दो संकेतों के दृढ़ीकरण का भौतिक अर्थ क्या है?

Question

यदि हम 2 संकेतों को मानते हैं तो हमें तीसरा संकेत मिलता है। इनपुट संकेतों के संबंध में यह तीसरा संकेत क्या दर्शाता है?

Comments

mathoverflow.net/questions/5892/what-is-convolution-intuitively

— अतुल इंगले

यह सिर्फ "रिवर्स, शिफ्ट, गुणा और योग" है, और नहीं।

— चोहुआंग

इसका अर्थ "औसत" है, सिग्नल प्रोसेसिंग शब्दों में इसका मतलब उच्च आवृत्ति घटकों को हटाने से हो सकता है।

— गिवरोस रिज़ेकोस

मैं एक ऐसे संसाधन की खोज कर रहा हूं जो थोड़ी देर के लिए सजा

— faridghar

किसी भी भौतिक या यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें, तो सिस्टम में इनपुट x (n) है, हम जिन मापदंडों को निर्धारित करते हैं, वह h (n) है। सिस्टम के काम करने के लिए वर्कफ़ंक्शन y (N) = x (N) * h (N) पूर्व है: एक मल्टीप्लायर के इनपुट के रूप में सिन्वेव पर विचार करें आमतौर पर मल्टीप्लायर इतने एनालॉग सर्किट के साथ सही काम करता है, हम डिवाइस परफोमेंस को बस अलग-अलग बदल सकते हैं पैरामीटर तो हमारे द्वारा पारित पैरामीटर h (n)

— user6151179

Answer 1

कनविक्शन ऑपरेशन के लिए विशेष रूप से कोई "भौतिक" अर्थ नहीं है। इंजीनियरिंग में दृढ़ संकल्प का मुख्य उपयोग एक रेखीय, समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली के उत्पादन का वर्णन करने में है। LTI सिस्टम के इनपुट-आउटपुट व्यवहार को इसके आवेग प्रतिक्रिया के माध्यम से देखा जा सकता है , और किसी भी इनपुट सिग्नल लिए LTI सिस्टम के आउटपुट को सिस्टम के आवेग प्रतिक्रिया के साथ इनपुट सिग्नल के कनवल्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।$x(t)$

अर्थात्, यदि सिग्नल आवेग प्रतिक्रिया साथ LTI सिस्टम पर लागू होता है , तो आउटपुट सिग्नल निम्न है:h ( t $x(t)$$h(t)$

$$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t - \tau)d\tau$$

जैसा कि मैंने कहा, शारीरिक व्याख्या की अधिकता नहीं है, लेकिन आप गुणात्मक रूप से गुणात्मक रूप से "स्मीयरिंग" के रूप में में मौजूद ऊर्जा को किसी तरह से बाहर निकालने के बारे में सोच सकते हैं , आवेग प्रतिक्रिया के आकार पर निर्भर करता । इंजीनियरिंग स्तर पर (कठोर गणितज्ञ अनुमोदन नहीं करेंगे), आप एकीकरण की संरचना पर अधिक बारीकी से देख कर कुछ जानकारी प्राप्त कर सकते हैं। आप आउटपुट बारे में सोच सकते हैं कि आवेग प्रतिक्रिया की प्रतियों की अनंत संख्या के योग के रूप में, प्रत्येक को थोड़ा अलग समय देरी ( ) द्वारा स्थानांतरित किया गया और इनपुट सिग्नल के मूल्य के अनुसार स्केल किया गया जो विलंब से मेल खाती है: ।ज ( टी ) y ( टी ) τ टी एक्स ( τ $x(t)$$h(t)$$y(t)$$\tau$$t$$x(\tau)$

इस तरह की व्याख्या असतत-लघु नमूना अवधि की सीमा तक असतत-समय सजा (अतुल इंगल के जवाब में चर्चा की गई) के समान है, जो फिर से पूरी तरह से ध्वनि नहीं है, लेकिन कार्रवाई की कल्पना करने के लिए एक सहज ज्ञान युक्त तरीके से बनाता है। एक सतत समय प्रणाली के लिए।

