सामना कर सकते हैं। एक रैखिक परिवर्तन है। एल को इनपुट पर लागू करना केवल मैट्रिक्स गुणन है। तो हमारे पास एल एक्स = y अगर एक्स एक आवेग तो यह सिर्फ के एक स्तंभ चुनने है एल , इसलिए के कॉलम एल आवेग प्रतिक्रियाओं हैं। बेशक, 3 इनपुट-आउटपुट जोड़े पूरी तरह से एल को 5x5 मैट्रिक्स के रूप में निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं ।$L$$L$

$$Lx = y$$ $x$$L$$L$$L$

आइए विचार करें कि इस दृष्टिकोण से समय-आक्रमण का क्या अर्थ होगा। यदि कोई परिवर्तन रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय है, तो यह आवेग प्रतिक्रिया है जिसका आकार हमेशा समान होता है और केवल इनपुट आवेग के रूप में उसी राशि से स्थानांतरित किया जाता है। तो मान लें कि लिए आवेग प्रतिक्रिया 0 1 2 3 0 इनपुट आवेग (और इस प्रकार गैर-कारण) के शीर्ष पर केंद्रित है। लीनियर टाइम-इनवेरिएंट L के लिए मैट्रिक्स तब दिखेगा: L = ( 2 1 0 0 0 3 2 1 0 0 0 3 2 1 0 0 0 3 2 1 0 0 $L$$L$

$$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$$

इसलिए, पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह देखने के लिए पर्याप्त दो कॉलम बनाने की आवश्यकता है कि वे समय-व्युत्क्रम को अलग करने के लिए भिन्न हैं। ऐसा करने का एक सीधा तरीका यह है कि यह समय-अपरिवर्तित है और एक विरोधाभास प्राप्त करता है। हालांकि, पता चलता है कि यह है समय-अपरिवर्तनीय अधिक जानकारी की आवश्यकता है, यानी यह पूरी तरह से मैट्रिक्स निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। यदि यह समय-अपरिवर्तनीय नहीं है, तो प्रत्येक नमूने के लिए संभावित रूप से अलग आवेग प्रतिक्रिया होती है, एक भी नहीं, जैसा कि अन्य ने उल्लेख किया है।

$L$

Answer 2

एक छवि प्रतीत होती है जो अब चली गई है और इसलिए मुझे कुछ याद आ रहा है।

1. 
   $x_1[n-m]$$y_1[n-m]$

2. यदि इनपुट सिग्नल बैंड सीमित हैं और उनकी बैंडविड्थ आपके सिस्टम से कम है तो आप आवेग प्रतिक्रिया को बहाल नहीं कर पाएंगे।
   आप केवल उन आवृत्तियों पर प्रतिक्रिया प्राप्त करने में सक्षम होंगे जिनमें इनपुट में ऊर्जा है।
   यह इनपुट और आउटपुट के आवृत्ति विश्लेषण द्वारा किया जा सकता है।
   यदि आपका सिस्टम वास्तव में LTI है, तो इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध आवेग प्रतिक्रिया के साथ दृढ़ विश्वास से दिया जाता है।
   आवृत्ति डोमेन में वार्तालाप गुणन है, इसलिए आप आसानी से आवेग प्रतिक्रिया प्राप्त कर सकते हैं (फिर, केवल आवृत्तियों पर इनपुट में ऊर्जा होती है)।

अपडेट करें

यह एक अच्छा मामला है कि सजा की संपत्तियों को दिखाने के लिए।

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

जैसा कि ऊपर लिखा गया है, ऐसा करने का एक तरीका यह समस्या मैट्रिक्स के रूप में लिखता है।

Comments

छवि अब वापस आ गई है। ऐसा लगता है कि आपके पास एक बहुत ही विशिष्ट प्रश्न है। इसलिए मेरा जवाब जो बहुत अधिक सामान्य था वह पर्याप्त केंद्रित नहीं है।

— रॉय