फूरियर रूपांतरण पहचान

Question

हम नीचे जानते हैं,

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

अब, अगर कुछ संकेत के लिए

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

फिर, क्या यह निम्नलिखित मान लेना सुरक्षित है?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

या यह संकेत के प्रकार पर निर्भर करता है?

Comments

आप अभी भी सबसे उपयुक्त उत्तर को सत्यापित कर सकते हैं

— लॉरेंट डुवल

Answer 1

तुम सही हो। आपका अंतिम समीकरण बस यह कहने का एक फैंसी तरीका है कि वास्तविक मूल्य है।$X(f)$

सामान्य तौर पर: यदि यह एक डोमेन में वास्तविक है, तो यह दूसरे में सममित समरूप है।

Answer 2

हाँ, अगर eqs। (2) और (3) किसी भी "सिग्नल के प्रकार" के लिए पकड़ (जो वे करते हैं), तो (5) धारण करना चाहिए।

(4) में डालने से (2) हम और (3) का उपयोग कर करते हैं

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

हम स्थानापन्न हैं हम मिल जो, के रूप में Hilmar पहले से ही देखा है , इसका मतलब है कि वास्तविक मूल्य है। यह उम्मीद की जानी चाहिए, (4) के अनुसार, संयुग्म जटिल समरूपता प्रदर्शित करता है ।$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Answer 3

@ डिव और @ हिलर के जवाब तकनीकी रूप से एकदम सही हैं। मैं कुछ सवालों के साथ कुछ अतिरिक्त जानकारी प्रदान करना चाहूंगा।

सबसे पहले, आप एक संकेत यह संतुष्ट करने का पता है उलट-टाइम / संयुग्म पहचान :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

एक पहला स्पष्ट विचार वास्तविक और सममित संकेतों के बीच चयन करना है। फूरियर फ्रेमवर्क में एक प्राकृतिक कोसाइन है ।

अब, हमें थोड़ा और अधिक जटिल (दंडित इरादा) मिलता है।

तो दूसरा, असली साइन के बारे में क्या ? यह सममिति विरोधी है। लेकिन अगर आपको वह याद है$i^*=-i$, कार्यक्रम $t\to i.\sin t$साथ ही एक समाधान भी बन जाता है। इसलिए, संवेदनशीलता द्वारा, कार्य

$$t\to e^{i t}$$

(जिसे जटिल घातांक या सिसॉइड कहा जाता है ) भी एक समाधान है । और इसका फूरियर रूपांतरण (एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन के रूप में) वास्तव में वास्तविक है (यद्यपि किसी भी तरह "अनंत")। आगे जाकर, वास्तविक गुणांकों के साथ सिसॉइड्स का कोई भी रैखिक संयोजन इसे करेगा।

आपका प्रश्न बताता है कि फूरियर द्वंद्व महत्वपूर्ण कैसे है, और इसका उपयोग कैसे कुछ मुद्दों को सरल बना सकता है। वास्तविक हस्ताक्षर के लिए DTFT के SYMMETRY में देखा गया है :

अन्य शब्दों में, यदि एक संकेत $x(n)$ वास्तविक है, तो इसका स्पेक्ट्रम हर्मिटियन (`` संयुग्म सममित '') है।

यहां, आपका आधार संकेत $x$हर्मिटियन है, और फूरियर संस्करण वास्तविक है। इसलिए इसे बेहतर समझने के लिए, बस कल्पना करें$t$ एक आवृत्ति चर है, और $f$इसका समय दोहरा है। जियोफिजिकल सिग्नल और वेव्स / कॉम्प्लेक्स सिमिट्री प्रॉपर्टीज के डिजिटल विश्लेषण में मानक प्रतिनिधित्व प्रदान किया गया है ।

इसे हेयर्स कॉर्कस्क्रू / स्पाइरल भी कहा जाता है ।