वर्ग सुपर-रूट फ़ंक्शन के लिए क्या सन्निकटन तकनीक मौजूद हैं?

Question

मुझे का उलटा $x^x$यानी वर्ग सुपर-रूट (srtrt) फंक्शन लागू करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ अर्थ यह है कि $1.56^{1.56} \approx 2$ । मैं किसी विशेष सटीकता / बिट-डेप्थ में दिलचस्पी नहीं ले रहा हूं क्योंकि मैं यह समझने में हूं कि मेरे विकल्प पावर सीरीज का उपयोग करते हुए अधिक सरल दृष्टिकोणों के विपरीत क्या हैं।

वोल्फ्राम अल्फा लैंबर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन (यानी ln ( x ) / W ( ln ( x ) ) ) के संदर्भ में एक अच्छा प्रतीकात्मक समाधान देता है । विकिपीडिया एक ही सूत्र देता है , साथ ही समतुल्य ई W ( ln ( x ) ) । यह देखते हुए कि कंप्यूटिंग W ( x ) [1] [२] पर उचित मात्रा में जानकारी है , तकनीकी रूप से कुछ को लागू करने के लिए आवश्यक सब कुछ है$\ln(x)/W(\ln(x))$$e^{W(\ln(x))}$$W(x)$विभिन्न आवश्यकताओं के लिए। मुझे कम से कम दो पुस्तकों के बारे में पता है जो सन्निकट [3] [4] के बारे में विस्तृत विवरण में हैं , इसलिए उस दिशा से अनुकूलन करने के लिए बहुत जगह है।$\ln(x)$

हालाँकि, मेरे दो सवाल हैं:

1. क्या इस फ़ंक्शन के लिए विशिष्ट सन्निकटन तकनीक कहीं भी प्रकाशित हुई हैं?
2. क्या यह "स्क्वायर सुपर-रूट" के अलावा किसी अन्य नाम से जाना जाता है जो थोड़े से आसान संदर्भों की खोज करेगा?

विकिपीडिया / गूगल कुछ अधिक सामान्य "tetration" कार्यों को शामिल करने के लिए समर्पित संदर्भ कर दिया गया है $\mathrm{ssrt}(x)$ एक विशेष मामले के रूप में, लेकिन उनमें से ज्यादातर का अन्वेषण करना / सामान्य मामलों को परिभाषित करने के लिए तैयार कर रहे हैं।

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1. कोरलेस, आर।; गोननेट, जी।; हरे, डी।; जेफरी, डी।; नुथ, डोनाल्ड (1996), "ऑन द लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन" http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
2. गणितीय कार्यों का डिजिटल पुस्तकालय । http://dlmf.nist.gov/4.13
3. क्रेंशॉ, जैक डब्ल्यू (2000), रियल-टाइम प्रोग्रामिंग के लिए मैथ टूलकिट।
4. हार्ट, जॉन एफ (1978), कंप्यूटर अनुमोदन।
5. चपेउ-ब्लोंडो, एफ। और मोनीर, ए। (2002)। लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन का संख्यात्मक मूल्यांकन और घातांक 1/2 के साथ सामान्यीकृत गाऊसी शोर की पीढ़ी के लिए आवेदन। सिग्नल प्रोसेसिंग 50, 2160-2165 पर IEEE लेनदेन। http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
6. मिनेरो, पॉल। फास्ट अनुमानित लैम्बर्ट डब्ल्यू । http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

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अपडेट करें

पिछले कुछ दिनों में कुछ और शोध करने के बाद, मुझे अभी भी उस तरह का हैंड्स-ऑन "क्रैंशव स्टाइल" नहीं मिला है, एस एस आर टी ( एक्स ) का इलाज मैं उम्मीद कर रहा था, लेकिन मुझे एक नया नहीं मिला यहाँ दस्तावेजीकरण के लायक संदर्भ। [ ५ ] में पृष्ठ तीन पर , "फास्ट एप्रिसिएशन" नामक एक खंड है जो शोर पीढ़ी के संदर्भ में डब्ल्यू ( एक्स ) को सन्निकट करने के बारे में बहुत विस्तार से बताता है । एक दिलचस्प बात के रूप में, "गॉज़ियन शोर के घातांक 1/2" [कागज़ में] की घनत्व घनत्व, केलेंज्ब के उत्तर में हिस्टोग्राम के समान ही स्पष्ट रूप से दिखता है।$[3]$$\mathrm{ssrt}(x)$$[5]$$W(x)$सिग्नल क्लिपिंग का पता लगाने के बारे में यह सवाल ।

