क्या ऑटोकैरेलेशन फ़ंक्शन पूरी तरह से एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का वर्णन करता है?

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के पूर्ण विवरण से क्या अभिप्राय है? खैर, गणितीय रूप से, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक संग्रह यादृच्छिक चर के में एक, हर बार एक इंडेक्स सेट में तत्काल , जहां आमतौर पर संपूर्ण वास्तविक रेखा या धनात्मक वास्तविक रेखा है, और एक पूर्ण विवरण का अर्थ है कि प्रत्येक पूर्णांक और समय के , हम जानते हैं कि (संयुक्त) वितरण यादृच्छिक परिवर्तनीय , , $\{X(t) : t \in {\mathbb T}\}$ $t$ $\mathbb T$ $\mathbb T$ $n \geq 1$ $n$ $t_1, t_2, \ldots, t_n \in \mathbb T$ $n$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $\ldots, X(t_n)$ । यह एक है विशाल जानकारी की मात्रा: हम की CDF पता करने की जरूरत हर बार पल के लिए , (दो आयामी) संयुक्त CDF और समय instants के सभी विकल्पों के लिए और , , , और , इत्यादि के तीन (त्रि-आयामी) CDFs आदि। $X(t)$ $t$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $t_1$ $t_2$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $X(t_3)$

इसलिए स्वाभाविक रूप से लोगों ने सरल विवरण और अधिक प्रतिबंधात्मक मॉडल के बारे में देखा है। एक सरलीकरण तब होता है जब प्रक्रिया समय मूल में परिवर्तन के लिए अपरिवर्तनीय होती है। इसका मतलब क्या है

प्रक्रिया के सभी यादृच्छिक चर में समान CDF होते हैं: सभी । $F_{X(t_1)}(x) = F_{X(t_2)}(x)$ $t_1, t_2$
कुछ निर्दिष्ट समय के हिसाब से अलग किए गए दो रैंडम वैरिएबल में एक ही संयुक्त CDF होता है, जबकि रैंडम वैरिएबल्स की किसी भी जोड़ी को उसी समय से अलग किया जाता है । उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर और को सेकंड द्वारा अलग किया जाता है, जैसा कि यादृच्छिक चर और , और इस प्रकार $X(t_1)$ $X(t_1 + \tau)$ $\tau$ $X(t_2)$ $X(t_2 + \tau)$ $F_{X(t_1), X(t_1 + \tau)}(x,y) = F_{X(t_2), X(t_2 + \tau)}(x,y)$
कोई भी तीन रैंडम वैरिएबल , , spaced और अलावा , एक ही संयुक्त CDF है , जिसे और अलावा अलग गया है, $X(t_1)$ $X(t_1 + \tau_1)$ $X(t_1 + \tau_1 + \tau_2)$ $\tau_1$ $\tau_2$ $X(t_2)$ $X(t_2 + \tau_1)$ $X(t_2 + \tau_1 + \tau_2)$ $\tau_1$ $\tau_2$
और इतने पर सभी बहुआयामी सीडीएफ के लिए। उदाहरण के लिए, बहुआयामी मामले के विवरण के लिए पीटर के। का जवाब देखें।

प्रभावी रूप से, यादृच्छिक प्रक्रिया के संभावित विवरण इस बात पर निर्भर नहीं करते हैं कि हम समय अक्ष पर उत्पत्ति को कॉल करने के लिए क्या चुनते हैं: हर समय इंस्टेंटिंग द्वारा कुछ निश्चित राशि से यादृच्छिक चर का एक ही संभावित विवरण देता है। इस संपत्ति को सख्त-अर्थ स्थिरता कहा जाता है और एक यादृच्छिक प्रक्रिया जिसे इस संपत्ति का आनंद मिलता है उसे कड़ाई से स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है या अधिक सरलता से स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया। $t_1, t_2, \ldots, t_n$ $\tau$ $t_1 + \tau, t_2 + \tau, \ldots, t_n + \tau$

