सुसंगत नमूनाकरण के लिए परिमाणीकरण शोर - चरण शोर?

Question

अपडेट: इस पोस्ट के नीचे जोड़े गए विचार देखें।

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सामान्य नमूने की शर्तों के तहत जो नीचे वर्णित है (नमूना घड़ी के लिए असंबंधित संकेत) से विवश नहीं, परिमाणीकरण शोर को अक्सर एक मात्राकरण स्तर पर एक समान वितरण के रूप में अनुमानित किया जाता है। जब दो ADC एक जटिल संकेत के नमूने को बनाने के लिए I और Q पथों के साथ संयुक्त होते हैं, तो परिमाणीकरण शोर में आयाम और चरण शोर घटक दोनों होते हैं जो नीचे सिम्युलेटेड होते हैं। जैसा कि दिखाया गया है, इस शोर का त्रिकोणीय वितरण होता है जब आई और क्यू घटक आयाम और चरण में समान रूप से योगदान करते हैं जैसे कि जब एक संकेत 45 ° कोण पर होता है, और जब संकेत धुरी पर होता है तो वर्दी। यह उम्मीद है कि प्रत्येक I और Q के लिए परिमाणीकरण शोर असम्बद्ध है, इसलिए जब वे दोनों आउटपुट परिणाम में योगदान दे रहे हैं, तो वितरण का समापन होगा।

यह सवाल पूछा जा रहा है कि क्या सुसंगत नमूनाकरण के मामलों के लिए चरण शोर का यह वितरण महत्वपूर्ण रूप से बदल जाता है (मान लीजिए कि नमूना घड़ी में ही चरण शोर है जो अब तक बेहतर है इसलिए कारक नहीं है)? विशेष रूप से मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या सुसंगत नमूनाकरण काफी मात्राकरण संबंधित चरण शोर को कम करेगा। यह सीधे क्लॉक सिग्नल जेनरेशन पर लागू होगा, जहां आसानी से तालमेल बना रहेगा।

दोनों वास्तविक संकेतों (एक एडीसी) या जटिल संकेतों पर विचार करें (दो एडीसी के; एक के लिए मैं और एक क्यू के लिए एक साथ एक एकल नमूना नमूना का वर्णन)। वास्तविक संकेतों के मामले में, इनपुट एक पूर्ण पैमाने पर साइन-वेव है और चरण शब्द विश्लेषणात्मक संकेत से प्राप्त होता है; साइनसॉइडल टोन के शून्य क्रॉसिंग में परिवर्तन से संबंधित घबराना एक वास्तविक संकेत के लिए परिणामस्वरूप चरण शोर का एक उदाहरण होगा। जटिल संकेतों के मामले के लिए, इनपुट एक पूर्ण पैमाने पर है , जहां वास्तविक और काल्पनिक घटक प्रत्येक पूर्ण पैमाने पर साइन-वेव होंगे।$Ae^{j \omega t}$

यह इस सवाल से संबंधित है जहां सुसंगत नमूने का अच्छी तरह से वर्णन किया गया है, लेकिन चरण शोर का विशेष रूप से उल्लेख नहीं किया गया है:

सुसंगत नमूनाकरण और परिमाणीकरण शोर का वितरण

प्रेरित AM और PM शोर घटकों को और अधिक स्पष्ट रूप से वर्णन करने के लिए, मैंने एक जटिल नमूनाकरण के मामले में नीचे दिए गए ग्राफिक को नीचे दिया है, एक दिए गए नमूने पर निरंतर समय में एक जटिल वेक्टर दिखा रहा है, और एक लाल डॉट के रूप में संबंधित मात्रा का नमूना रेखीय मान रहा है संकेत के वास्तविक और काल्पनिक भागों के परिमाणीकरण स्तरों का समान वितरण।

उस स्थान पर ज़ूमिंग करना जहां प्रेरित आयाम त्रुटि और चरण त्रुटि को चित्रित करने के लिए उपरोक्त ग्राफिक में मात्रा का ठहराव होता है:

