फूरियर ट्रांसफॉर्म के लिए कन्वेंशन और नोटेशन के विकल्प?

फूरियर रूपांतरण और उलटा फूरियर रूपांतरण की परिभाषाएँ मैंने कॉलेज में सीखीं

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

इस सम्मेलन की मुख्य विशेषताएं हैं

गैर-एकात्मक परिवर्तन; आवृत्ति-डोमेन इकाइयों रेडियंस हैं (चर रहा है ) $\omega$
"टाइम-डोमेन" इकाइयाँ समय पर होती हैं (वैरिएबल ) $t$
फ़ंक्शन परिवर्तन को बड़े अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है ( बनाम ) $F$ $f$
में सख्ती से अर्थ है समारोह एक फूरियर बदलना है कि $j$ $F(j\omega)$
और बेशक, हमेशा की तरह ई परंपरा है कि । $j=\sqrt{-1}$

आजकल मैं एक बहुत अलग सम्मेलन का उपयोग करता हूं, अनिवार्य रूप से विकिपीडिया पर इसका उपयोग किया जाता है :

इस सम्मेलन की विशेषताओं कर रहे हैं

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

एकात्मक परिवर्तन; आवृत्ति-डोमेन इकाइयां सामान्यीकृत आवृत्ति हैं (चर ) $\xi$
"टाइम-डोमेन" इकाइयाँ इकाई रहित हैं (चर ) $x$
$\hat{f}$ $f$
$\xi$ $x$

मैं इस सम्मेलन को कई कारणों से पसंद करता हूं।

एकात्मक सम्मेलन का उपयोग करने से फूरियर दोहरे की समरूपता और स्पष्टता बढ़ जाती है: तुलना
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
मुझे बड़े अक्षरों को असतत-मूल्यवान वैरिएबल / फ़ंक्शंस को निरूपित करने के लिए अधिक उपयोगी होना चाहिए जो रूपांतरित कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

बेशक, यह मुझे काफी व्यर्थ विचार करने के लिए होने के लिए सम्मेलन के अपने विकल्प होगा बेहतर दूसरों के द्वारा प्रयुक्त होने वाले बोर्ड। लेकिन मैं एक मुश्किल समय आ रहा हूँ कि मैं मूल रूप से कॉलेज में सीखे गए अधिवेशन (यानी, परंपरा को शामिल न करने वाले कारणों) को पसंद करने के लिए अच्छे कारणों के साथ आ रहा हूँ।

$F(j\omega)$

क्या कोई अन्य कारण "पारंपरिक" (गैर-एकात्मक) सम्मेलन को प्राथमिकता दे सकता है? क्या यह "पारंपरिक" सम्मेलन वही है जो आपने सिग्नल प्रोसेसिंग कोर्स (यदि आपने एक लिया है) सीखा है? कौन सा सम्मेलन है आप पसंद करते हैं?

fourier-transform frequency

— rtollert
स्रोत

व्यक्तिगत राय की विनती करने वाले प्रश्न वास्तव में इस साइट के लिए रचनात्मक नहीं हैं। इसका उत्तर यह है कि यह वास्तव में मायने नहीं रखता है कि आपका सम्मेलन क्या है, जब तक आप इसे सही ढंग से परिभाषित कर रहे हैं, इसका लगातार उपयोग कर रहे हैं और बहुत सारे मामलों में, आपके क्षेत्र में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकन से चिपके हुए हैं । महत्वपूर्ण बात यह है कि जानबूझकर आज्ञाकारी होने के लिए पागल नई धारणाओं का आविष्कार न करें। मुझे यकीन नहीं है कि व्यक्तिगत प्राथमिकताएं और राय इस में से किसी में कैसे उपयोगी हैं ...

— लोरम इप्सम

मैं केवल राय से बचने की इच्छा को समझ सकता हूं, लेकिन मुझे लगता है कि एक वैध सवाल है कि पारंपरिक परंपराएं क्यों हैं वे हैं: यह संभावना नहीं है कि उन्हें केवल ऐतिहासिक दुर्घटनाओं के रूप में परिभाषित किया गया है । मैं इस प्रश्न को फिर से लिखने के लिए, राय देने से बचने के लिए और इस सवाल पर ध्यान केंद्रित करने के लिए तैयार रहूँगा कि सिग्नल प्रोसेसिंग साहित्य में कन्वेंशन / नोटेशन के ये निर्णय पहले स्थान पर कैसे आए।

— rtollert

आप सभी 2π को got से बदलना भूल गए । : डी

— एंडोलिथ

@endolith आप इसे करने के लिए :) मुझे हरा

— datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

आपके साथ संवाद करने की कोशिश कर रहे दर्शकों के लिए सम्मेलन का चुनाव सबसे उपयुक्त (या परिचित) होना चाहिए।

— hotpaw2
स्रोत

एक संकेत के लिए x (t) का उपयोग करने के बारे में एक बात समानांतर है

$y = x^2$

तथा

$y(t) = x(t)^2$

जहां x अभी भी एक इनपुट है और y अभी भी एक आउटपुट है, बस इस मामले में वे संख्याओं के बजाय सिग्नल हैं।

— endolith
स्रोत