ध्यान दें कि अपने आप में सख्त स्टेशनरी को सीडीएफ के किसी विशेष रूप की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, यह नहीं कहता है कि सभी चर गॉसियन हैं।

विशेषण सख्ती से सुझाव देता है कि स्थिरता के शिथिल रूप को परिभाषित करना संभव है। अगर के संयुक्त CDF -order के रूप में ही है -order संयुक्त CDF की के सभी विकल्पों के लिए और , फिर यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है को आदेश देने के लिए स्थिर और इसे रूप में संदर्भित किया जाता है, स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया। ध्यान दें कि प्रत्येक सकारात्मक के लिए ऑर्डर करने के लिए एक -ऑर्डर स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया भी स्थिर है $N^{\text{th}}$ $X(t_1), X(t_2), \ldots, X(t_N)$ $N^{\text{th}}$ $X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \ldots, X(t_N +\tau)$ $t_1,t_2, \ldots, t_N$ $\tau$ $N$ $N^{\text{th}}$ $N^{\text{th}}$ $n$ $n < N$ । (ऐसा इसलिए है क्योंकि -ऑर्डर संयुक्त CDF की सीमा है -order CDF तर्कों के के रूप में दृष्टिकोण : का एक सामान्यीकरण )। एक सख्ती से स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया तो एक यादृच्छिक प्रक्रिया है कि सभी आदेशों को स्थिर है । $n^{\text{th}}$ $N^{\text{th}}$ $N-n$ $\infty$ $F_X(x) = \lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)$ $N$

यदि एक यादृच्छिक प्रक्रिया (कम से कम) क्रम लिए स्थिर है , तो सभी का समान वितरण है और इसलिए, इसका अर्थ है कि मौजूद है, सभी के लिए समान है । इसी तरह, सभी लिए समान , और इसे प्रक्रिया की शक्ति के रूप में जाना जाता है । सभी भौतिक प्रक्रियाओं में परिमित शक्ति होती है और इसलिए यह मान लेना आम है कि किस मामले में, और विशेष रूप से पुराने इंजीनियरिंग साहित्य में, प्रक्रिया को दूसरी-क्रम प्रक्रिया कहा जाता है । नाम का चुनाव दुर्भाग्यपूर्ण है क्योंकि यह दूसरे क्रम के साथ भ्रम को आमंत्रित करता है $1$ $X(t)$ $E[X(t)] = \mu$ $t$ $E[(X(t))^2]$ $t$ $E[(X(t))^2] < \infty$ stationarity (cf. stats.SE पर मेरा यह जवाब ), और इसलिए यहाँ हम एक प्रक्रिया है जिसके लिए फोन करेगा सभी के लिए परिमित है (या नहीं, एक निरंतर है) एक परिमित-शक्ति प्रक्रिया के रूप में और इस भ्रम से बचें। लेकिन फिर से ध्यान दें $E[(X(t))^2]$ $t$ $E[(X(t))^2]$

प्रथम-क्रम स्थिर प्रक्रिया को परिमित-शक्ति प्रक्रिया की आवश्यकता नहीं है ।

एक यादृच्छिक प्रक्रिया पर विचार करें जो ऑर्डर करने के लिए स्थिर है । अब, चूंकि और का संयुक्त वितरण और , के संयुक्त वितरण समारोह के और मूल्य केवल पर निर्भर करता है । इन अपेक्षाओं एक सीमित शक्ति प्रक्रिया के लिए परिमित कर रहे हैं और उनके मूल्य की प्रक्रिया के autocorrelation समारोह कहा जाता है: के एक समारोह है , समय यादृच्छिक चर और पृथक्करण , और पर निर्भर नहीं करता $2$ $X(t_1)$ $X(t_1 + \tau)$ $X(t_2)$ $X(t_2 + \tau)$ $E[X(t_1)X(t_1 + \tau)] = E[X(t_2)X(t_2 + \tau)]$ $\tau$ $R_X(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$ $\tau$ $X(t)$ $X(t+\tau)$ $t$ बिलकुल। ध्यान दें कि और इसलिए फ़ंक्शन अपने तर्क का एक समान कार्य है।