इस प्रकार एक मनमाना संकेत दिया

$$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$$

परिमाणित संकेत द्वारा दिया गया निकटतम दूरी बिंदु है

$$s_k = i_k+ j q_k$$

जहाँ और परिमाणित I और Q स्तरों का प्रतिनिधित्व करते हैं:$i_k$$q_k$

$$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$$

जहां मंजिल फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है , और एक असतत मात्रा का स्तर दर्शाता है।$\lfloor (\cdot) \rfloor$$\Delta$

$$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$$

आयाम त्रुटि हैजहाँ वह समय है, जो उत्पन्न करने के लिए नमूना था ।$|s(t_k)|-|s_k|$$t_k$$s(t)$$s_k$

चरण त्रुटि जहां * जटिल संयुग्म का प्रतिनिधित्व करता है।$\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$

इस पोस्ट के लिए प्रश्न यह है कि चरण घटक की प्रकृति क्या है जब इनपुट सिग्नल के साथ नमूना घड़ी घड़ी (एक पूर्णांक मल्टीपल) के अनुरूप है?

मदद करने के लिए, I और Q पर 6 बिट की मात्रा का ठहराव के साथ जटिल परिमाणीकरण मामले के लिए आयाम और चरण त्रुटियों के कुछ सिम्युलेटेड वितरण हैं। इन सिमुलेशन के लिए यह माना जाता है कि वास्तविक संकेत "सत्य" समान रूप से एक परिमाण में कहीं भी होने की संभावना है। ऊपर चित्र में दिखाए गए ग्रिड के रूप में परिभाषित सेक्टर। ध्यान दें कि जब संकेत क्वाडंटेंट्स (या तो सभी I या सभी Q) में से एक के साथ है, तो वितरण समान है, वास्तविक संकेतों के साथ एकल ADC मामले में अपेक्षित है। लेकिन जब संकेत 45 ° कोण के साथ होता है, तो वितरण त्रिकोणीय होता है। यह समझ में आता है क्योंकि यह इन मामलों में संकेत के समान I और Q योगदान है जो प्रत्येक असंबद्ध समान वितरण हैं; इसलिए दो वितरण त्रिकोणीय होने का संकल्प लेते हैं।

संकेत वेक्टर को 0 ° तक घुमाने के बाद, परिमाण और कोण हिस्टोग्राम बहुत अधिक समान होते हैं:

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अद्यतन: चूंकि हमें अभी भी विशिष्ट प्रश्न की ओर एक जवाब की आवश्यकता है (नीचे दिए गए ओली के उत्तर ने शोर की विशेषताओं पर एक अच्छा स्पष्टीकरण दिया है जो त्रिकोणीय और एकसमान शोर घनत्व के मेरे अद्यतन की ओर जाता है, लेकिन चरण के तहत विशेषताओं सुसंगत नमूनाकरण की स्थिति अभी भी मायावी है), मैं निम्नलिखित विचारों की पेशकश करता हूं जो वास्तविक उत्तर या आगे की प्रगति को उत्तेजित कर सकते हैं (ध्यान दें कि ये विचार कई संभावित रूप से गुमराह हैं लेकिन उत्तर पाने के लिए जो मेरे पास अभी तक नहीं है) के हित में:

ध्यान दें कि सुसंगत नमूनाकरण स्थितियों में, नमूना दर इनपुट आवृत्ति का एक पूर्णांक एकाधिक है (और चरण बंद भी)। इसका मतलब है कि हमेशा एक पूर्णांक संख्या के नमूने होंगे क्योंकि हम एक जटिल संकेत और नमूने के लिए जटिल विमान के माध्यम से एक बार घुमाते हैं, या एक वास्तविक संकेत और नमूना (एकल एडीसी) के लिए एक साइनसॉइड के एक चक्र के नमूनों की पूर्णांक संख्या।

