इकाई चरण अनुक्रम असतत समय फूरियर रूपांतरण

पाठ्य पुस्तकों से हमें पता चलता है कि का DTFT द्वारा दिया गया है $u[n]$

\begin{matrix} (1) & U (ω) = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}, - π \leq ω < π \end{matrix}

$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$

हालाँकि, मैंने एक डीएसपी पाठ्यपुस्तक नहीं देखी है जो कम से कम की अधिक या कम ध्वनि व्युत्पत्ति देने का दिखावा करती है $(1)$ ।

Proakis [1] के दाएँ हाथ की ओर के आधे दाएं भाग निकला है $(1)$ की स्थापना करके $z=e^{j\omega}$ में $\mathcal{Z}$ की -transform $u[n]$ , और कहता है कि यह मान्य है सिवाय $\omega=2\pi k$ (जो निश्चित रूप से सही है)। उसके बाद वह बताता है कि $\mathcal{Z}$ -transform के ध्रुव पर हमें एक डेल्टा आवेग को क्षेत्र के साथ जोड़ना होगा $\pi$ , लेकिन यह मेरे लिए किसी और चीज़ की तुलना में अधिक नुस्खा जैसा प्रतीत होता है।

इस संदर्भ में ओपेनहेम और शेफर [2] का उल्लेख है

हालांकि यह दिखाने के लिए पूरी तरह से सीधा नहीं है, इस अनुक्रम को निम्नलिखित फूरियर रूपांतरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

समतुल्य एक सूत्र के बाद $(1)$ । दुर्भाग्य से, उन्होंने हमें यह दिखाने के लिए परेशानी नहीं उठाई कि "पूरी तरह से सीधा नहीं" प्रमाण।

एक पुस्तक जिसे मैं वास्तव में नहीं जानता था, लेकिन बीए शेनोई द्वारा डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग और फिल्टर डिज़ाइन का परिचय $(1)$ का प्रमाण ढूंढते समय मुझे जो मिला, वह है। पृष्ठ 138 पर की "व्युत्पत्ति" है , लेकिन दुर्भाग्य से यह गलत है। मैंने एक "डीएसपी-पहेली" प्रश्न पूछा कि लोगों को यह दिखाने के लिए कि उस प्रमाण के साथ क्या गलत है।] $(1)$

तो मेरा सवाल है:

क्या कोई गणितीय रूप से इच्छुक इंजीनियरों के लिए सुलभ होने के दौरान ध्वनि या कठोर होने का प्रमाण / व्युत्पत्ति प्रदान कर सकता है ? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह सिर्फ एक किताब से कॉपी किया गया है। मुझे लगता है कि इस साइट पर इसे वैसे भी रखना अच्छा होगा। $(1)$

ध्यान दें कि गणित पर भी। लगभग कुछ भी प्रासंगिक नहीं पाया जाना है: इस सवाल का कोई जवाब नहीं है, और एक के पास दो उत्तर हैं, जिनमें से एक गलत है (शेनोई के तर्क के समान), और दूसरा "संचय संपत्ति" का उपयोग करता है , जो मुझे खुशी होगी, लेकिन फिर उस संपत्ति को प्रमाणित करने की आवश्यकता है, जो आपको शुरुआत में वापस लाती है (क्योंकि दोनों प्रमाण मूल रूप से एक ही बात साबित करते हैं)।

अंतिम नोट के रूप में, मैं एक सबूत (अच्छी तरह से, मैं एक इंजीनियर हूँ) की तरह कुछ के साथ आया था, और मैं इसे अब से कुछ दिनों के उत्तर के रूप में भी पोस्ट करूंगा, लेकिन मुझे अन्य प्रकाशित या अप्रकाशित सबूत इकट्ठा करने में खुशी होगी यह सरल और सुरुचिपूर्ण है, और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि डीएसपी इंजीनियरों के लिए सुलभ हैं।

पुनश्च: मुझे की वैधता पर संदेह नहीं है $(1)$ , मैं सिर्फ एक या कई अपेक्षाकृत सीधे प्रमाण देखना चाहूंगा।

[१] प्राकिस, जेजी और डीजी मनोलकिस, डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग: सिद्धांत, एल्गोरिदम और अनुप्रयोग , तीसरा संस्करण, धारा ४.२.is

[२] ओपेनहेम, एवी और आरडब्ल्यू शैफर, असतत-समय सिग्नल प्रोसेसिंग , २ संस्करण, पी। 54।

मार्कस मूलर की एक टिप्पणी से प्रेरित होकर, मैं उस

को दिखाना चाहता हूं, जैसा कि

U (ω)

$U(\omega)$ Eq द्वारा दिया गया है।

(1)

$(1)$ आवश्यकता को संतुष्ट करता है

u [n] = u^{2} [n] \to U (ω) = \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω)