E [X (t) X (t + τ)] = E [X (t + τ) X (t)] = E [X (t + τ) X (t + τ - τ)] = R_{X} (- τ),

$E[X(t)X(t+\tau)] = E[X(t+\tau)X(t)] = E[X(t+\tau)X(t + \tau - \tau)] = R_X(-\tau),$

एक परिमित शक्ति के दूसरे क्रम के स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया में गुण होते हैं

इसका मतलब एक स्थिर है $E[X(t)]$

इसके autocorrelation समारोह के एक समारोह है , यादृच्छिक चर के समय जुदाई और , और करता है पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं है । $R_X(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$ $\tau$ $X(t)$ $X(t+\tau)$ $t$

स्थिरता की धारणा कुछ हद तक एक यादृच्छिक प्रक्रिया के विवरण को सरल करती है लेकिन, प्रायोगिक डेटा से मॉडल बनाने में रुचि रखने वाले इंजीनियरों और सांख्यिकीविदों के लिए, उन सभी सीडीएफ का आकलन करना एक नॉनवेज का काम है, खासकर जब केवल एक नमूना पथ का एक खंड हो (या बोध) जिस पर मापन किया जा सकता है। दो माप जो बनाने में अपेक्षाकृत आसान हैं (क्योंकि इंजीनियर के पास पहले से ही अपने कार्यक्षेत्र पर आवश्यक उपकरण हैं (या उसके सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी में MATLAB / पायथन / ऑक्टेव / C ++ में प्रोग्राम) हैं DC मूल्य of और autocorrelation function $x(t)$ $\frac 1T\int_0^T x(t)\,\mathrm dt$ $x(t)$ $R_x(\tau) = \frac 1T\int_0^T x(t)x(t+\tau)\,\mathrm dt$ (या इसके फूरियर रूपांतरण, के पावर स्पेक्ट्रम )। इन मापों को माध्य के अनुमान के रूप में लेना और एक परिमित-शक्ति प्रक्रिया के स्वत :संबंध समारोह के लिए एक बहुत ही उपयोगी मॉडल की ओर जाता है जो आगे की चर्चा करते हैं। $x(t)$

एक परिमित-शक्ति यादृच्छिक प्रक्रिया को एक व्यापक-अर्थ-स्थिर (WSS) प्रक्रिया कहा जाता है ( कमजोर रूप से स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया, जो सौभाग्य से एक ही WSS भी है) यदि इसका निरंतर अर्थ है और इसका फ़ंक्शन केवल समय के अंतर पर निर्भर करता है (या )। $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$ $t_1 - t_2$ $t_2 - t_1$

ध्यान दें कि परिभाषा में प्रक्रिया में शामिल यादृच्छिक चर के सीडीएफ के बारे में कुछ नहीं कहा गया है; यह यादृच्छिक चर के पहले-क्रम और दूसरे-क्रम के क्षणों पर पूरी तरह से एक बाधा है । बेशक, एक सीमित शक्ति दूसरे क्रम स्थिर (या -order स्थिर (के लिए ) या पूर्ण रूप से स्थिर) यादृच्छिक प्रक्रिया है एक WSS प्रक्रिया है, लेकिन बातचीत की जरूरत है सच नहीं हो। $N^{\text{th}}$ $N>2$

WSS प्रक्रिया को किसी भी क्रम में स्थिर होने की आवश्यकता नहीं है।

पर विचार करें, उदाहरण के लिए, यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए जहां चार समान रूप से होने की संभावना मूल्यों पर ले जाता और । (डरो मत: इस यादृच्छिक प्रक्रिया के चार संभावित नमूना पथ एक क्यूपीएसके सिग्नल के सिर्फ चार सिग्नल तरंग हैं)। ध्यान दें कि प्रत्येक एक असतत रैंडम वैरिएबल है, जो सामान्य रूप से, चार समान रूप से संभावित मान लेता और , सामान्य और यह देखना आसान है $\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$ $\Theta$ $0, \pi/2, \pi$ $3\pi/2$ $X(t)$ $\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$ $\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$ $X(t)$ $X(s)$ अलग-अलग वितरण होते हैं, और इसलिए यह प्रक्रिया प्रथम-क्रम स्थिर भी नहीं है। दूसरी ओर, हर जबकि संक्षेप में, प्रक्रिया शून्य मतलब है और इसके autocorrelation समारोह केवल समय अंतर पर निर्भर करता , और इसलिए प्रक्रिया है विस्तृत भावना स्थिर। लेकिन यह प्रथम-क्रम स्थिर नहीं है और इसलिए उच्चतर क्रमों के लिए स्थिर नहीं हो सकता है।

