एक downsampler का Z- परिवर्तन

में इस पत्र या multirate छानने, लेखक निम्न गणितीय संबंध स्थापित करता है। आज्ञा देना एक downsampler का उत्पादन ऐसा है कि $y_D$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

जहां डाउनसम्पलिंग कारक है। दूसरे शब्दों में, हम मूल संकेत के प्रत्येक -th नमूने को रखते हैं। लेखक इसके बाद निम्नलिखित का वर्णन करता है: $M$ $M$

... का z- परिवर्तन द्वारा दिया गया है $y_D[n]$

$Y_{D} [z] = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X [z^{1 / M} W^{k}]$ $Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$
जहां है सूत्रीय असतत फूरियर गिरी, अर्थात् रूपांतरण । $W^k$ $M$ $e^{(-j2\pi k)/M}$

हम पूर्व अभिव्यक्ति से उत्तरार्द्ध में कैसे जा सकते हैं? डीएफटी और जेड-ट्रांसफॉर्म के बीच क्या संबंध है जो इस तरह के संक्रमण के लिए अनुमति देता है?

dft downsampling z-transform

— phonon
स्रोत

जवाबों:

यह व्युत्पत्ति एक मुश्किल है। पहले दिए गए दृष्टिकोण में दोष है। मुझे पहले यह दिखाने दो; तब मैं सही समाधान दूंगा।

हम संबंधित करना चाहते हैं downsampled संकेत के -transform, , को मूल संकेत के -transform । $\mathcal{Z}$ $Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$ $\mathcal{Z}$ $X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

गलत रास्ता

कोई भी -transform की अभिव्यक्ति में डाउनसम्पल्ड सिग्नल के लिए अभिव्यक्ति को प्लग करने के बारे में सोच सकता है : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

चर का एक परिवर्तन स्पष्ट लगता: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

हालांकि, यह एहसास है कि भले ही नए योग सूचकांक महत्वपूर्ण है अभी भी से चलाता है को , योग संख्या पूर्णांक एम से बाहर अब खत्म हो गया है 1 । दूसरे शब्दों में, $n'$ $-\infty$ $\infty$

, $n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$

जबकि -transform की परिभाषा की आवश्यकता है $\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ ।

चूँकि यह अब -transform नहीं है, हम लिख नहीं सकते : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

सही तरीका

आइए हम पहले एक 'सहायक' आवेग ट्रेन सिग्नल को परिभाषित करते हैं : $t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

यह फ़ंक्शन प्रत्येक नमूनों में से एक पर , और हर जगह शून्य है। $1$ $M$

समान रूप से, पल्स ट्रेन फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

सबूत: हम अलग मामलों पर विचार करने की जरूरत है और : $n \in M\mathbb{Z}$ $n \notin M\mathbb{Z}$

मामले में, हम अभिव्यक्ति के लिए इस्तेमालएक ज्यामितीय श्रृंखला के परिमित राशि

\begin{aligned} t_{M} [n] & = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} e^{j 2 π k n / M} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} 1 & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - e^{j 2 π k n}}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} M & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - 1}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} 1 & : n \in M Z \\ 0 & : n \notin M Z \end{array} \end{aligned}

$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

n \notin M Z

$n \notin M\mathbb{Z}$ ।

अब आइए एक downsampler के -transform को खोजने की अपनी मूल समस्या पर वापस आते हैं: $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

हम लागू प्रतिस्थापन ध्यान में रखते हुए इस योग एम के गुणकों पूर्णांक केवल पर चलाया करता है कि: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

अब हम सुरक्षित रूप से सब कुछ खत्म एक योग के रूप में इस के पुनर्लेखन के लिए आवेग ट्रेन समारोह ऊपर का उपयोग कर सकते : $n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

घातीय ट्रेन फ़ंक्शन के लिए उपरोक्त सूत्रीकरण का उपयोग घातांक के परिमित योग के रूप में, हम प्राप्त करते हैं:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

