शून्य पर आटोक्लेररेशन को चरम क्यों मिलता है?

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मुझे पता है कि ऑटोक्रॉलेशन फ़ंक्शन में शून्य स्थानांतरण इसकी ऊर्जा के बराबर है, फिर भी, मैं समझना चाहूंगा कि शिखर शून्य क्यों है।

autocorrelation

— itamarb
स्रोत

यहाँ एक महान व्याख्या है, आनंद लें! personal.maths.surrey.ac.uk/st/J.Deane/Teach/eee2035/…

— ampholyte

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क्या आप इसके लिए एक औपचारिक प्रमाण या अंतर्ज्ञान की तलाश कर रहे हैं? बाद के मामले में: "कुछ भी अपने आप में एक फ़ंक्शन के समान नहीं हो सकता है"। अंतराल पर Autocorrelation उपायों एक समारोह के बीच समानता और एक ही समारोह से स्थानांतरित कर दिया । ध्यान दें कि यदि आवधिक है, के किसी भी पूर्णांक गुणज द्वारा स्थानांतरित और मेल खाना है, तो ऑटो सहसंबंध एक कंघी आकार - केंद्रीय शिखर रूप में एक ही ऊंचाई के साथ अवधि के पूर्णांक गुणकों में चोटियों के साथ। $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— pichenettes
स्रोत

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@JasonR एक परिमित ऊर्जा संकेत (जो कि ओपी के बारे में पूछ रहा है क्योंकि वह कहता है कि शून्य अंतराल पर आटोक्लेररेशन फ़ंक्शन ऊर्जा है) आवधिक नहीं हो सकता है, और इसलिए इस उत्तरार्द्ध का आधा हिस्सा ओपी के प्रश्न पर लागू नहीं होता है, लेकिन समय-समय पर होने वाले ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन पर लागू होता है जो एक आवधिक संकेतों के लिए परिभाषित करता है। में मेरा उत्तर है, मैं इन दो मामलों के बीच अंतर करने की कोशिश की, और यह भी कहा कि समय-समय पर संकेत के autocorrelation कार्यों आवधिक चोटियों के रूप में गहरी के रूप में समय-समय पर घाटियों हो सकता है।

— बजे दिलीप सरवटे

@ दिलीप: हमेशा की तरह, अच्छे अंक।

— जेसन आर

यह एक प्रमाण नहीं है, एक प्रमाण के करीब भी नहीं है। केवल ऐसे शब्द जो केवल इसलिए काम करते हैं क्योंकि आपको उत्तर पता है।

— जॉन स्मिथ

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एक अनावधिक असतत समय परिमित ऊर्जा संकेत के autocorrelation समारोह द्वारा दिया जाता है

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$ वास्तविक संकेतों और जटिल संकेतों के लिए क्रमशः। एक्सपोज़र में आसानी के लिए खुद को वास्तविक संकेतों के लिए प्रतिबंधित करते हुए, आइए हम सारांश

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ । निश्चित विलंब

n

$n$ और किसी दिए गए

m

$m$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ आमतौर पर सकारात्मक या नकारात्मक मान होगा। यदि ऐसा होता है कि किसी विशेष विलंब

n

$n$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ सभी के लिए अप्रतिष्ठित है

m

$m$ , तो योग में सभी शब्द (कोई रद्दीकरण नहीं) जोड़ देगा और इसलिए

R_{x} [n]

$R_x[n]$ को सकारात्मक मूल्य होने की गारंटी है। वास्तव में, योग सबसे बड़ा होगा यदि

x [m - n]

$x[m-n]$ में सभी चोटियों को

x [m]

$x[m]$ में चोटियों के साथ रेखाऔर

x [m - n]

$x[m-n]$ की घाटियों को

x [m]

