"फूरियर ट्रांसफॉर्म एक ही आवृत्ति पर दो चरणों को माप नहीं सकता है।" क्यों नहीं?

Question

मैंने पढ़ा है कि फूरियर रूपांतरण घटकों को एक ही आवृत्ति लेकिन भिन्न चरण से अलग नहीं कर सकता है। उदाहरण के लिए, Mathoverflow या xrayphysics में , जहाँ से मुझे अपने प्रश्न का शीर्षक मिला: "फूरियर ट्रांसफॉर्म एक ही आवृत्ति पर दो चरणों को नहीं माप सकता।"

क्यों यह सच है गणितीय?

Comments

क्या आप के घटकों को अलग कर सकते हैं ? मुझे यकीन है आप नहीं कर सकते। $\sin(x) + \sin(x+c)$

— इल्मरी करोनें

एफटी उन घटकों को ढूंढता है जिन्हें किसी दिए गए सिग्नल को फिर से बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि वे घटक वास्तव में मूल में मौजूद थे। अनंत अलग-अलग तरीके हैं जो किसी दिए गए सिग्नल को "निर्माण" कर सकते हैं, लेकिन सिग्नल में केवल एक अद्वितीय एफटी होगा।

— सोलोमन स्लो

Answer 1

ऐसा इसलिए है क्योंकि एक ही आवृत्ति और अलग-अलग चरणों के साथ दो साइनसोइडल संकेतों की एक साथ उपस्थिति वास्तविक रूप से एक ही आवृत्ति पर एक एकल साइनसोइडल के बराबर है , लेकिन, एक नया चरण और आयाम निम्नानुसार है:

इस तरह दो साइनसोडियल घटकों को अभिव्यक्त किया जाए:

$$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$$

फिर त्रिकोणमितीय जोड़तोड़ से यह दिखाया जा सकता है कि:

$$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$$

जहाँ और

$$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$$ $$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$$

इसलिए आपके पास वास्तव में एक एकल साइनसोइडल (एक नए चरण और आयाम के साथ) है, और इसलिए वास्तव में अंतर करने के लिए कुछ भी नहीं है ...

Comments

मेरा मस्तिष्क शट-डाउन पर होना चाहिए क्योंकि मैं ट्रिगर सामान का पालन करता हूं, लेकिन अभी भी चारों ओर भ्रम की स्थिति है। ओपी ने दिन नहीं जोड़ा था इसलिए उन्हें जोड़ा जा रहा था, जहां आप उन्हें जोड़ते हैं, तो प्रारंभिक चरण का क्या औचित्य है? दूसरे शब्दों में, यदि हम उन्हें केवल दो संकेतों के रूप में समझते हैं, जहां एक दूसरे की तुलना में "बाद में" शुरू होता है, लेकिन उन्हें जोड़ा नहीं जाता है, तो क्या हम उन्हें अलग कर सकते हैं? क्या यह है कि आपको उन्हें जोड़ना होगा क्योंकि आपके पास एक आवृत्ति पर दो डेटा बिंदु नहीं हो सकते हैं? धन्यवाद।

— चिह्न

@markleeds, ओपी ने कहा कि वह खिड़की फूरियर रूपांतरण की बात कर रहा था, और दिए गए लिंक स्पष्ट रूप से नियमित गैर-विंडो संस्करण का संकेत देते हैं। फूरियर विश्लेषण के नियमित संस्करण में, संकेतों को अलग-अलग चरण के साथ साइनसॉइडल के भारित योग के रूप में माना जाता है। विश्लेषण में इन भारों और चरणों को प्राप्त करना शामिल है। इनका संग्रह वर्णक्रम है। यदि आप 2 साइनसोइड्स को मिलाते हैं, तो यह वैश्विक फूरियर विश्लेषण उनके चरण को भी अलग नहीं कर सकता है। हालांकि, खिड़की वाले फूरियर ट्रांसफॉर्म को ऐसी नौकरी के लिए डिज़ाइन किया गया है ... ऐसा नहीं है कि यह इसे अच्छी तरह से उल्लेखनीय करता है।