Comments

इंटीग्रैंड होना चाहिए$x(\tau) h(t-\tau).$

— अतुल इंलग

लेकिन यह केवल सिग्नल को शिफ्ट नहीं कर रहा है और फिर आउटपुट योग ले रहा है, सिग्नल में से एक पहले सहसंबंध के विपरीत उलट गया है। और यदि सिग्नल में से कोई एक आवेग प्रतिक्रिया है तो यह ठीक है, लेकिन क्या होगा अगर दो सिग्नल अलग-अलग हैं जैसे कि 2 को हल करना इमेजिस।

— पीजे

@ParagJain: वास्तव में, यह सिर्फ आवेग प्रतिक्रिया की बढ़ी हुई प्रतियों के कई (वास्तव में एक अनंत संख्या) का योग ले रहा है। आवेग प्रतिक्रिया शब्द समय चर संबंध में उलटा नहीं है । क्रॉस-सहसंबंध के लिए, जैसा कि आपने उल्लेख किया है, आवेग प्रतिक्रिया तर्क के अंदर पर हस्ताक्षर में बदल जाता है । इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि वास्तव में LTI सिस्टम की प्रतिक्रिया है या नहीं; यह एक छवि हो सकती है जैसा आपने प्रस्तावित किया था या उस मामले के लिए कोई संकेत। सजा द्वारा बनाई गई धब्बा कार्रवाई एक ही है, जैसा कि यहां दिए गए उत्तर में वर्णित है। टी τ + ज ( टी $h(t-\tau)$$t$$\tau$$+$$h(t)$

— जेसन आर

Answer 2

एक विशेष रूप से उपयोगी सहज व्याख्या जो असतत संकेतों के लिए अच्छी तरह से काम करती है, "एक प्रकार की गूँज" या "यादों के भारित योग" के रूप में सजा के बारे में सोचना है।

एक पल के लिए, मान लीजिए कि ट्रांसफर फ़ंक्शन साथ एक असतत LTI सिस्टम के लिए इनपुट सिग्नल एक डेल्टा आवेग । है यह कश्मीर इकाइयों की देरी के साथ स्थानांतरण फ़ंक्शन का सिर्फ एक प्रतिध्वनि (या मेमोरी) है।δ ( n - कश्मीर ) y ( एन $h(n)$$\delta(n-k)$

$$\begin{eqnarray} y(n) &=& \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(m-k) h(n-m) \\ &=& h(n-k). \end{eqnarray}$$

अब भारित कार्यों के योग के रूप में एक मनमाना इनपुट सिग्नल बारे में सोचें । फिर आउटपुट एच (एन) के विलंबित संस्करणों का एक भारित योग है।$x(n)$$\delta$

उदाहरण के लिए, यदि , तो लिखें ।एक्स ( एन ) = δ ( एन ) + 2 δ ( n - 1 ) + 3 δ ( n - 2 $x(n) = \{1, 2, 3\}$$x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

सिस्टम आउटपुट क्रमशः उचित वजन 1, 2 और 3 के साथ गूँज , और योग है ।एच ( एन - 1 ) एच ( एन - २ $h(n)$$h(n-1)$$h(n-2)$

तो ।$y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

Comments

यह आपके प्रत्येक समीकरण के चित्रमय प्रतिनिधित्व को जोड़ने में बहुत सहायक हो सकता है। कुछ लोग (जैसे कि खुद को) नेत्रहीन को देखते समय कनवल्शन की बेहतर समझ रखते हैं।

— फिलमकैके

@PhilMacKay असतत सजा के चित्रमय प्रतिनिधित्व (वास्तव में एक सारणीबद्ध प्रतिनिधित्व) के लिए, इस उत्तर को देखें ।

— दिलीप सरवटे

"गूँज" को वास्तव में "यादों" द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। स्मरण विद थिंग्स पास्ट: प्राउस्ट।

— rrogers

एक चित्रमय प्रतिनिधित्व के लिए, जो दो बॉक्स-कार सिग्नलों के दृढ़ संकल्प को दर्शाता है

— programming/

Answer 3

सजा को समझने का एक अच्छा सहज तरीका एक बिंदु स्रोत के साथ सजा के परिणाम को देखना है।

