क्यूबिक स्लाइन इंटरपोलेशन एक इंटरपोलिंग पॉलीनोमियल से बेहतर कब है?

Question

निम्नलिखित कथानक एक पाठ्य पुस्तक में एक उदाहरण की थोड़ी भिन्नता है। लेखक ने इस उदाहरण का उपयोग यह स्पष्ट करने के लिए किया कि समान रूप से अंतर किए गए नमूनों पर एक बहुपत्नी बहुपद के अंतराल के अंत के पास बड़े दोलनों होते हैं। बेशक क्यूबिक स्पलाइन प्रक्षेप पूरे अंतराल पर एक अच्छा सन्निकटन देता है। वर्षों से, मैंने सोचा था कि समान रूप से स्थानिक नमूनों पर उच्च क्रम के बहुपद प्रक्षेप को यहां बताए गए कारण से बचना चाहिए।

हालाँकि, मैंने हाल ही में बैंडलिग्ड सिग्नल के कई उदाहरण पाए हैं जहाँ बहुपद को प्रक्षेपित करने वाला एक उच्च आदेश क्यूबिक-स्पलाइन इंटरपोलेशन की तुलना में कम सन्निकटन त्रुटि देता है। आमतौर पर एक इंटरपोलिंग बहुपद पूरे इंटरपोलिंग अंतराल पर अधिक सटीक होता है जब नमूना दर पर्याप्त रूप से अधिक होती है। यह तब प्रतीत होता है जब नमूने समान रूप से संकेत दर के कम से कम 3 गुना अधिक नमूना दर के साथ होते हैं, जो सिग्नल के Nyquist आवृत्ति से अधिक होता है। इसके अलावा, क्यूबिक स्लाइन इंटरपोलेशन पर लाभ (नमूना दर) / (Nyquist आवृत्ति) के रूप में बढ़ता है।

एक उदाहरण के रूप में, मैं क्यूब-स्प्लीन प्रक्षेप की तुलना एक प्रक्षेपवक्र बहुपद के साथ एक साइन लहर के लिए 2 हर्ट्ज की Nyquist आवृत्ति और 6.5 हर्ट्ज के एक नमूना दर के साथ करता हूं। नमूना बिंदुओं के बीच, बहुपद का बहुवचन वास्तविक संकेत के समान दिखता है।

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नीचे मैं दो सन्निकटन में त्रुटि की तुलना करता हूं। पहले उदाहरण के साथ, बहुपद प्रक्षेप, नमूना अंतराल की शुरुआत और अंत के पास सबसे खराब करता है। हालाँकि, प्रक्षेप बहुपद में पूरे नमूने के अंतराल पर एक क्यूब स्पाइन की तुलना में कम त्रुटि है। एक छोटे से अंतराल पर एक्सट्रपलेशन करते समय इंटरपोलिंग पॉलीनोमियल में भी कम त्रुटि होती है। क्या मुझे एक जाना-माना तथ्य पता चला? यदि हां, तो मैं इसके बारे में कहां पढ़ सकता हूं?

Comments

क्या आप किसी सूत्र या डेटा का अनुमान लगा रहे हैं? एक फार्मूले को देखते हुए, जैसे आपके पास है, आप हमेशा अधिक उन्नत स्प्लिन का उपयोग कर सकते हैं जहां उच्च ऑर्डर डेरिवेटिव को भी ध्यान में रखा जाता है। आपको इस तथ्य की भी जांच करनी चाहिए कि क्यूबिक स्पलाइन एक निश्चित "ऊर्जा" फ़ंक्शन को कम करता है। विकिपीडिया en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation को देखें । तो एक निश्चित अर्थ में, वक्रता कम से कम, आप कोई बेहतर नहीं कर सकते। एक वैकल्पिक व्याख्या यह है कि क्यूबिक स्प्लिन फिटिंग के लिए उपयोग किए गए / थे; सन्निकटन नहीं। "फिटिंग" का तात्पर्य है एक निश्चित मीट्रिक का अनुकूलन होना।

— rrogers

@ क्रॉज़र्स, मैं सोच रहा था कि एक प्रक्षेपित बहुपद एक बेहतर दृष्टिकोण होगा जब कोई मापा नमूनों से फ़ंक्शन का अनुमान लगाना चाहता है और सिग्नल की बैंडविड्थ नमूना दर के 1/6 से कम होने के लिए जाना जाता है। इट