और जैसा कि वर्णित है हम इस मामले पर विचार कर रहे हैं जब नमूना घड़ी स्वयं ही श्रेष्ठ है इसलिए योगदान नहीं माना जाता है। इसलिए नमूने हर बार ठीक उसी स्थान पर उतरेंगे।

वास्तविक संकेत के मामले को ध्यान में रखते हुए, यदि हम केवल चरण शोर का निर्धारण करने में शून्य क्रॉसिंग से संबंधित थे, तो सुसंगत नमूने का परिणाम केवल एक निश्चित लेकिन विलंब में लगातार बदलाव होगा (हालांकि बढ़ते और गिरने वाले किनारों में अलग-अलग अवरोध हो सकते हैं। जब सामंजस्य एक अजीब पूर्णांक है)। स्पष्ट रूप से जटिल नमूनाकरण मामले में हम हर नमूने पर चरण शोर से संबंधित हैं, और मुझे संदेह है कि यह वास्तविक मामले के लिए भी ऐसा ही होगा (मेरा संदेह "सत्य" से किसी भी पल में एक नमूना के देरी होने का समय होगा) चरण शोर घटक लेकिन फिर मैं भ्रमित हो जाता हूं कि क्या मैं दोहरी गणना कर रहा हूं जो आयाम अंतर भी है ...) अगर मेरे पास समय है तो मैं इसे अनुकरण करूंगा क्योंकि सभी विरूपण एक के ऊपर दोहराए गए पैटर्न को देखते हुए इनपुट सिग्नल के पूर्णांक हार्मोनिक्स में दिखाई देंगे। चक्र, और चरण बनाम आयाम का परीक्षण, मौलिक बनाम बनाम हार्मोनिक्स के सापेक्ष चरण होगा - अनुकरण या गणना के माध्यम से देखने के लिए क्या दिलचस्प होगा यदि ये हार्मोनिक्स (जो एक वास्तविक संकेत के लिए सभी जटिल संयुग्म समकक्ष होंगे) मौलिक या चरण के साथ चतुर्भुज में, और इस प्रकार सभी चरण शोर, सभी आयाम शोर या दोनों का एक संयोजन दिखाया गया है। (नमूनों की संख्या और विषम के बीच का अंतर संभवतः इसे प्रभावित कर सकता है)।

कॉम्प्लेक्स के मामले में, ओली का ग्राफिक जो कि नमूनों की एक संख्या के साथ किया गया था, आगे की अंतर्दृष्टि जोड़ सकता है यदि उसने "सत्य" पर नमूना स्थान दिखाया है जो दिखाए गए प्रत्येक परिमाणित नमूने से जुड़ा हुआ है। फिर से मुझे एक दिलचस्प अंतर की संभावना दिखाई देती है अगर विषम या समान संख्या में नमूने हैं (उनका ग्राफिक भी था और मैं परिणाम का समरूपता का निरीक्षण करता हूं लेकिन इससे आगे नहीं देख सकता कि यह चरण बनाम आयाम शोर क्या कर सकता है)। हालाँकि मुझे यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि वास्तविक और जटिल दोनों मामलों में शोर के घटक मूल आवृत्ति के पूर्णांक हार्मोनिक्स में ही मौजूद होंगे जब नमूना सुसंगत होता है। भले ही चरण शोर अभी भी मौजूद हो सकता है क्योंकि मुझे संदेह है कि यह करता है, यह पूर्णांक हार्मोनिक्स का स्थान है जो बाद के फ़िल्टरिंग द्वारा समाप्त होने के लिए अधिक अनुकूल है।

(नोट: यह उच्च वर्णक्रमीय शुद्धता के संदर्भ घड़ी संकेतों की पीढ़ी पर लागू है।)

Comments

काश आप वास्तविक प्रश्न के बारे में अधिक गणितीय रूप से स्पष्ट हो सकते।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन 18