एक उदाहरण के रूप में, हबल स्पेस टेलीस्कोप के त्रुटिपूर्ण प्रकाशिकी के साथ एक बिंदु का 2 डी दृढ़ीकरण इस छवि को बनाता है:

अब सोचिए कि अगर किसी चित्र में दो (या अधिक) सितारे हैं तो क्या होगा: आपको यह पैटर्न दो बार (या अधिक) मिलता है, प्रत्येक तारे पर केंद्रित है। पैटर्न की चमक किसी तारे की चमक से संबंधित होती है। (ध्यान दें कि एक तारा व्यावहारिक रूप से हमेशा एक बिंदु स्रोत होता है।)

ये पैटर्न मूल रूप से पैनल के रूप में संग्रहीत परिणाम के साथ, जटिल पैटर्न के साथ बिंदु स्रोत का गुणा है, क्योंकि यह पैटर्न को पुन: पेश करता है जब परिणामी तस्वीर को इसकी संपूर्णता में देखा जाता है।

एक कन्वेंशन एल्गोरिथ्म की कल्पना करने का मेरा व्यक्तिगत तरीका स्रोत छवि के प्रत्येक पिक्सेल पर एक लूप है। प्रत्येक पिक्सेल पर, आप दृढ़ पैटर्न के मूल्य से गुणा करते हैं, और आप परिणाम को पिक्सेल पर संग्रहीत करते हैं जो सापेक्ष स्थिति पैटर्न से मेल खाती है। प्रत्येक पिक्सेल पर ऐसा करें (और प्रत्येक पिक्सेल पर परिणाम), और आपको परिणाम मिलता है।

Answer 4

इसके बारे में सोचें ... संगीत सही सुनने के लिए बार-बार आप एक ड्रम की कल्पना कर रहे हैं? आपका ड्रम स्टिक पहली बार झिल्ली पर उतरेगा, इसके प्रभाव के कारण कंपन होगा, जब आप इसे दूसरी बार टकराते हैं, तो पहले प्रभाव के कारण कंपन पहले ही कुछ हद तक क्षय हो जाता है। तो जो भी ध्वनि आप सुनेंगे वह वर्तमान प्रभावों और पिछले प्रभावों की क्षय हुई प्रतिक्रिया का योग है। तो यदि वें क्षण पर प्रभाव बल है , तो प्रभाव Force Impact का समय होगाk $x(k)$$k$$x$

जो है

$x(k)dk$

जहां प्रभाव के छोटे समय के infinitesimaly है$dk$

और आप ध्वनि @ सुन रहे हैं , तो बीता हुआ समय होगा , मान लें कि ड्रम की झिल्ली में एक क्षय प्रभाव होता है, जिसे एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है , जहां बीता समय होता है, हमारे मामले में , प्रभाव @ की प्रतिक्रिया हो जाएगा । तो समय t पर का प्रभाव दोनों का गुणा अर्थात ।t - k h ( u ) u t - k k h ( t - k ) x ( k ) d k x ( k ) h ( t - k ) d $t$$t-k$$h(u)$$u$$t-k$$k$$h(t-k)$$x(k)dk$$x(k)h(t-k)dk$

तो हम जो संगीत सुनते हैं उसका समग्र प्रभाव सभी प्रभावों का एकीकृत प्रभाव होगा। वह भी नकारात्मक अनंत से प्लस अनंत तक। जिसे ही कनवल्शन के नाम से जाना जाता है।

Comments

रोचक चित्रण :)

— tomab

Answer 5

आप एक संकेत को दूसरे के द्वारा स्मियर / स्मूथ करने के रूप में भी कनवल्शन के बारे में सोच सकते हैं। यदि आपके पास दालों के साथ एक संकेत है और दूसरा, कहना है, एक एकल वर्ग नाड़ी है, तो परिणाम दालों को चिकना या चिकना कर देगा।

एक और उदाहरण दो वर्ग की दालों का है जो चपटे ट्रेपोज़ॉइड के रूप में सामने आता है।

Answer 6

यदि आप लेंस डिफोकस वाले कैमरे के साथ एक तस्वीर लेते हैं, तो परिणाम, डिफोकस के बिंदु प्रसार फ़ंक्शन के साथ केंद्रित छवि का एक दृढ़ संकल्प है।