सही पर योग है सभी पूर्णांकों पर एक योग, और इसलिए एक वैध है के मामले में -transform । इसलिए, हम लिख सकते हैं: $\mathcal{Z}$ $z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

यह एक downsampler के -transform के लिए सूत्र है । $\mathcal{Z}$

— user9037
स्रोत

बहुत अच्छा। ऊपर मेरे पहले उत्तर को पढ़ते समय मैंने भी वही दोष देखा जो आपने किया था।

— जेसन आर

मैंने यह नोटेशन पहले नहीं देखा है। हालाँकि, यह समझ में आता है। -downsampler समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है: $M$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

इसका रूपांतर समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है: $z$

\begin{aligned} Y_{D} (z) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} y_{D} [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [M n] z^{- n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$

चर का एक परिवर्तन लागू करें, दे । परिवर्तन की सीमा अप्रभावी परिवर्तन से अप्रभावित है क्योंकि वे अनंत तक विस्तारित होते हैं। $n' = Mn$

Y_{D} (z) = \sum_{n^{'} = - \infty}^{\infty} x [n^{'}] z^{- n^{'} / M}

$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$

यह अपने आप में के रूपांतर के समान दिखता है। याद रखें कि इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $z$ $x[n]$

एक्स (z) = Σ_{n = - \infty}^{\infty} एक्स [n] z^{- n}

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$

निरीक्षण करके, हम इसलिए बीच निम्न संबंध निष्कर्ष निकाल सकते हैं के रूपांतरण और : $z$ $x[n]$ $y_D[n]$

Y_{डी} (z) = एक्स (z^{1 / म})

$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$

इसलिए, downsampler उत्पादन का बदलना बारीकी से संबंधित है इनपुट संकेत है, जो उम्मीद की जा करने के लिए है की बदलना। फ़्रीक्वेंसी डोमेन में, यह सिग्नल की फ़्रीक्वेंसी सामग्री के फोल्ड स्ट्रेचिंग में परिणत होता है। $z$ $z$ $M$

लेकिन आप उपरोक्त समीकरण से कैसे जा सकते हैं जिसे आपने पेपर में संदर्भित किया है? यह केवल संदर्भ में की परिभाषा देता है , जबकि हमने जो एक्सप्रेशन प्राप्त किया है वह का फ़ंक्शन है । तो किसी विशेष मान के लिए, जिस पर आप का मूल्यांकन करना चाहते हैं , आप पहले गणना करेंगे (यानी का -th रूट लें ) और फिर में प्रतिस्थापित करेंगे । हालाँकि, $Y_D(z)$ $z$ $z^{1/M}$ $z$ $Y_D(z)$ $z^{1/M}$ $M$ $z$ $X(z)$ सभी नॉनज़ीरो है अलग वें जड़ों $z \in \mathbb{C}$ $M$ $M$ :

{{आर}_{पी}, {आर}_{पी} इ^{\frac{जे 2 π}{म}}, {आर}_{पी} इ^{\frac{जे 2 π 2}{म}}, ..., {आर}_{पी} इ^{\frac{जे 2 π (म - 1)}{म}}}

$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$

= {{आर}_{पी}, {आर}_{पी} डब्ल्यू, {आर}_{पी} {डब्ल्यू}^{2}, ..., {आर}_{पी} {डब्ल्यू}^{म - 1}}

$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$

जहां एफ टी गिरी मूल्य है अपने प्रश्न में संदर्भित, और मैं प्रिंसिपल होने के लिए क्या परिभाषित है जटिल मूल्य का वें जड़ : $W_k$ $e^{j2\pi k / M}$ $r_p$ $M$ $z$

{आर}_{पी} = \sqrt[म]{| z |} इ^{\frac{जे ∠ z}{म}}

$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$

यही है, 's प्रिंसिपल -th रूट को को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करने के द्वारा प्राप्त किया जाता है , s परिमाण (जो कि एक वास्तविक संख्या है) का -th रूट लेता है , और द्वारा का कोण विभाजित करता है । परिणामस्वरूप मान ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं । $z$ $M$ $r_p$ $z$ $M$ $z$ $z$ $M$ $r_p$