मुझे लगता है कि कैसे करना है के बारे में सोचना; मैं जो वर्णन करने की कोशिश कर रहा हूं वह यह है कि परिमाणीकरण शोर को आयाम और चरण घटकों (एएम और पीएम) में विघटित किया जा सकता है। जब हम एक मनमाने ढंग से साइनसोइडल टोन को परिमाणित करते हैं, जो नमूना घड़ी के साथ असंबंधित या अक्षम है, तो नमूना परिणाम में मूल तरंग द्वारा स्थापित "सत्य" से आयाम त्रुटि और चरण त्रुटि दोनों होगी। मुझे संदेह है कि सुसंगत नमूनाकरण ( ) जहां नमूना दर है और सिग्नल दर है, के मामले में चरण त्रुटि काफी कम या समाप्त हो गई है । $f_s = N f_{sig}$$f_s$$f_sig$

— दान बॉशेन

मैं rbj करने के लिए सहमत हूँ। चरण-बनाम-आयाम वितरण से आपका क्या मतलब है? मैं एक गणित मानता हूं। समस्या के बारे में मॉडल से इसे सुलझाने में मदद मिलेगी। इसके अलावा, अधिक विशिष्ट हो सकता है, आप आयाम और चरण में परिमाणीकरण शोर को कैसे विघटित करेंगे?

— मैक्सिमिलियन मैथे

क्या यह मनमाने ढंग से संकेतों के बारे में है जैसा कि पाठ में वर्णित है या विशेष रूप से साइनसोइडल संकेतों के रूप में गणितीय विवरणों द्वारा निहित है? यदि किसी को केवल साइनसोइडल सिग्नल माना जाता है, तो मामला बहुत सरल हो जाता है, लेकिन यह वास्तविक विश्व संकेतों के व्यवहार को प्रतिबिंबित नहीं कर सकता है। साइनसॉइडल संकेतों के लिए कमैंसुरेट मामले में, परिमाणीकरण त्रुटि आवधिक है और एक आवधिक चरण त्रुटि में बदल जाती है। उस प्रकार का सहसंबंध एक हिस्टोग्राम में नहीं दिखाई देगा, लेकिन "चरण घटक की प्रकृति" का वर्णन करने के संदर्भ में यह महत्वपूर्ण है (इसका मतलब है कि चरण त्रुटि सही है?)।

— होप्स

मैंने यह स्पष्ट करने के लिए सवाल भी अपडेट किया कि यह क्लॉक सिग्नल जेनरेशन के लिए है, अगर आप अपने आखिरी पैराग्राफ को सिंक में रखना चाहते हैं (आपने सुझाव दिया था कि यह माप के लिए था)।

— डैन बॉशेन

Answer 1

मुझे इसमें संदेह है (संपादित करें: इसे बाद में प्रश्न से हटा दिया गया था):

इन एएम और पीएम शोर घटकों का वितरण यथोचित माना जा सकता है जब तक कि नमूना संकेत नमूना घड़ी के लिए असंबंधित है

संकेत पर विचार करें: और इसका परिमाणीकरण:

$$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$$ $$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$$

I और Q दोनों घटकों के के परिमाणीकरण चरण के लिए (आपके पास आपके चित्र में है)।$1/N$$N = 5$

चित्रा 1. संकेत (नीली रेखा) और उसके परिमाणीकरण (काले डॉट्स) का निशान, और उनके बीच एक मॉर्फिंग यह देखने के लिए कि सिग्नल के विभिन्न भागों को लिए किस तरह से निर्धारित किया जाता है । "Morphing" बस अतिरिक्त पैरामीट्रिक भूखंडों का एक सेट है पर$N=5$$a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$$a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

परिमाणीकरण त्रुटि के कारण चरण में त्रुटि है:

$$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$$

लिपटे चरणों को घटाना जोखिम भरा है लेकिन यह इस मामले में काम करता है।

चित्रा 2. लिए ।$\operatorname{phase\_error}(t)$$N = 5$

यह एक टुकड़ा-वार रैखिक कार्य है। सभी लाइन खंड शून्य स्तर को पार करते हैं लेकिन विभिन्न अन्य स्तरों पर समाप्त होते हैं। इसका मतलब है, एक समान रैंडम वैरिएबल के रूप में को देखते हुए , कि प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन में शून्य के निकट मानों को किया जाता है। इसलिए में एक समान वितरण नहीं हो सकता है।$t$$\operatorname{phase\_error}(t),$$\operatorname{phase\_error}(t)$