E [X (t)] = \frac{1}{4} \cos (t) + \frac{1}{4} (- \sin (t)) + \frac{1}{4} (- \cos (t)) + \frac{1}{4} \sin (t) = 0

$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$

t

$t$

\begin{aligned} E [X (t) X (s)] & = \frac{1}{4} [\cos (t) \cos (s) + (- \cos (t)) (- \cos (s)) + \sin (t) \sin (s) + (- \sin (t)) (- \sin (s))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (t) \cos (s) + \sin (t) \sin (s)] \\ = \frac{1}{2} \cos (t - s) . \end{aligned}

$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$

t - s

$t-s$

यहां तक कि WSS प्रक्रियाओं है कि के लिए कर रहे हैं दूसरे क्रम स्थिर (या सख्ती से स्थिर) यादृच्छिक प्रक्रियाओं, छोटे के विशिष्ट रूपों के बारे में कहा जा सकता है वितरण यादृच्छिक चर की। संक्षेप में,

एक WSS प्रक्रिया आवश्यक रूप से स्थिर नहीं है (किसी भी क्रम में), और WSS प्रक्रिया का माध्य और स्वतःसंक्रमण कार्य प्रक्रिया का संपूर्ण सांख्यिकीय विवरण देने के लिए पर्याप्त नहीं है ।

अंत में, मान लीजिए कि एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को गॉसियन प्रक्रिया माना जाता है (आत्मविश्वास के किसी भी उचित डिग्री के साथ यह साबित करना "एक तुच्छ कार्य नहीं है")। इसका अर्थ है कि प्रत्येक , एक गाऊसी यादृच्छिक चर है और सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए और समय के विकल्प , , , यादृच्छिक चर , , कर रहे हैं संयुक्त रूप से गाऊसी यादृच्छिक चर। अब एक संयुक्त गाऊसी घनत्व फ़ंक्शन पूरी तरह से है $t$ $X(t)$ $n \geq 2$ $n$ $t_1$ $t_2$ $\ldots, t_n$ $N$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $\ldots, X(t_n)$ रैंडम वेरिएबल्स के माध्यम, वेरिएंस और द्वारा निर्धारित किया जाता है, और इस मामले में, माध्य फ़ंक्शन जानना (यह एक स्थिरांक नहीं है, क्योंकि वाइड-सेंस के लिए आवश्यक है) -स्टेशनरी) और फंक्शन सभी (यह केवल पर निर्भर नहीं है, क्योंकि वाइड-सेंस- के लिए आवश्यक है) प्रक्रिया के आंकड़ों को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। $\mu_X(t) = E[X(t)]$ $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$ $t_1, t_2$ $t_1-t_2$

गाऊसी प्रक्रिया तो है एक WSS प्रक्रिया है, तो यह भी एक है सख्ती से स्थिर गाऊसी प्रक्रिया। सौभाग्य से इंजीनियरों और सिग्नल प्रोसेसर के लिए, कई भौतिक शोर प्रक्रियाओं को डब्ल्यूएसएस गॉसियन प्रक्रियाओं (और इसलिए कड़ाई से स्थिर प्रक्रियाओं) के रूप में अच्छी तरह से तैयार किया जा सकता है, ताकि ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन का प्रयोगात्मक अवलोकन आसानी से सभी संयुक्त वितरण प्रदान करता है। इसके अलावा चूंकि गॉसियन प्रक्रियाएं अपने गौसियन चरित्र को बनाए रखती हैं क्योंकि वे रैखिक प्रणालियों से गुजरती हैं, और आउटपुट फ़ंक्शन वें इनपुट फ़ंक्शन से संबंधित है जैसा कि