— स्टीफन कार्लसन 7

जैसा कि मेरी टिप्पणी ने सुझाव दिया है, विंडो किए गए फूरियर रूपांतरण का उल्लेख जोड़ना जानकारीपूर्ण हो सकता है। यदि @ Fat32 के पास समय है, तो वह अलग-अलग आवृत्ति के 2 साइनसोइड्स को समेटने के साथ शामिल असंतोष का उल्लेख कर सकता है, और यदि हम विश्लेषण करने की कोशिश करते हैं तो हमें वैश्विक फूरियर रूपांतरण में जोड़कर प्रतीत होने वाले यादृच्छिक आवृत्तियों की एक श्रृंखला मिलती है।

— स्टीफन कार्लसन

हाय @markleeds, जैसा कि स्टीफन कर्ल्सन ने पहले ही संकेत दिया था, यह सवाल एक ही आवृत्ति के उन दो साइनसोइडल के सुपरपोजिशन (एक साथ जोड़ने योग्य उपस्थिति) के मामले के बारे में था । ध्यान दें कि चरण एक सापेक्ष शब्द है और निरपेक्ष नहीं है; यानी, यह एक चुने हुए सामान्य (समय) मूल के संबंध में मापा जाता है, जो कि ऊपर है। संयोजन (चरण शिफ्ट कींग में) की तरह विडों भेदभाव की अनुमति देता है लेकिन आप अभी भी वैसे भी चरण मतभेद बताने के लिए एक आम समय मूल देखना चाहिए। यही कारण है कि PSK रिसीवरों को सख्त पल्स टाइम सिंक्रोनाइजेशन की आवश्यकता होती है ;-)$t=0$

— Fat32

@smsc खुद को दोहराता हुआ महसूस करता है लेकिन अगर उन दो केबलों के आउटपुट को जोड़ दिया जाता है और फिर FT के माध्यम से विश्लेषण किया जाता है, तो आपको एक एकल साइन लहर दिखाई देगी जिसमें एक संयुक्त चरण और आयाम होगा ... लेकिन यदि आप उन्हें जोड़ते नहीं हैं और अलग से विश्लेषण करते हैं, तब आप उनके रिश्तेदार चरणों को बता पाएंगे ... और यह डीएफटी से संबंधित नहीं है।

— Fat32

Answer 2

यदि आप आगे पढ़ते हैं, तो " फूरियर ट्रांसफॉर्म का सरलीकृत संस्करण जिसकी हमने ऊपर चर्चा की है, वह फेज शिफ्ट के लिए जिम्मेदार नहीं हो सकता - फूरियर ट्रांसफॉर्म वास्तव में कैसे होता है?" आप थोड़ा बेहतर स्पष्टीकरण पर ध्यान देंगे, वे साइन और कोजाइन का उपयोग करते हैं।

" फेज शिफ्ट्स का गणित (वैकल्पिक) ।

यह देखने के लिए कि कैसे एक चरण शिफ्ट को गैर-शिफ्ट किए गए साइन और कोजाइन में तोड़ा जा सकता है, हमें एक त्रिकोणमितीय पहचान की आवश्यकता है: पाप (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( ख)।

A * sin (2 * π * f * t + =) = A * cos (() * sin (2 *) * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * * * f * t)

जैसा कि आप देख सकते हैं, चरण पारी साइन सिग्नल के कुछ आयाम (ऊर्जा) को कोसाइन सिग्नल में ले जाती है, लेकिन आवृत्ति बदल जाती है। यदि आप फूरियर रूपांतरण की जटिल संख्या प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं, तो चरण शिफ्ट केवल जटिल विमान में मूल्य के रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें परिमाण अपरिवर्तित होता है। यह तथ्य कि चरण शिफ्टिंग केवल आयाम को साइन से कोसाइन तक ले जाती है, का अर्थ है कि एक ही आवृत्ति और अलग-अलग चरण के साथ दो सिग्नल जोड़ने से उस आवृत्ति पर समग्र (औसत) चरण बदलाव के साथ एक संकेत मिलता है - और घटकों की कोई स्मृति नहीं। "

व्यवहार में यह अधिक जटिल है, " आंशिक फूरियर तकनीक ", " चरण-संयुग्म समरूपता ", और " फव और के-स्पेस " देखें। " इंट्रो टू फेज-एन्कोडिंग - I " में वे बताते हैं:

"... जब दो साइन तरंगें (ए और बी) एक ही आवृत्ति के साथ लेकिन अलग-अलग चरणों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक ही आवृत्ति के साथ एक और साइन लहर है लेकिन एक अलग चरण है। जब चरण में साइन लहरें एक साथ करीब होती हैं तो वे रचनात्मक रूप से होती हैं। हस्तक्षेप करते हैं, और जब चरण के बाहर वे विनाशकारी रूप से हस्तक्षेप करते हैं।

