एर्गोडिक प्रक्रिया का एक अच्छा उदाहरण क्या है?

Question

मैं एक ergodic प्रक्रिया के सरल उदाहरण खोजने की कोशिश कर रहा हूं। आपके दिमाग में इसके गुणों के अच्छे चित्रण के रूप में क्या प्रक्रिया आती है?

एक त्वरित शोध ( विकिपीडिया , एक अन्य उत्तर ) मुख्य रूप से गैर-एर्गोडिक प्रक्रियाओं का उदाहरण देता है। इसके अलावा, मैं सोच रहा हूं कि कौन सी वास्तविक दुनिया की घटनाएं एक ergodic प्रक्रिया के रूप में मॉडलिंग करने के लिए उधार देती हैं?

Answer 1

मान लीजिए कि मैं आपको संख्याओं की एक श्रृंखला देता हूं, और मैं आपको बताता हूं कि उन्हें यादृच्छिक रूप से चुना गया था। और आप जानते हैं कि मैं आपको धोखा देने की कोशिश नहीं कर रहा हूं। संख्याएँ हैं: , , , , , , , , , ।$3$$1$$4$$1$$5$$3$$2$$3$$4$$3$

अब मैं आपको अगले एक की भविष्यवाणी करने का प्रस्ताव देता हूं, या कम से कम, जितना संभव हो उतना करीब होने का अनुमान लगाता हूं। आप कौन सा नंबर लेंगे?

[सोच]

[कंप्यूट]

• मुझे यकीन है कि अधिकांश पाठकों को और बीच एक संख्या चुनने की संभावना है । सीमित अवधि के कारण।$0$$6$
• शायद एक पूर्णांक। कौन प्रस्तावित करने की संभावना है $\pi$ (यहां तक ​​कि पहले अंक की सोच)?
• संभवतः $2$ , $3$ या $4$ । शायद $3$ भी ।

मूल रूप से, आप मान रहे हैं कि मैंने कुछ अज्ञात नियम के साथ संख्याएँ प्रदान की हैं। और शायद, आप सोच सकते हैं (या परिकल्पना बनाते हैं) कि दी गई संख्याओं की श्रृंखला, यदि लंबे समय से पर्याप्त है, तो आपको उन नियमों की अच्छी समझ प्रदान कर सकती है जो मेरे पास हैं। यदि आप ऐसा करते हैं, तो आप अनुमान लगाते हैं कि मेरी मानसिक प्रक्रिया क्षीण है:

एक प्रक्रिया जिसमें प्रत्येक अनुक्रम या बड़े आकार का नमूना पूरे प्रतिनिधि के समान है (जैसा कि सांख्यिकीय पैरामीटर के संबंध में) ( मरियम-वेबस्टर )

यहां, यह सुनिश्चित करने का कोई तरीका नहीं है कि मेरी श्रृंखला एक ergodic प्रक्रिया का अनुसरण करती है। 3432 मेरे कार्ड पिन है, 3 एक गलती (मैं 6 का इरादा है, लेकिन मैं अनाड़ी हूं), 4, 3, 1 और 5 के पहले अंक हैं $\pi$ है कि मैं अक्सर उपयोग करें। मेरा अगला "नंबर" सी (हेक्साडेसिमल में) होता। मैं नहीं मानता कि यह प्रक्रिया क्षीण है। प्रत्येक संख्या विभिन्न कानूनों से निकलती है। लेकिन ईमानदारी से कहूं तो मुझे नहीं पता। शायद मैं कुछ उच्च आदेश बलों के अधीन हूं जो मुझे ergodicity नियमों के तहत चलाते हैं।

तो, एर्गोडिसिटी एक प्रक्रिया के नियमों में "सादगी" की एक परिकल्पना है। स्टेशनरिटी या स्पार्सिटी की तरह। $6$ चेहरों के साथ एक नियमित रूप से मरो । एक सामान्य सिक्का टॉस। यदि बाहर कुछ भी परिणाम को प्रभावित करने की कोशिश नहीं करता है (एक अदृश्य जा रहा है जो मरने को पकड़ता है और अपनी पसंद का कुछ चेहरा दिखाता है), तो आप एक ergodic प्रक्रिया का उत्पादन करने की संभावना है।