पासा के एक जोड़े के योग की संभाव्यता वितरण व्यक्तिगत पासा के संभाव्यता वितरण का दृढ़ संकल्प है।

यदि आप एक अंक से अगले तक नहीं ले जाते हैं, तो गुणा कई गुना है। और यदि आप संख्याओं में से एक को फ्लिप करते हैं। {२, ३, conv} {९, ४} के साथ सजाया गया है {30, ३०, ५५, ६३}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

(आप 63 में से "6" को 55 में ले जाकर गुणा को समाप्त कर सकते हैं, और इसी तरह।)

Answer 7

सिग्नल और सिस्टम में, आमतौर पर इनपुट सिग्नल और आवेग प्रतिक्रिया के साथ आउटपुट सिग्नल (तीसरा सिग्नल) प्राप्त करने के लिए कनवल्शन का उपयोग किया जाता है। "पिछले इनपुट के भारित योग" के रूप में दृढ़ संकल्प को देखना आसान है क्योंकि पिछले संकेत वर्तमान उत्पादन को भी प्रभावित करते हैं।

मुझे यकीन नहीं है कि यह जवाब है जिसे आप ढूंढ रहे थे, लेकिन मैंने हाल ही में इस पर एक वीडियो बनाया क्योंकि यह मुझे लंबे समय तक परेशान करता था। https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s यहाँ एक छोटा वीडियो है। कृपया मेरे अंग्रेजी लोल का बहाना करें।

Answer 8

दृढ़ संकल्प को देखने का एक और तरीका यह है कि आप दो चीजों पर विचार करें:

• डेटा - निश्चित रूप से कुछ शोर से भ्रष्ट मात्रा - और यादृच्छिक पदों पर (समय, स्थान, नाम में)
• PATTERN = जानकारी कैसी होनी चाहिए इसका कुछ ज्ञान

DAT के साथ DATA का संकल्‍प (दर्पण सममिति) एक और परिमाण है जो PATTERN का मूल्यांकन करता है- यह कितना संभव है कि यह DATA के भीतर प्रत्येक पद पर हो।

तकनीकी रूप से, हर स्थिति में, यह मात्रा सहसंबंध है (यह PATTERN का दर्पण है) और इस प्रकार कुछ सामान्य मान्यताओं (स्वतंत्र गॉसियन शोर) के तहत लॉग-लाइबिलिटी को मापता है। सजा समानांतर में प्रत्येक स्थान (स्थान, समय ...) पर इसकी गणना करने की अनुमति देता है।

Answer 9

$g$$f$$g*f$

Answer 10

भौतिक अर्थ एक संकेत है जो एलटीआई प्रणाली से गुजरता है! वार्तालाप को फ्लिप (संकेतों में से एक), शिफ्ट, गुणा और योग के रूप में परिभाषित किया गया है। मैं प्रत्येक के बारे में अपने अंतर्ज्ञान की व्याख्या करने जा रहा हूं।

1. क्यों हम कनवल्शन में संकेतों में से एक को फ्लिप करते हैं, इसका क्या मतलब है?

क्योंकि इनपुट सिग्नल के प्रतिनिधित्व में अंतिम बिंदु वास्तव में पहला है जो सिस्टम में प्रवेश करता है (समय अक्ष पर ध्यान दें)। Linear-Timer Invariant Systems के लिए वार्तालाप को परिभाषित किया गया है। यह सभी समय से संबंधित है और हम इसे गणित में कैसे दर्शाते हैं। कन्वेंशन में दो सिग्नल होते हैं, एक इनपुट सिग्नल का प्रतिनिधित्व करता है और एक सिस्टम रिस्पांस का प्रतिनिधित्व करता है। तो यहां पहला सवाल यह है कि सिस्टम रिस्पांस का संकेत क्या है? सिस्टम प्रतिक्रिया एक निश्चित समय में एक निश्चित समय में tकेवल एक गैर-शून्य तत्व के साथ इनपुट के लिए सिस्टम का आउटपुट है t(आवेग संकेत जो इसके द्वारा स्थानांतरित किया गया है t)।

2. संकेतों को बिंदु से गुणा क्यों किया जाता है?

