विरलता का सटीक माप क्या है?

Question

मैं वर्तमान में संपीड़ित संवेदन और संकेतों के विरल प्रतिनिधित्व, विशिष्ट छवियों पर काम कर रहा हूं।

मुझसे अक्सर पूछा जाता है "स्पार्सिटी परिभाषा क्या है?"। मैं जवाब देता हूं "यदि किसी डोमेन के किसी फ़ोरियर या वेवलेट जैसे सिग्नल के अधिकांश तत्व शून्य या शून्य के करीब हैं, तो यह संकेत उस आधार में विरल है।" लेकिन इस परिभाषा में हमेशा एक समस्या है, "अधिकांश तत्वों का क्या मतलब है? क्या यह 90 प्रतिशत है? 80 percenior? 92.8% प्रतिशत?" यहाँ जहाँ मेरा सवाल उठता है, क्या कोई सटीक, यानी संख्यात्मक, परिभाषा के लिए है?

Comments

मुझे लगता है कि आप पाएंगे कि विरल बैंडविड्थ की तरह एक शब्द है । उनके पास एक भी परिभाषा नहीं है जो सभी संदर्भों में लागू हो। जवाब एक असंतोषजनक है "यह निर्भर करता है।"

— जेसन आर

@ जैसनआर मुझे ऐसा लगता है, लेकिन क्या इसका कोई उल्लेख है?

— एम। जलाली

यह भी आप पुनर्निर्माण योजनाओं पर निर्भर करता है।

— मीमसाड

@ जैसन आर बैंडविड्थ के साथ आपका संयोजन काफी प्रेरणादायक है। दोनों में कुछ समर्थन पर एक आयाम-कम धारणा है। बैंडविड्थ मुझे स्पार्सिटी पर "पर्याप्त" समानता के कुछ विचार को लागू करने के लिए लगता है

— लॉरेंट

Answer 1

" क्या कोई सटीक, यानी संख्यात्मक, विरलता के लिए परिभाषा है? " और संख्यात्मक द्वारा , मैं दोनों को समझने योग्य , और व्यावहारिक रूप से "प्रयोग करने योग्य" समझता हूं । मेरा लेना यह है कि: अभी तक, कम से कम, कोई सहमति नहीं है, फिर भी कुछ योग्य दावेदार हैं। पहला विकल्प " केवल गैर शून्य शब्दों को गिनें" सटीक है, लेकिन अक्षम (संख्यात्मक सन्निकटन और शोर के प्रति संवेदनशील है, और अनुकूलन करने के लिए बहुत जटिल है)। दूसरा विकल्प " एक संकेत के अधिकांश तत्व शून्य या शून्य के करीब हैं " बल्कि अपवित्र है, या तो "सबसे" और "करीब"।

तो " औपचारिकता का एक सटीक उपाय " अधिक औपचारिक पहलुओं के बिना, मायावी बना रहता है। हर्ले और रिकार्ड में 2009 में किए गए स्पार्सिटी को परिभाषित करने का एक हालिया प्रयास , सूचना थ्योरी पर स्पार्सिटी के तुलनात्मक उपाय , IEEE लेनदेन।

उनका विचार स्वयंसिद्धों का एक सेट प्रदान करना है जिसे पूरा करने के लिए एक अच्छा स्पार्सिटी उपाय चाहिए; उदाहरण के लिए, एक संकेत$x$ एक गैर शून्य स्थिरांक से गुणा किया जाता है, $\alpha x$, एक ही धार होना चाहिए। अन्य शब्दों में, एक स्पार्सिटी माप होना चाहिए$0$-homogeneous। मजेदार रूप से, द$\ell_1$ कंप्रेसिव सेंसिंग में प्रॉक्सी, या लैस्सो रिग्रेशन में है $1$-homogeneous। यह वास्तव में हर मानक या अर्ध-मानक के लिए मामला है$\ell_p$, भले ही वे (गैर-मजबूत) गणना उपाय करते हैं $\ell_0$ जैसा $p\to 0$।

इसलिए उन्होंने अपने छह स्वयंसिद्धों का विस्तार किया, संगणना की, धन विश्लेषण से उधार लिया:

• रॉबिन हूड (अमीर से ले लो, गरीबों को दे दो कम कर देता है),
• स्केलिंग (निरंतर गुणन स्पार्सिटी को संरक्षित करता है),
• राइडिंग टाइड (एक ही नॉन जीरो अकाउंट को जोड़ने से स्पार्सिटी कम हो जाती है),
• क्लोनिंग (डुप्लिकेटिंग डेटा संरक्षण को कम करता है),
• बिल गेट्स (अमीर आदमी अमीर हो रहा है),
• शिशुओं (शून्य मूल्यों को जोड़ने से स्पार्सिटी बढ़ जाती है)

और उनके खिलाफ ज्ञात उपायों की जांच करते हुए, यह बताते हुए कि गिन्नी इंडेक्स और कुछ मानक या अर्ध-मानक अनुपात अच्छे उम्मीदवार हो सकते हैं (बाद के लिए, यूक्लिड में एक टेक्सीकब में कुछ विवरण प्रदान किए गए हैं : स्पार्स ब्लाइंड डीकॉन्फ़ॉर्शनिंग स्मूथेड$\ell_1/\ell_2$नियमितीकरण , 2005, IEEE सिग्नल प्रोसेसिंग पत्र)। मुझे लगता है कि इस प्रारंभिक कार्य को और विकसित किया जाना चाहिए ( SPOQ पर बने रहें, स्मूथेड$p$ ऊपर $q$ $\ell_p/\ell_q$अर्ध-मानदंड / मानदंड अनुपात )। क्योंकि एक संकेत के लिए$x$, $0< p\le q$, मानक अनुपात असमानता पैदावार:

$$1\le \frac{\ell_p(x)}{\ell_q(x)}\le \ell_0(x)^{1/p-1/q}$$

और जाता है $1$ (बाएं हाथ की ओर, LHS) जब $x$विरल है, और दाईं ओर (आरएचएस) जब नहीं। यह कार्य अब एक पूर्व संकेत है : SPOQ : मास पी स्पेक्ट्रोमेट्री पर लागू स्पार्स सिग्नल रिकवरी के लिए चिकनी पी-ओवर-क्यू नियमितिकरण । हालाँकि, स्पार्सिटी का एक ध्वनि माप आपको यह नहीं बताता कि रूपांतरित डेटा आपके उद्देश्य के लिए पर्याप्त रूप से विरल है या नहीं।

अंत में, कम्प्रेसिव सेंसिंग में उपयोग की जाने वाली एक और अवधारणा सिग्नल की कम्प्रेसिबिलिटी है, जहाँ री-ऑर्डर (अवरोही क्रम) गुणांक परिमाण $c_{(k)}$ बिजली कानून का पालन करें $C_\alpha .(k)^{-\alpha}$, और बड़ा $\alpha$क्षय को तेज करो।