आपके अनंत अंगूठे के साथ, अनंत संख्या में सिक्कों को टॉस करने में सक्षम होने के बजाय, ठीक उसी समय, आप प्रत्येक सेकंड में एक सिक्के को टॉस करते हैं, और मानते हैं कि अंतिम परिणाम उसी के बारे में है।

ब्राउनियन गति के पास एर्गोडिक गुण भी हैं।

Comments

मैं वास्तव में आपके उदाहरण में अगले नंबर की भविष्यवाणी नहीं कर सकता। यह या 6 हो सकता है जितना कि यह 7 , 898.52 या कोई अन्य संख्या हो सकती है। मुझे इस प्रक्रिया के बारे में कोई जानकारी नहीं है और भले ही समय में समान रूप से स्थान दिया गया हो ... मैं इस प्रक्रिया का अवलोकन करके यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकता कि यह क्षीण है या नहीं। कौन जानता है कि उन 3 एस एक ही यादृच्छिक चर के नमूने हैं? हो सकता है कि आप हर बार एक डाई को रोल करें और 6 अलग-अलग श्रृंखलाओं के बीच एक नंबर का चयन करें ...$0$$6$$7$$898.52$$3$$6$

— एमएसएम

Answer 2

विकिपीडिया लेख से:

एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को एर्गोडिक कहा जाता है यदि इसके सांख्यिकीय गुणों को प्रक्रिया के एकल, पर्याप्त रूप से लंबे, यादृच्छिक नमूने से घटाया जा सकता है।

दूसरे शब्दों में: समय-पहनावा सांख्यिकीय गुणधर्म-बोध सांख्यिकीय गुणों के समान है।

शायद हमें एक कदम वापस लेने की जरूरत है और एक स्टोचस्टिक प्रक्रिया क्या है, इस बारे में बात करें।

कल्पना कीजिए कि यह एक तूफानी दिन है। तुम घर बैठो, और खिड़की बाहर देखो। कभी-कभी, आप अपनी खिड़की से पत्तियों को उड़ाते हुए देखते हैं। आप अपने व्हाइटबोर्ड मार्कर प्राप्त करते हैं और अपनी विंडो पर एक समन्वय प्रणाली बनाते हैं, इसलिए अब आप कई पत्ती-पथ देख सकते हैं और उनकी तुलना कर सकते हैं:

इसलिए, प्रत्येक पथ एक तूफानी दिन में "पत्तों की पत्थरों" का एक अहसास है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया।

$y$$x$

$x$$y$$x$

Comments

अच्छा चित्रण! क्या होगा अगर सिर्फ एक अहसास की जांच एक अलग परिणाम देती है? तो फिर यह एर्गोडिक नहीं है? और क्या इस मामले में परिभाषा समय-कलाकारों की टुकड़ी के आकार पर निर्भर नहीं करती है? शायद यह पर्याप्त रूप से लंबा है जो मुझे भ्रमित कर रहा है।

— bluenote10

Answer 3

गैर-एर्गोडिक मामले को समझना आमतौर पर अधिक कठिन होता है (यही कारण है कि लोग ऐसी प्रक्रियाओं के उदाहरणों को अधिक बार देखते हैं)।

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

आपके प्रश्न के दूसरे भाग के बारे में, हम समस्याओं को सरल बनाने के लिए एर्गोडिसिटी का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहनावा माध्य और समय औसत के बीच गणना या (या अनुकरण) के लिए मुश्किल या असंभव भी हो सकता है। लेकिन जब से हम जानते हैं (या मान लेते हैं) प्रक्रिया एर्गोडिक है (यानी वे समान हैं), हम बस उस सरल की गणना करते हैं। एक उदाहरण के रूप में, मैं मोंटे कार्लो के तरीकों के बारे में सोच सकता हूं (जैसे कि हम एक संचार प्रणाली के त्रुटि प्रदर्शन को मॉडल करने के लिए उपयोग करते हैं) जहां हम ट्रांसमिशन-रिसेप्शन श्रृंखला का अनुकरण करते हैं और इसे कई बार दोहराते हैं और परिणामों के बारे में पता लगाने के लिए औसत करते हैं। पहनावा गुण (जैसे त्रुटि की संभावना, आदि)।