$x[m]$ में घाटियों के साथ पंक्तिबद्ध करें। उदाहरण के लिए, यदि

x

$x$ एक ओवर-सैंपल सिनक फ़ंक्शन है, तो कहें,

x [m] = {\begin{cases} \frac{\sin (0.1 π m)}{0.1 π m}, & m \neq 0, \\ 1, & m = 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$ पर चोटियों के साथ

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ और कम से घाटियों

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$ , तो

R_{x} [n]

$R_x[n]$ होगा मॅक्सिमापर

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (और इसी से, होगान्यूनतमपर

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ जब चोटियों घाटियों के साथ लाइन अप)।

कीवैश्विकअधिकतमस्पष्ट रूप से देरी

जब

और

में सबसे ऊंची चोटी कासंयोग होता है। वास्तव में, यह निष्कर्ष इस sinc सिग्नल पर ही नहीं बल्किकिसीपरभीलागू होता है

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n = 0$

x [m]

$x[m]$

x [m - n]

$x[m-n]$ संकेत। पर अंतराल

n = 0

$n = 0$ , हमारे पास

R_{x} [0] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} (x [m])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$ और हम गारंटी है कि न केवल सभी चोटियों और घाटियों एक दूसरे के साथ खड़े (कोई बात नहीं है जहां इन कर रहे हैं

x [m]

$x[m]$ ) में होते हैं, लेकिन यह भी कि उच्चतम चोटियों और गहरी घाटियों को उचित रूप से पंक्तिबद्ध किया जाता है।

अधिक औपचारिक रूप से, @JohnSmith जो औपचारिक सबूत की मांग की तरह pedants के लिए, कॉची असमानता का कहना है कि जटिल मान दृश्यों के लिए $u$ और $v$ ,

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$ जहांसमानताऊपरी (निचले) में बंधी रहती है यदि कोई धनात्मक (ऋणात्मक) संख्या

λ

$\lambda$ जैसे कि

u = λ v

$u = \lambda v$ , (वह है,

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ जहां

λ > 0

$\lambda > 0$ (

λ < 0

$\lambda < 0$ ))। यह मानते हुए कि वर्ग जड़ों के अंदर रकम ऊर्जा हैं

E_{u}

$\mathcal E_u$ और

E_{v}

$\mathcal E_v$ दृश्यों के, हम उस लिख सकते हैं

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$ सेटिंग

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ और

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$ जहां

n

$n$ कुछ पूर्णांक है, हमारे पास वह है

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$ और मान्यता है कि अब

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$ , हमारे पास है कि

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$ समानता के साथ अगर

सीमा में से किसी एक में पकड़

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$ सभी के लिए

m

$m$ । अंत में, यह देखते हुए कि

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$ और कहा कि जब

n = 0

$n=0$ , अनुक्रम

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ है समान अनुक्रम को

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (यह है कि,

λ = 1

$\lambda = 1$ सकारात्मक वास्तविक संख्या ऐसी है कि

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$ सभी के लिए

m

$m$ ), हम है

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$ दिखा रहा है कि

R_{x} [n]

$R_x[n]$ का चरम मान

n = 0

$n=0$ , अन्य सभी ऑटोक्रेलेशन मूल्य इस शिखर से छोटे हैं।

$x[m]$ $R_x[n]$

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$

N

$N$

x [m]

$x[m]$

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n

$n$

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$

1 < n < N

$1 < n < N$

R_{x} [0]

$R_x[0]$

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$

k

$k$

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$

n = N / 2

$n = N/2$

N

$N$

N = 2

$N=2$

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

2

$2$

n

$n$

0

$0$

- 2

$-2$

n

$n$

N

$N$

\vec{x}

$\vec{x}$

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

3

का उपयोग करते हुए

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

कोई भी आसानी से दिखा सकता है

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

$R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

1

यहाँ केवल सही उत्तर है। बहुत बहुत धन्यवाद, मुझे इसे स्वयं प्राप्त करने में परेशानी हुई।

— जॉन स्मिथ