इसके अलावा, टिप्पणियों में rwong द्वारा दिया गया लिंक वास्तव में डब्ल्यू ( x ) को लागू करने के लिए एक महान संसाधन है , और यह लेखक के बीएसडी लाइसेंस प्राप्त प्रोजेक्ट को भी लिंक करता है जिसे फास्टप्प्रोक्स कहा जाता है , जिसमें वर्णित वर्णन भी शामिल है।$[6]$$W(x)$

Comments

machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— 7

मैंने मेटा पर इसके बारे में पूछा, क्योंकि टिप्पणी क्षेत्र विस्तारित चर्चा के लिए नहीं है। कृपया सुझाव दें कि हमें यहां इन प्रश्नों को कैसे संभालना चाहिए: क्या संख्यात्मक विषय पर प्रश्न हैं?

@datageist - मेटा प्रश्न से प्रारंभिक निष्कर्ष यह था कि यदि आप डीएसपी डेटा को संसाधित करने के लिए इस संख्यात्मक विश्लेषण का उपयोग करना चाहते हैं, तो यह ऑन-टॉपिक है। यदि नहीं, तो नहीं। यह डीएसपी से कैसे संबंधित है?

— केविन वर्मेयर

@ केविन यह एक ऑडियो प्रभाव विकसित करने के संदर्भ में आया था।

— datageist

जब भी मुझे लैम्बर्ट फंक्शन के लिए एक रुटीन लिखने की जरूरत होती है, मैं आमतौर पर इस पेपर में दिए गए अंदाजों का इस्तेमाल करता हूं और फिर न्यूटन-राफसन, हैली या किसी अन्य पुनरावृत्ति विधि से पॉलिश करता हूं । आप इस दृष्टिकोण को बदलने के लिए अनुकूलित कर सकते हैं ...$x^x$

Answer 1

अंधेरे में कुछ संख्यात्मक स्टैब ने पुनरावृत्त दृष्टिकोण के लिए उपज प्राप्त की:

हम समाधान के लिए देख रहे हैं y = f (x) जहां y ^ y = x है।

$$y \ln y = \ln x$$

$$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$$

के लिए मूल्य उपरोक्त समीकरण का एक निश्चित बिंदु है, और अनुभव इसके बारे में कुछ मूल्यों के लिए अभिसरण लगता है x , लेकिन के बड़े मूल्यों के लिए एक्स यह oscillates या diverges।$y$$x$$x$

तब मैंने न्यूटन के पुनरावृत्त वर्ग-मूल के समान दृष्टिकोण की कोशिश की:

$$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$$

जहां y * को एक गैर-परिवर्तित लेकिन आशावादी उत्तर का प्रतिनिधित्व करने वाला माना जाता है जो सटीकता बनाए रखता है यदि आप एक सटीक प्रारंभिक मूल्य (वर्गमूल y ² = x में, यह y * = x / y है) का अनुमान लगाने के लिए होता है ।

यह अभिसरण करता प्रतीत होता है, लेकिन के कम अंत में बहुत धीरे-धीरे$x$$x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$

$y_0 = \ln(x)+1$

इसलिए मुझे लगा कि शायद एक बेहतर-परिवर्तित समाधान है:

$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$$a$$x$

तब मुझे कुछ दिलचस्प लगा।

$y$$y^y = x$$y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$, it appears as though $y_2-y$ = approximately $\epsilon \times (-\ln(y))$.... e.g. if we had a guess $y_1 = y + \epsilon$ for some unknown $\epsilon$, and computed $y_2 = g(x,y_1)$, then $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$. (Just to clarify, I have no analysis to verify this, but the numbers just popped out of some numerical evaluation I performed.)

Solve for the linear terms in $y$, and you get $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$... use $\ln(y_1)$ in place of $\ln(y)$ and you get this iterative approximation:

$$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$$

प्रारंभिक अनुमान के साथ, यह बहुत अच्छा काम करता है $y = 1+\ln(x)$, और 4 या 5 पुनरावृत्तियों के भीतर अभिसरण करता प्रतीत होता है।

(कोई व्यक्ति शायद यह दिखा सकता है कि यह न्यूटन-राफसन के लिए किसी तरह से बराबर है, लेकिन मुझे लगता है कि यह मेरी क्षमता से परे है।)