फिर से, सिस्टम प्रतिक्रिया के संकेत की परिभाषा का संदर्भ देता है। जैसा कि कहा गया है, यह एक संकेत है जो एक आवेग समारोह को शिफ्ट करने tऔर इनमें से प्रत्येक के लिए आउटपुट की साजिश रचने के माध्यम से बनता है t's। हम विभिन्न आयामों (तराजू) और चरणों के साथ आवेग कार्यों के योग के रूप में इनपुट सिग्नल की भी कल्पना कर सकते हैं। ठीक है, इसलिए किसी भी समय में इनपुट सिग्नल की प्रणाली की प्रतिक्रिया उस समय में इनपुट के आयाम से गुणा (या स्केल द्वारा) संकेत प्रतिक्रिया है ।

3. शिफ्टिंग का क्या मतलब है?

उन लोगों (1 और 2) ने कहा, एक समय में किसी भी इनपुट सिग्नल बिंदु के लिए सिस्टम का आउटपुट प्राप्त करने के लिए स्थानांतरण किया जाता है t।

मुझे आशा है कि यह आप लोगों की मदद करेगा!

Answer 11

$x_1$$x_2$$x_2$$x_1$

एक लंबे समय तक "सिस्टम व्यू" इस प्रकार है: एक बिंदु के एक आदर्श ( प्लैटोनिस्ट ) दृष्टि के बारे में सोचो । एक पिन का सिर, बहुत पतला, कहीं खाली जगह पर। आप इसे डिराक (असतत या निरंतर) की तरह सार कर सकते हैं।

इसे दूर से देखें, या एक अदूरदर्शी व्यक्ति की तरह (जैसा कि मैं हूं), यह धुंधला हो जाता है। अब कल्पना कीजिए कि बिंदु आपको देख रहा है। बिंदु "दृष्टिकोण" से, आप एक विलक्षणता भी हो सकते हैं। बिंदु को छोटा रूप में भी देखा जा सकता है, और आप दोनों के बीच का माध्यम (आप एक विलक्षणता और बिंदु के रूप में) गैर-पारदर्शी हो सकता है।

तो, परेशान पानी पर पुल एक पुल की तरह है । मैंने कभी नहीं सोचा था कि मैं साइमन और गैफंकेल को यहां उद्धृत कर सकता हूं । दो घटनाएं एक दूसरे को जब्त करने की कोशिश कर रही हैं। नतीजा एक दूसरे के धुंधला, सममित रूप से धुंधला होता है। ब्लर्स का समान होना जरूरी नहीं है। आपका अदूरदर्शी धुंधलापन वस्तु की फ़िज़ूलता के साथ समान रूप से जोड़ता है। समरूपता ऐसी है कि यदि वस्तु का फ़िज़नेस आपकी आंखों की कमजोरी बन जाता है, और इसके विपरीत, समग्र धुंधला समान रहता है। यदि उनमें से एक आदर्श है, तो दूसरा अछूता है। यदि आप पूरी तरह से देख सकते हैं, तो आप वस्तु का सटीक धुंधलापन देखते हैं। यदि वस्तु एक पूर्ण बिंदु है, तो व्यक्ति को आपकी अदूरदर्शीता का सटीक माप मिल जाता है।

$\log$

आप जांच कर सकते हैं लेकिन क्यों? सहज गणित: वार्तालाप

Answer 12

जिस तरह से आप किसी दिए गए वातावरण (कमरे, खुली जगह आदि) में ध्वनि सुनते हैं, वह उस वातावरण की आवेग प्रतिक्रिया के साथ ऑडियो सिग्नल का एक कनवल्शन है।

इस मामले में आवेग प्रतिक्रिया पर्यावरण की विशेषताओं जैसे ऑडियो प्रतिबिंब, देरी और ऑडियो की गति का प्रतिनिधित्व करती है जो तापमान के साथ बदलती है।

Answer 13

उत्तरों को फिर से लिखने के लिए:

सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए यह वर्तमान में अतीत की भारित राशि है। आमतौर पर एक शब्द एक फिल्टर के इनपुट पर वोल्टेज का इतिहास होता है और दूसरा शब्द एक फिल्टर या कुछ ऐसा होता है जिसमें "मेमोरी" होती है। बेशक वीडियो प्रसंस्करण में आसन्न पिक्सल के सभी "अतीत" की जगह लेते हैं।

प्रायिकता के लिए यह अन्य घटनाओं के लिए दी गई घटना के लिए एक क्रॉस संभावना है; क्रेप्स में 7 प्राप्त करने के तरीकों की संख्या a: 6 और 1, 3 और 4, 2 और 5. प्राप्त करने की संभावना है अर्थात संभाव्यता का योग P (2) गुणा संभावना P (7-2): P (आदि) 7-2) पी (2) + P (7-1) * पी (1) + .....