R_{y} = h * \tilde{h} * R_{X}

$R_y = h*\tilde{h}*R_X$ ताकि आउटपुट आँकड़े भी आसानी से निर्धारित किए जा सकें, विशेष रूप से WSS प्रक्रिया और WSS गौसियन प्रक्रियाएँ विशेष रूप से इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में बहुत महत्व रखती हैं।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

क्या आप कृपया इस अर्थ में "व्हाइट नॉइस" पर टिप्पणी कर सकते हैं? परिभाषा के द्वारा autocorrelation at यादृच्छिक चर का प्रसरण है। क्या इसका मतलब है कि AWGN (एडिटिव वाइट गाऊसी शोर) में अनंत विचरण है? मैं इसे पूछता हूं क्योंकि आमतौर पर लोग लिखते हैं , क्या गलत है? क्या इसे लिखा जाना चाहिए ? धन्यवाद।

τ = 0

$\tau = 0$

n (t) N (0, N_{0} / 2)

$n(t) ~ N(0, {N}_{0} / 2)$

n (t) N (0, δ (0) N_{0} / 2)

$n(t) ~ N(0, \delta(0) {N}_{0} / 2)$

— रॉय

@ ड्रिक कृपया एक अलग प्रश्न पूछें।

— दिलीप सरवटे

यह स्थिर प्रक्रियाओं की परिभाषा में एक शानदार मिनी-कोर्स है। मैंने ऐसा कुछ भी कभी नहीं देखा है - इतनी व्यवस्थित और स्पष्ट रूप से रखी गई। सामुदायिक विकी?

— 21

@ दिलीप सरवटे ने मुझे अपनी अज्ञानता के लिए माफ किया। उदाहरण में। E [X (t)] = 0 सभी t के लिए क्यों है? क्या आप ergodicity ग्रहण करते हैं? आपने अपेक्षित मान की गणना करने के लिए थीटा की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन से X (t) के प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को कैसे प्राप्त किया? E [X (t) X (s)] = E [cos (t + थीटा) * cos (s + थीटा)] सही है? इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने और आपने जो लिखा है, उसे पाने के लिए आपने क्या कदम उठाए? धन्यवाद

— VMMF

@VMMF वहाँ कोई ergodicity इस्तेमाल किया है। एक असतत रैंडम वैरिएबल है, क्योंकि असतत रैंडम वैरिएबल है और यह समान प्रायिकता साथ मान और लेता है । एर्गो, । मान , पर लेता है , और समान संभावना । इसलिये,

X (t) = \cos (t + Θ)

$X(t)=\cos(t+\Theta)$

Θ

$\Theta$

\pm \cos (t)

$\pm\cos(t)$

\pm \sin (t)

$\pm\sin(t)$

\frac{1}{4}

$\frac 14$

E [X (t)] = 0

$E[X(t)]=0$

X (t) X (s)

$X(t)X(s)$

\cos (t) \cos (s)

$\cos(t)\cos(s)$

(- \cos (t)) (- \cos (s)) = \cos (t) \cos (s)

$(-\cos(t))(-\cos(s))=\cos(t)\cos(s)$

\sin (t) \sin (s)

$\sin(t)\sin(s)$

(- \sin (t)) (- \sin (s)) = \sin (t) \sin (s)

$(-\sin(t))(-\sin(s))=\sin(t)\sin(s)$

\frac{1}{4}

$\frac 14$

E [X (t) (X (s)] = \frac{1}{2} (\cos (t) \cos (s) + \sin (t) \sin (s)) = \frac{1}{2} \cos (t - s)

$E[X(t)(X(s)]=\frac 12\big(\cos(t)\cos(s)+\sin(t)\sin(s)\big) = \frac 12\cos(t-s)$ । इसलिए,

— दिलीप सरवटे