इस परेशानी से सभी क्यों गुजरें? क्योंकि, जैसा कि मैंने पहले उल्लेख किया है, के डोमेन से के डोमेन की मैपिंग वन-टू-वन नहीं है। मैं अब कुछ हाथ लगाना शुरू करूँगा। के किसी विशेष मूल्य के लिए जिसे आप लिए मूल्यांकन करना चाहते हैं, में संबंधित बिंदु हैं जिन्हें आप मैप कर सकते हैं। इसलिए, उन प्रत्येक में इंगित करता है $Y_D(z)$ $X(z^{1/M})$ $z$ $Y_D(z)$ $M$ $X(z^{1/M})$ $M$ के संगत मूल्य में योगदान करते हैं। फिर आप एक राशि के साथ समाप्त होते हैं जैसे कि कागज में दिखाया गया है: $X(z^{1/M})$ $Y_D(z)$

Y_{D} (z) = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X (r_{p} (z) W^{k})

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$

जहाँ मुख्य -th रूट गणना को संदर्भित करता है जो मैंने पहले दिखाया था। वास्तव में, आप मूल के रूप में की -th जड़ों में से कोई भी चुन सकते हैं ; मैंने इस परिभाषा को उठाया क्योंकि यह सबसे सीधा है। यदि आप इस रिश्ते को ठीक से और कठोरता से प्राप्त करते हैं, तो मेरा मानना है कि का कारक $r_p(z)$ $M$ $z$ $M$ ,व्युत्पन्न के कारण आता है। $\frac{1}{M}$ $z^{1/M}$

गणितज्ञ-बोल में, मेरा मानना है कि इसे कार्यों की संरचना के रूप में संदर्भित किया जाएगा; है, जहां और । आदेश समारोह रचना उतारना और लिखने के लिए में के एक समारोह के रूप में केवल, आप के डोमेन काटना होगा $Y_D(z) = f(g(z))$ $f(z) = X(z)$ $g(z) = z^{1/M}$ $Y_D(z)$ $z$ विखंडन में एक-से-एक, उन अंतरालों पर कार्य को उल्टा करते हैं, और फिर उचित स्केलिंग कारकों के साथ परिणाम का योग करते हैं। मैं इस तकनीक का उपयोग किया है से पहले एक यादृच्छिक चर के एक समारोह मूल यादृच्छिक चर के पीडीएफ दिया की संभावना वितरण समारोह की गणना करने के (जैसे की पीडीएफ प्राप्त करने के लिए $Y_D(z)$ नेका pdf दिया), लेकिन तकनीक का नाम मुझे बच गया। $\sqrt{X}$ $X$

— जेसन आर
स्रोत

बहुत अच्छा जवाब।

— स्पेसी

धन्यवाद। कोई भी लाइसेंस प्राप्त गणितज्ञ मेरे विवरण पर प्रयास कर रहा होगा (मैं स्पष्ट रूप से एक इंजीनियर हूँ)। मुझे नहीं लगता कि यह बहुत स्पष्ट है, लेकिन शायद कोई और व्यक्ति सफाई स्पष्टीकरण का सुझाव दे सकता है, या शायद मैं इसे कहने का बेहतर तरीका सोचूंगा।

— जेसन आर

मैं पहले हाफ को समझता हूं, लेकिन चीजें मेरे लिए अंत की ओर फीकी पड़ जाती हैं।

— स्पेसी

मुझे मौका मिलने पर दूसरे हाफ को फिर से लिखना चाहिए। यह वास्तव में दो कार्यों की संरचना के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए सिर्फ एक मानक तकनीक है। मुझे यह कैसे करना है, इसके विवरण को याद करने की आवश्यकता है।

— जेसन आर