Answer 14

कन्वर्सेशन एक तीसरा सिग्नल बनाने के लिए दो सिग्नलों को मिलाने का गणितीय तरीका है। यह डीएसपी में सबसे महत्वपूर्ण तकनीकों में से एक है ... क्यों? क्योंकि इस गणितीय ऑपरेशन का उपयोग करके आप सिस्टम आवेग प्रतिक्रिया को निकाल सकते हैं। यदि आप नहीं जानते कि सिस्टम आवेग प्रतिक्रिया क्यों महत्वपूर्ण है, तो इसके बारे में http://www.dspguide.com/ch6.htm में पढ़ें । आवेग अपघटन की रणनीति का उपयोग करते हुए, सिस्टम को आवेग प्रतिक्रिया नामक एक संकेत द्वारा वर्णित किया जाता है। कन्वेंशन महत्वपूर्ण है क्योंकि यह ब्याज के तीन संकेतों से संबंधित है: इनपुट सिग्नल, आउटपुट सिग्नल और आवेग प्रतिक्रिया । यह एक औपचारिक गणितीय ऑपरेशन है, बस गुणा, जोड़ और एकीकरण के रूप में। जोड़ दो नंबर लेता है और तीसरा नंबर पैदा करता है, जबकि दृढ़ संकल्प दो संकेत लेता है और तीसरा संकेत पैदा करता है । रैखिक प्रणालियों में, अभिसरण का उपयोग ब्याज के तीन संकेतों के बीच संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जाता है: इनपुट सिग्नल, आवेग प्रतिक्रिया और आउटपुट सिग्नल (स्टीवन डब्ल्यू स्मिथ से)। फिर, यह आवेग प्रतिक्रिया की अवधारणा के लिए अत्यधिक बाध्य है जिसे आपको इसके बारे में पढ़ने की आवश्यकता है।

Answer 15

आवेग आउटपुट अनुक्रम का कारण बनता है जो सिस्टम (भविष्य) की गतिशीलता को पकड़ता है। इस आवेग प्रतिक्रिया पर फ़्लिप करके हम सभी पिछले इनपुट मानों के भारित संयोजन से आउटपुट की गणना करने के लिए इसका उपयोग करते हैं। यह एक अद्भुत द्वंद्व है।

Answer 16

सरल शब्दों में इसका मतलब है कि इनपुट को एक डोमेन से दूसरे डोमेन में स्थानांतरित करना जहां हमें इसके साथ काम करना आसान लगता है। कनविक्शन लैप्लस ट्रांसफ़ॉर्म के साथ बंधा हुआ है, और कभी-कभी एस डोमेन में काम करना आसान होता है, जहां हम आवृत्तियों के लिए बुनियादी जोड़-तोड़ कर सकते हैं। और लैपलैस ट्रांसफॉर्मेशन के रूप में भी एक से एक फ़ंक्शन हम इनपुट को भ्रष्ट नहीं करने की सबसे अधिक संभावना है। यह समझने की कोशिश करने से पहले कि भौतिक महत्व में दीक्षांत के सामान्य प्रमेय का क्या मतलब है, हमें इसके बजाय आवृत्ति डोमेन पर शुरू करना चाहिए। इसके अलावा और स्केलर गुणन एक ही नियम का पालन करता है क्योंकि लाप्लास परिवर्तन एक रैखिक ऑपरेटर है। c1.Lap (f (x) + c2.Lap g (x) = Lap (c1.f (x) + c2.g (x))। लेकिन Lap f (x) .Lap g (x) क्या है। क्या प्रमेय सिद्धांत को परिभाषित करता है।