$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$

यदि $U(\omega)$ का DTFT है , तो $u[n]$

V (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}}

$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$

का DTFT होना चाहिए

v [n] = \frac{1}{2} sign [n]

$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$

(जहाँ हम को परिभाषित करते हैं $\text{sign}[0]=1$ ), क्योंकि

V (ω) = U (ω) - π δ (ω) ⟺ u [n] - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sign [n]

$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$

तो हमारे पास

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) ⟺ {(\frac{1}{2} sign [n])}^{2} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$

जिससे यह इस प्रकार है

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) = DTFT {\frac{1}{4}} = \frac{π}{2} δ (ω)

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$

इससे हम मिलते हैं

\begin{aligned} \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω) & = \frac{1}{2 π} [(π δ (ω) + V (ω)) ⋆ (π δ (ω) + V (ω))] \\ = \frac{1}{2 π} [π^{2} δ (ω) + 2 π V (ω) + (V ⋆ V) (ω)] \\ = \frac{π}{2} δ (ω) + V (ω) + \frac{π}{2} δ (ω) \\ = U (ω) q.e.d. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$

— मैट एल।
स्रोत

waaah। मेरी दुनिया को मत तोड़ो। उस सूत्र में संदेह अराजकता के दायरे का परिचय देता है। उदाहरण के लिए, , और इसलिए (एक कॉन्टेस्ट के साथ। निरंतर आधार पर एफटी परिभाषा प्रीफ़ेक्टर ), start

u^{2} (t) = u (t)

$u^2(t) = u(t)$

c

$c$

\begin{aligned} DTFT (u^{2}) (ω) & = c \cdot U (ω) * U (ω) \\ = c π U (ω) + \frac{c}{1 + e^{- j ω}} * U (ω) \\ = c π (π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}) + \frac{c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ = c π^{2} δ (ω) + \frac{2 c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ \overset{magic?}{=} U \end{aligned}

$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$

— मार्कस मूल

@ MarcusMüller: उस सूत्र के बारे में कोई संदेह नहीं है, यह सही है। सवाल सिर्फ यह है कि इसे इस तरह से कैसे दिखाया जाए कि एक साधारण दिमाग वाला इंजीनियर समझ सके। और दिए गए DTFT के लिए काम करता है, कोई बात नहीं।

u^{2} [n] = u [n]

$u^2[n]=u[n]$

— मैट एल।

मैं खुद को बहुत ही सरल दिमाग का मानता हूं, और इसका मतलब है कि मुझे चिंता है जब चीजें "सुरक्षित" महसूस नहीं होती हैं जब मैं देख नहीं सकता कि वे कैसे व्युत्पन्न हैं।

— मार्कस मूलर

मैं देख रहा हूं कि आपके बाद जो है वह यह साबित करने के लिए नहीं है कि समीकरण सही है या नहीं, बल्कि यह पहले सिद्धांतों और DTFT की परिभाषा से को सख्ती से और सीधे प्राप्त करना है । फिर जब भी कोई आवेगों से जुड़े एक कठोर प्रमाण बनाना चाहता है तो मुझे लगता है कि किसी को सामान्यीकृत फ़ंक्शन सिद्धांत से उद्धृत पुस्तकों का बेहतर उल्लेख करना चाहिए: Lighthill-1958 का उल्लेख पक्ष और विपक्ष में आवेग समारोह की चर्चा और फूरियर रूपांतरणों में इसके उपयोग के लिए किया गया है। अन्य सभी सबूत अनिवार्य रूप से उन संदर्भों पर बने सबूतों पर भरोसा करेंगे और कठोर प्रमाण को बदलने के लिए अपर्याप्त होंगे।

U (w)

$U(w)$

— फेट 32

@ Fat32: यह एक मान्य दृष्टिकोण है। मुझे लगता है, हालांकि, यदि हम जैसे बुनियादी परिवर्तनों को स्वीकार करते हैं , और यदि हम अभिन्न को परिभाषित करने के लिए संतुष्ट हैं , तो यह एक उचित ध्वनि व्युत्पत्ति है। उनके कॉची प्रमुख मूल्य।

DTFT {1} = 2 π δ (ω)

$\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$

— मैट एल।

जवाबों:

सीड्रॉन डॉग ने इस उत्तर में एक दिलचस्प प्रारंभिक बिंदु पोस्ट किया । इसकी शुरुआत इन चरणों से होती है:

\begin{aligned} U (ω) & = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$

It turns out the term inside the limit can be expanded as follows:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} = & \frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} \cdot \\ [- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) + j (- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω))] \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$

The common factor outside the brackets can be expressed as:

\frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} = \frac{1}{4 \sin^{2} (ω / 2)}

$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$

The real part inside the brackets also equals:

- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) = 2 \sin (ω / 2) \sin [ω (- N + 1 / 2)]

$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$

On the other hand, the imaginary part can be rewritten as:

- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω) = - 2 \sin (ω / 2) \cos [ω (- N + 1 / 2)]

$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$

Rewritting the original term we get that:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} & = \frac{2 \sin (\frac{ω}{2})}{4 \sin^{2} (\frac{ω}{2})} (\sin [ω (- N + 1 / 2)] - j \cos [ω (- N + 1 / 2)]) \\ = - \frac{\sin [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} - j \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$

where I used $M=N-1$ and the limit stays unaffected as $M\to \infty$ as well.

