छवि का आकार बदलना आंतरिक कैमरा मैट्रिक्स को कैसे प्रभावित करता है?

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मेरे पास एक कैमरा मैट्रिक्स है (मैं आंतरिक और बाहरी दोनों मापदंडों को जानता हूं) जो कि आकार एचएक्सडब्ल्यू की छवि के लिए जाना जाता है। (मैं इस मैट्रिक्स का उपयोग कुछ गणनाओं के लिए करता हूं जिनकी मुझे आवश्यकता है)।

मैं एक छोटी छवि का उपयोग करना चाहता हूं, कहते हैं: $\frac{H}{2}\times \frac{W}{2}$ (आधा मूल)। उसी संबंध को बनाए रखने के लिए मुझे मैट्रिक्स में क्या परिवर्तन करने की आवश्यकता है?

मेरे पास , आंतरिक मापदंडों के रूप में, ( , रोटेशन और अनुवाद) $K$ $R$ $T$

cam = K \cdot [R T]

$\text{cam} = K \cdot [R T]$

K = (\begin{matrix} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$K = \left( \begin{array}&a_x &0 &u_0\\0 &a_y &v_0 \\ 0 &0 &1\end{array} \right)$

$K$ 3 * 3 है, मैंने सोचा कि , , और को 0.5 से गुणा किया (छवि का आकार बदल दिया गया), लेकिन मुझे यकीन नहीं है। $a_x$ $a_y$ $u_0$ $v_0$

— matlabit
स्रोत

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नोट: यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप रिसाइज्ड इमेज में क्या निर्देशांक का उपयोग करते हैं। मैं मान रहा हूं कि आप शून्य-आधारित प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं (जैसे C, इसके विपरीत Matlab) और 0 में तब्दील हो गया है। इसके अलावा, मैं मान रहा हूं कि आपके पास निर्देशांक के बीच कोई तिरछा नहीं है। यदि आपके पास तिरछा है, तो इसे भी गुणा किया जाना चाहिए

संक्षिप्त उत्तर : मान लें कि आप एक समन्वय प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं जिसमें $u' = \frac{u}{2} , v' = \frac{v}{2}$ , हाँ, आप गुणा करना चाहिए $a_x,a_y,u_0,v_0$ 0.5 से।

विस्तृत उत्तर वह फ़ंक्शन जो दुनिया में एक बिंदु $P$ को धर्मान्तरित करता है, वह कैमरा निर्देशांक $(x,y,z,1)->(u,v,S)$ समन्वय करता है है:

(\begin{array}{ccc} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

जहां $(u,v,S)->(u/S,v/S,1)$ , क्योंकि निर्देशांक समरूप हैं।

संक्षेप में इसे लिखा जा सकता है $u= \frac{m_1 P}{m_3 P} , v = \frac{m_2 P}{m_3 P}$
जहां $M$ ऊपर उल्लिखित दो मैट्रिक्स का उत्पाद है, और $m_i$ मैट्रिक्स $M$ पंक्ति है। (उत्पाद अदिश उत्पाद है)।

छवि को पुन: आकार देने के बारे में सोचा जा सकता है:

u^{'} = u / 2, v^{'} = v / 2

$u'=u/2, v'=v/2$

इस प्रकार

u^{'} = (1 / 2) \frac{M_{1} P}{M_{3} P} v^{'} = (1 / 2) \frac{M_{2} P}{M_{3} P}

$u' = (1/2) \frac {M_1 P} {M_3 P} \\ v' = (1/2) \frac {M_2 P} {M_3 P}$

मैट्रिक्स फॉर्म में वापस लौटना हमें देता है:

(\begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

जो के बराबर है

(\begin{array}{ccc} 0.5 a_{x} & 0 & 0.5 u_{0} \\ 0 & 0.5 a_{y} & 0.5 v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 a_x & 0 & 0.5 u_0 \\ 0 & 0.5 a_y & 0.5 v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

अतिरिक्त जानकारी के लिए, फोर्शिथ , अध्याय 3 - ज्यामितीय कैमरा अंशांकन देखें।

— Andrey Rubshtein
स्रोत

Thanks a lot for the explanation !!! I'm just no so sure what you mean by zero-based system , I'm using matlab, do I need any other adjustments ?

— matlabit

@matlabit, If you are using Matlab, you should use the transformation with

u^{'} = (u - 1) / 2 + 1, v^{'} = (v - 1) / 2 + 1

$u' = (u-1)/2 + 1 , v' = (v-1)/2 + 1$ , since it has one-based indexing (First element is 1, not 0). Try to compute the relevant matrix in this case. If you do not need sub-pixel accuracy, you can just ignore it and use the formula I gave you.

— Andrey Rubshtein

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Andrey mentioned that his solution assumes 0 is transformed to 0. If you are using pixel coordinates this is likely not true when you re-size the image. The only assumption you really need to make is that your image transformation can be represented by a 3x3 matrix (as Andrey demonstrated). To update your camera matrix you can just premultiply it by the matrix representing your image transformation.

[new_camera_matrix] = [image_transform]*[old_camera_matrix]

As an example, say you need to change the resolution of an image by a factor $2^n$ and you are using 0 indexed pixel coordinates. Your coordinates are transformed by the relationships

$x' = 2^n*(x+.5)-.5$

$y' = 2^n*(y+.5)-.5$

this can be represented by the matrix

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

so your final camera matrix would be

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} ax & 0 & u_0 \\ 0 & ay & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

— Hammer
स्रोत

Could you please elaborate why you add .5 and then subtract .5? Does 0.5 apply only to scaling w/ a factor

2^{n}

$2^n$ ? If not, how does one compute that sub-pixel number?

— Gurumonster

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I think the point is that the center of pixel "0, 0" is not really at "0, 0" (=top left corner of the pixel) but at "0.5, 0.5". So you have to account for that offset before and after the transformation, and the factor is always 0.5, no matter the scaling factor.

— Jan Rüegg

Yup thats exactly right

— Hammer