वास्तविक प्रश्न को ध्यान में रखते हुए, अंजीर में 1, एक उच्च पर्याप्त और जटिल साइनसॉइड की ऐसी आवृत्ति के साथ कि प्रत्येक नमूने अंतराल के दौरान संकेत कई मात्राकरण सीमाओं को पार करता है, नमूनों में परिमाणीकरण त्रुटियों को प्रभावी ढंग से छद्म आयामी का एक निश्चित अनुक्रम है। संख्याएँ जो संख्या सिद्धांत के उद्धरणों से आती हैं। त्रुटियां आवृत्ति और पर निर्भर करती हैं और प्रारंभिक चरण पर भी यदि आवृत्ति नमूनाकरण आवृत्ति के एक से अधिक का एक उप-निर्माता है, तो उस स्थिति में, परिमाणीकरण त्रुटि एक दोहराव अनुक्रम है जिसमें सभी संभव परिमाणीकरण त्रुटि मान शामिल नहीं हैं। बड़े की सीमा में$N$$N,$$N$I और Q त्रुटियों के वितरण समान हैं, और चरण और परिमाण की त्रुटियां छद्म रूप से वितरण से आने वाली संख्याएं हैं जो सिग्नल चरण पर निर्भर करती हैं। चरण पर निर्भरता इसलिए है क्योंकि आयताकार परिमाणीकरण ग्रिड में एक अभिविन्यास है।

बड़े की सीमा में चरण त्रुटि और परिमाण त्रुटि जटिल त्रुटि के लंबवत घटक हैं। परिमाण त्रुटि आनुपातिक अत्यल्प परिमाणीकरण कदम को व्यक्त किया जा सकता है, और चरण त्रुटि आनुपातिक को व्यक्त किया जा सकता परिमाणीकरण कदम की। संकेत चरण में परिमाण त्रुटि कोणीय दिशा और चरण त्रुटि कोणीय दिशा । जटिल परिमाणीकरण त्रुटि I और Q कुल्हाड़ियों के साथ उन्मुख एक परिमाणीकरण चरण वर्ग में समान रूप से वितरित की जाती है, निर्देशांक के कोनों के साथ परिमाणीकरण कदम के आनुपातिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं:$N,$$\arcsin$$\alpha$$\alpha$$\alpha + \pi/2$

$$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$$

आनुपातिक चरण त्रुटि और आनुपातिक परिमाण त्रुटि कुल्हाड़ियों के इन निर्देशांक या समकक्ष प्रक्षेपण के साथ नोड्स के साथ समान सपाट-टॉप टुकड़ा-वार रैखिक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन दोनों के लिए देता है:

$$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$$

चित्रा 3. सांकेतिक कोण देखते हुए आनुपातिक चरण त्रुटि और आनुपातिक परिमाण त्रुटि के साझा टुकड़ा-वार रैखिक फ्लैट-टॉप प्रोपेबिलिटी घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) के नोड्स । पर पीडीएफ आयताकार है। कुछ नोड्स भी विलीन हो जाते हैं, जो सबसे खराब स्थिति वाले बड़े त्रिकोणीय पीडीएफ के साथ एक त्रिकोणीय पीडीएफ देता है- विषमार्थी अनुमान 1) परिमाणीकरण चरणों की अधिकतम पूर्ण परिमाण त्रुटि और 2) परिमाणीकरण चरण की गुना की अधिकतम निरपेक्ष चरण त्रुटि ।$\alpha$$\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$$\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$$N$$\sqrt{2}/2$$\sqrt{2}/2$$\arcsin$

मध्यवर्ती चरणों में पीडीएफ इस तरह से उदाहरण के लिए दिखता है:

चित्रा 4. साझा पीडीएफ$\alpha = \pi/8.$

जैसा कि दान ने सुझाव दिया है, पीडीएफ भी आयताकार पीडीएफ एस और आई त्रुटियों की परिमाण है जो परिमाण और चरण त्रुटि अक्षों पर अनुमानित है। अनुमानित पीडीएफ में से एक की चौड़ाई है, और अन्य की चौड़ाई है। उनकी संयुक्त विचरण है वर्दी से अधिक ।$|\cos(\alpha)|$$|\sin(\alpha)|$$\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$$\alpha$

प्रारंभिक चरण के कुछ "स्यूडोलुकी" संयोजन हो सकते हैं और जटिल साइनसॉइड की आवृत्ति का एक तर्कसंगत संख्या अनुपात और नमूना आवृत्ति जो दोहराव अनुक्रम में सभी नमूनों के लिए केवल एक छोटी सी त्रुटि देते हैं। अंजीर में देखी गई त्रुटियों की समरूपता के कारण, 1, अधिकतम पूर्ण त्रुटि के अर्थ में, वे आवृत्तियां एक लाभ पर हैं जिनके लिए सर्कल पर जाने वाले बिंदुओं की संख्या 2 से अधिक है, क्योंकि भाग्य (कम त्रुटि) की आवश्यकता है केवल आधे अंक। बाकी के बिंदुओं पर त्रुटि साइन फ्लैप्स के साथ पहले वाले पर डुप्लिकेट हैं। कम से कम 6, 4, और 12 के गुणकों का इससे भी बड़ा फायदा है। मुझे यकीन नहीं है कि सटीक नियम यहां क्या है, क्योंकि यह सब कुछ के कई होने के बारे में नहीं लगता है। यह मॉड्यूल समरूपता के साथ संयुक्त ग्रिड समरूपता के बारे में कुछ। फिर भी, छद्म आयामी त्रुटियां निर्धारक हैं, इसलिए एक संपूर्ण खोज सर्वोत्तम व्यवस्थाओं को प्रकट करती है। मूल-माध्य-वर्ग (RMS) पूर्ण त्रुटि बोध में सर्वोत्तम व्यवस्था खोजना सबसे आसान है:

चित्रा 5. शीर्ष) एक वर्ग परिमाणीकरण ग्रिड का उपयोग करते हुए, विभिन्न थरथरानवाला बिट गहराई के लिए जटिल बुद्धि थरथरानवाला में सबसे कम संभव आरएमएस निरपेक्ष परिमाणीकरण त्रुटियों । स्यूडोलुकी व्यवस्था के लिए संपूर्ण खोज का स्रोत कोड उत्तर के अंत में है। नीचे) विस्तार, तुलना (हल्का नीला) के लिए दिखा आरएमएस पूर्ण परिमाणीकरण त्रुटि के asymptotic अनुमान है, के लिए जहां है थरथरानवाला बिट्स की संख्या।$N\to\infty$$\sqrt{1/6}/N,$$N=2^k-1,$$k+1$

सबसे प्रमुख त्रुटि आवृत्ति का आयाम आरएमएस निरपेक्ष त्रुटि से अधिक कभी नहीं है। 8-बिट ऑसिलेटर के लिए, एक विशेष रूप से अच्छा विकल्प ये बिंदु हैं जो यूनिट सर्कल पर लगभग स्थित हैं:$12$

$$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$$

असतत जटिल जो कि कोणीय क्रम में जटिल विमान पर इन बिंदुओं से गुजरता है, केवल 5 वीं हार्मोनिक विरूपण है, और यह कि मौलिक की तुलना में डीबी है, जैसा कि उत्तर के अंत में ऑक्टेव स्रोत कोड द्वारा पुष्टि की गई है।$-91.5$