According to the 7th definition in this site:

lim_{M \to \infty} - \frac{1}{2 \sin (ω / 2)} \sin [ω (M + 1 / 2)] = - π δ (ω)

$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$

So far we have that:

lim_{M \to \infty} \frac{e^{- j ω (M + 1)}}{1 - e^{- j ω}} = - π δ (ω) - j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)}

$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$

If we could prove that the second term on the right of the equality is $0$ in some sense, then we are done. I asked it at math.SE and, indeed, that sequence of functions tends to the zero distribution. So, we have that:

\begin{aligned} U (ω) & = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) + j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)} \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$

— Tendero
स्रोत

This is very nice! I checked it and everything seems to be correct, so that imaginary part must tend to zero in some sense. I'll think about it for a bit.

— Matt L.

@MattL. Let me know if you are able to make any progress!

— Tendero

@MattL. The proof is finally complete!

— Tendero

Good work! I had figured out that the cosine term would tend to zero due to the Riemann-Lebesgue lemma, but my problem was the case

ω = 0

$\omega=0$ . Because the very first formula is based on the geometric sum, which is only valid for

ω \neq 0

$\omega\neq 0$ . It all somehow works out after all, but that's still a minor flaw. I have another derivation that does not split out the term

1 / (1 - e^{- j ω})

$1/(1-e^{-j\omega})$ , in which the case

ω = 0

$\omega=0$ is handled with a bit more care, but it's still an "engineer's proof". I might post it when I have more time.

— Matt L.

I'll provide two relatively simple proofs that do not require any knowledge of distribution theory. For a proof that computes the DTFT by a limit process using results from distribution theory, see this answer by Tendero.

I will only mention (and not elaborate on) the first proof here, because I've posted it as an answer to this question, the purpose of which was to show that a certain published proof is faulty.

The other proof goes as follows. Let's first write down the even part of the unit step sequence $u[n]$ :

\begin{matrix} (1) & u_{e} [n] = \frac{1}{2} (u [n] + u [- n]) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$

The DTFT of $(1)$ is

\begin{matrix} (2) & DTFT {u_{e} [n]} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$

which equals the real part of the DTFT of $u[n]$ :

\begin{matrix} (3) & U_{R} (ω) = Re {U (ω)} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$

Since $u[n]$ is a real-valued sequence we're done because the real and imaginary parts of $U(\omega)$ are related via the Hilbert transform, and, consequently, $U_R(\omega)$ uniquely determines $U(\omega)$ . However, in most DSP texts, these Hilbert transform relations are derived from the equation $h[n]=h[n]u[n]$ (which is valid for any causal sequence $h[n]$ ), from which it follows that $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$ . So in order to show the Hilbert transform relation between the real and imaginary parts of the DTFT we need the DTFT of $u[n]$ , which we actually want to derive here. So the proof becomes circular. That's why we'll choose a different way to derive the imaginary part of $U(\omega)$ .

For deriving $U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ we write the odd part of $u[n]$ as follows:

\begin{matrix} (4) & u_{o} [n] = \frac{1}{2} (u [n] - u [- n]) = u [n - 1] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$

Taking the DTFT of $(4)$ gives

\begin{aligned} j U_{I} (ω) & = e^{- j ω} U (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (U_{R} (ω) + j U_{I} (ω)) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (π δ (ω) + \frac{1}{2}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) \end{aligned}

$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$

where I've used $(3)$ . Eq. $(5)$ can be written as

\begin{matrix} (6) & j U_{I} (ω) (1 - e^{- j ω}) = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) \end{matrix}

$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$

The correct conclusion from $(6)$ is (see this answer for more details)

\begin{matrix} (7) & j U_{I} (ω) = \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + c δ (ω) \end{matrix}

$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$

But since we know that $U_I(\omega)$ must be an odd function of $\omega$ (because $u[n]$ is real-valued), we can immediately conclude that $c=0$ . Hence, from $(3)$ and $(7)$ we finally get

\begin{aligned} U (ω) & = U_{R} (ω) + j U_{I} (ω) \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} (1 + \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}}) \\ (8) & = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{aligned}

$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$

— Matt L.
स्रोत