... केवल उनके योग को देखते हुए, आप बस एक निश्चित आवृत्ति और चरण की साइन लहर देखते हैं। तरंग ए और बी द्वारा किए गए व्यक्तिगत योगदान को छांटना इस एकल अवलोकन से असंभव है ।

हालांकि, ए और बी के साथ दो अवलोकन अलग-अलग चरणों में स्थानांतरित करके, केवल उनके योग को देखकर उनके व्यक्तिगत योगदान को निर्धारित करना संभव है। यह एक एमआर छवि में नीचे चित्रित किया गया है, जहां ए और बी एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में एक ही एन्कोडेड आवृत्ति (oded) पर गूंज रहे हैं। विशेष रूप से, चरण 0 पर (आधार रेखा, जब कोई चरण-एन्कोडिंग ढाल लागू नहीं किया गया है) A & B का कुल संकेत एक साथ लिखा जा सकता है: तो (t) = A sin +t + B sin ωt = (A + B) sin ωt।

...

चरण 1 में इस एकल माप से, हम अभी भी व्यक्तिगत आयाम ए और बी को नहीं जानते हैं, केवल उनके अंतर (ए Step बी)। चरण 0 और चरण 1 दोनों की जानकारी का उपयोग करके, हम सरल बीजगणित द्वारा अद्वितीय संकेत योगदान निकालने में सक्षम हैं:

1 [तो + एस 1] = S [(ए + बी) + (ए    So बी)] = ए    और S [तो - एस 1] = ½ [(ए + बी) - (ए) बी)] = बी

"।

अन्यथा यह इस तरह दिखाई देगा (छवि A):

पीएफआई विभिन्न एल्गोरिदम से कलाकृतियों को दिखा रहा है: (ए) बेसिक एल्गोरिथ्म, (बी) बीएसीओ एल्गोरिथ्म, (सी) शून्य-भराव एल्गोरिथ्म, (डी) बुनियादी एल्गोरिदम डेटा का उपयोग कर रहा है जिसमें पहले निरंतर, रैखिक एसडीपीएस सुधार, उच्च क्रम वाले एमपीएस से चित्रण कलाकृतियों थे।

Answer 3

$c\cos(\omega t+\phi)$$Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$$Re$$c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$$ae^{\omega t i}$$Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$$c e^{\phi i}$$c$$\phi$

इसलिए जबकि दोनों सिग्नल आउटपुट की भयावहता को प्रभावित करते हैं, एक अतिरिक्त सिग्नल यह प्रभावित नहीं करेगा कि आउटपुट कहाँ है।

Answer 4

मैं प्रश्न के एक ज्यामितीय संस्करण का मार्ग लेना चाहूंगा, जिसमें मंडलियों का उपयोग किया जाएगा।

साइनेस और कोसाइन रहे हैं "बस" cisoids, या जटिल exponentials के वास्तविक और काल्पनिक भागों (कुछ संदर्भों में पाया जा सकता मैं कैसे एक जटिल घातीय सहज व्याख्या कैसे करते हैं? , एक विश्लेषणात्मक संकेत के लिए 3 डी लचीलेपन की साजिश: Heyser पेंचकश / सर्पिल , फूरियर रूपांतरण पहचान )।

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$$\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\omega$

$$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$$

$a_1$$a_2$$e^{2 \pi i\phi_1}$$e^{2 \pi i\phi_2}$

$$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$$

$|a|<1$

$$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$$

और इस प्रकार:

$$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$$

$(1+ae^{2\pi i\phi})$$\alpha e^{2\pi i\varphi}$$a$-रेडियस सर्कल वाल्व से जुड़े एक छोटे कताई व्हील की तरह है (जैसे ऊपर की तस्वीर से केवल नीले और लाल सर्कल)। अब, हम छोटे पहिया की परिधि पर एक बिंदु की गति को देखते हैं।

$1$$a$$\alpha$$\ref{a}$$\ref{b}$

दूसरे शब्दों में, न तो फूरियर रूपांतरण, न ही एक मानव आंख, एक ही आवृत्ति लेकिन अलग-अलग चरण के साथ घटकों को भेद कर सकती है ।

[[समय मिलने पर मैं एनिमेशन जोड़ूंगा]