कम आरएमएस निरपेक्ष परिमाणीकरण त्रुटि प्राप्त करने के लिए, आवृत्तियों को अंकों के माध्यम से नहीं जाना पड़ता है जैसा कि अनुमानित चरणों नमूना आवृत्ति के लिए बार आवृत्ति के लिए । उदाहरण के लिए आवृत्ति बार नमूना आवृत्ति समान बिंदुओं के माध्यम से जाएगी, लेकिन एक अलग क्रम में: । मुझे लगता है कि यह काम करता है क्योंकि यह 5 और 12 कोप्राइम हैं ।$[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$$1/12$$5/12$$[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$

संभावित सही व्यवस्था के बारे में, सभी बिंदुओं पर त्रुटि बिल्कुल शून्य हो सकती है यदि साइनसॉइड की आवृत्ति नमूने की आवृत्ति का एक चौथाई है (चरण प्रति नमूना की वृद्धि )। स्क्वायर ग्रिड पर, ऐसी कोई अन्य परिपूर्ण व्यवस्था नहीं है । एक हेक्सागोनल ग्रिड पर या मैं या क्यू में से एक के साथ एक गैर वर्ग आयताकार ग्रिड पर का एक पहलू से फैला कुल्हाड़ियों (जिससे यह मधुकोश ग्रिड पर हर दूसरी पंक्ति के बराबर है), का एक चरण वेतन वृद्धि प्रति नमूना पूरी तरह से काम करेगा। इस स्केलिंग को एनालॉग डोमेन में किया जा सकता है। यह ग्रिड के सममिति अक्षों की संख्या को बढ़ाता है, जिसके परिणामस्वरूप छद्म-मंडल व्यवस्था में ज्यादातर अनुकूल परिवर्तन होते हैं:$\pi/2$$\sqrt{3}$$\pi/3$

चित्रा 6. विभिन्न थरथरानवाला बिट गहराई के लिए जटिल बुद्धि थरथरानवाला में कम से कम संभव आरएमएस निरपेक्ष परिमाणीकरण त्रुटियों, एक आयताकार परिमाणीकरण ग्रिड$\sqrt{3}$ का उपयोग करके द्वारा स्केल की गई ।

विशेष रूप से, सर्कल पर 30 बिंदुओं के साथ 8-बिट थरथरानवाला के लिए, सबसे छोटा संभव आरएमएस निरपेक्ष त्रुटि -51.3 डीबी वर्ग ग्रिड पर और -62.5 डीबी गैर-वर्ग आयताकार ग्रिड पर है, जहां सबसे कम-आरएमएस-निरपेक्ष-त्रुटि है छद्म विज्ञान अनुक्रम में त्रुटि है:

चित्र 7. लंबाई 30 के 8-बिट छद्म विज्ञान अनुक्रम द्वारा IQ विमान पर त्रुटि के मान क्षैतिज रूप से कारक द्वारा खींचे गए परिमाणीकरण ग्रिड में पाए गए समरूपता अक्षों का लाभ उठाते हैं । अंक सिर्फ़ तीन छद्म रूपी जटिल संख्याओं से आते हैं, सममिति अक्षों के चारों ओर फ़्लिप करते हैं।$\sqrt{3}$

मुझे आईक्यू घड़ी संकेतों के साथ कोई व्यावहारिक अनुभव नहीं है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि क्या चीजें मायने रखती हैं। घड़ी संकेत पीढ़ी के साथ, डिजिटल-से-एनालॉग कनवर्टर (DAC) का उपयोग करते हुए, मुझे संदेह है कि जब तक कि अच्छे छद्म व्यवस्था का उपयोग नहीं किया जाता है, तब तक कम सफेद शोर वाले फर्श का होना बेहतर होता है, क्योंकि इसमें उच्च के साथ एक हार्मोनिक शोर स्पेक्ट्रम होता है स्पाइक जो कि परिमाणीकरण त्रुटि के दोहराव अनुक्रम से आते हैं (देखें सुसंगत नमूनाकरण और परिमाणीकरण वितरण का वितरण )। ये वर्णक्रमीय स्पाइक्स, साथ ही सफेद शोर, परजीवी समाई के माध्यम से रिसाव कर सकते हैं और सिस्टम के अन्य भागों में अवांछित प्रभाव डाल सकते हैं या डिवाइस के विद्युत चुम्बकीय संगतता (EMC) को प्रभावित कर सकते हैं। एक सादृश्य के रूप में, स्प्रेड स्पेक्ट्रम तकनीक ईएमसी को वर्णक्रमीय स्पाइक्स को निचले-शिखर शोर मंजिल में बदलकर बेहतर बनाती है।