— टेड एरसेक

@TedErsek: एक गुणात्मक विचार: उनके स्वभाव से, बहुपद कार्यों का लाभ होता है $\pm \infty$ फरसीसा चर के रूप में $\to \infty$। बहुपद क्रम बढ़ने पर यह प्रभाव समाप्त हो जाता है। ध्यान दें कि आपके पहले उदाहरण में, अनुमान लगाया जाने वाला संकेत प्रक्षेप अंतराल के अंत के करीब शून्य तक सड़ रहा है; यह इंटरपोलेंट के स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ असंगत है। दूसरे भूखंड में अंतराल के किनारों के पास एक खड़ी ढलान और गैर-अक्षीय मान हैं, इसलिए आपको एक बेहतर सन्निकटन मिलता है। यहाँ बहुत सिद्धांत नहीं, सिर्फ एक अवलोकन।

— जेसन आर

टेड एरसेक की टिप्पणी को संबोधित करते हुए @TedErsek एक व्यावहारिक पक्ष के रूप में; क्या आपने तर्कसंगत बहुपद सन्निकटन की कोशिश की है। BTW: मेरे पास एक साल पहले से एक वक्र सूत्र का आकलन करने की मुफ्त कॉपी है जो वास्तव में बहुत अच्छा करता है। कार्यक्रम बीटा से भुगतान के लिए चला गया इसलिए मेरे पास वर्तमान संस्करण नहीं है।

— 16.117

@JasonR का मतलब है कि मैं अपनी आखिरी टिप्पणी आपको बताऊं। वापस विषय पर, किसी भी मामले में, en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials जो कार्य को जानते हैं तो बहुपद में एकरूप त्रुटि (न्यूनतम / अधिकतम) प्रदान करते हैं। लेकिन अगर आप फ़ंक्शन को जानते हैं, तो आप हमेशा "मिलान किए गए फ़िल्टर" को संश्लेषित कर सकते हैं।

— rrogers

Answer 1

चर्चा की जा रही घटना रूज की घटना है ।

का अधिकतम निरपेक्ष मूल्य $n$के व्युत्पन्न $\sin(\omega t)$ है $\omega^n$। के लिए Runge के समारोह $\frac{1}{25t^2+1}$ के अधिकतम निरपेक्ष मूल्य $n$ध (सम) व्युत्पन्न है $5^nn!,$ कहाँ पे $n!$भाज्य को दर्शाता है। यह बहुत तेज विकास है। अगर डेरिवेटिव तेजी से बढ़ता है तो ही$n$, तो यह संभव है कि प्रक्षेप त्रुटि बढ़ जाती है क्योंकि प्रक्षेप क्रम बढ़ा दिया जाता है। में घातांक है$n$अभी तक बहुत तेज नहीं है। पर एक नज़र है: जेम्स एफ। एपर्सन, ऑन द रनगे उदाहरण , अमेरिकी गणितीय मासिक , वॉल्यूम। 94, 1987, पीपी। 329-341।

यदि किसी फ़ंक्शन में केवल निरंतर डेरिवेटिव होता है, तो प्रतिस्पर्धा दृष्टिकोण, टुकड़ा-वार बहुपद स्प्लिन इंटरपोलेशन हमेशा धर्मान्तरित होता है यदि इसके शुरुआती डेरिवेटिव की एक छोटी निश्चित संख्या ब्याज के अंतराल पर बंधी होती है , तो उदाहरण के रूप में रैखिक प्रक्षेप पर विकिपीडिया लेख देखें ।

यदि दोनों विधियाँ अभिसरण करती हैं, तो (नॉन-पीसवाइज़) बहुपद प्रक्षेप का उच्चतर बहुपद डिग्री का लाभ होता है यदि कई नमूनों का उपयोग किया जाता है, और एक बेहतर सन्निकटन प्रदान कर सकता है, जैसा कि आपने अपने उदाहरण में देखा था। आप एलएन ट्रेफेथेन में भी दिलचस्पी ले सकते हैं, समान रूप से स्थान बिंदुओं में बहुपद प्रक्षेप पर दो परिणाम , जर्नल ऑफ़ अप्रूवल थ्योरी वॉल्यूम 65, अंक 3, जून 1991, पृष्ठ 247-260। उद्धरण:

[...] जटिल घातीय कार्यों के बैंड-सीमित प्रक्षेप में $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ त्रुटि कम हो जाती है $0$ जैसा $n \to \infty$ यदि और केवल यदि $\alpha$ कम से कम छह अंक प्रति तरंगदैर्ध्य प्रदान करने के लिए पर्याप्त है।

आपके पास तरंग दैर्ध्य के 6.5 नमूने हैं।