C ++ में संपूर्ण स्यूडोलुकी व्यवस्था खोज के लिए स्रोत कोड निम्नानुसार है। कम से कम 16-बिट ऑसिलेटर्स के लिए लिए सर्वोत्तम व्यवस्था खोजने के लिए आप इसे रात भर चला सकते हैं ।$1 \le M \le 100$

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

पहला उदाहरण अनुक्रम का वर्णन करते हुए नमूना आउटपुट IScale = 1:

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

नमूना उदाहरण के साथ मिला दूसरा उदाहरण अनुक्रम का वर्णन IScale = sqrt(3):

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

पहला उदाहरण अनुक्रम के परीक्षण के लिए ऑक्टेव कोड:

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

दूसरे उदाहरण अनुक्रम के परीक्षण के लिए ऑक्टेव कोड:

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))

Comments

बहुत अच्छा। परिमाण में प्रत्येक अक्ष I और Q को समान रूप से अनुमानित किया गया है; मुझे आश्चर्य है कि अगर हम दो समान वितरणों का एक दृढ़ संकल्प देख रहे हैं- क्या आपने अपने परिणाम का हिस्टोग्राम लेने की कोशिश की है? मैं इस असत्यापित तर्क के साथ भी मान लेता हूं कि मैं उस जटिल संकेत के लिए आयाम वितरण भी त्रिकोणीय हो सकता है? क्या आपके पास इससे कोई अंतर्दृष्टि है कि नमूना घड़ी के अनुरूप होने पर क्या हो सकता है?

— दान बोशेन

हालाँकि, यह सुझाव है कि यह एकसमान नहीं है, मैं इसे अपडेट करूँगा!

— डैन बॉशेन

मेरा अपडेट देखें- मैंने त्रिकोणीय वितरण के साथ अपने संदेह की नकल की और पुष्टि की। ऐसा लगता है कि वितरण कोण के आधार पर वर्दी और त्रिकोणीय के बीच अलग-अलग होगा (स्पष्टीकरण के लिए मेरा अपडेट देखें); इसलिए यदि हमारा कोण समान रूप से वितरित है, तो हमें समग्र रूप से एक गोल वितरण के साथ समाप्त होना चाहिए।

— Dan Boschen

@OlloNiemitalo बहुत अच्छा। क्या आपके पास आगे की अंतर्दृष्टि है कि क्या होगा (विशेष रूप से चरण त्रुटि घटकों के लिए) यदि हम इकाई चक्र पर स्थानों को सीमित करते हैं नमूनाकरण करने के लिए; एक एकल जटिल टोन के रोटेशन दर का एक निश्चित एकाधिक मतलब है? निश्चित रूप से नमूना दर में वृद्धि के रूप में यह दृष्टिकोण होगा कि आपने क्या दिखाया है। लेकिन हम गणितीय रूप से चरण दर घटकों का वर्णन कैसे कर सकते हैं जब हम विकल्प को सीमित करते हैं?

— डेन बॉशेन

इस पर चबाने के लिए धन्यवाद, और जवाब कहाँ हो सकता है पर आगे की दिशा दे रहा है। ध्यान दें कि यदि अनुपात एक समान पूर्णांक है, तो पैटर्न प्रति चक्र दो बार दोहराएगा, और फिर 2 के उच्च शक्ति से विभाज्य वाले गुणकों के लिए तेजी से गुणा करता है। मोडुलो संख्या सिद्धांत से निर्धारित पैटर्न वह है जहां उत्तर वास्तव में हो सकता है

— डैन बॉशेन