क्या एक लीकी इंटीग्रेटर कम पास फिल्टर के समान है?

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एक लीक इंटीग्रेटर को नियंत्रित करने वाला समीकरण (विकिपीडिया के अनुसार कम से कम) है

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ ।

क्या एक निरंतर-समय लीकी इंटीग्रेटर इस प्रकार समय-स्थिर साथ कम पास फिल्टर के समान है , इनपुट के कुछ स्केलिंग तक? $A$

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— क्रिस
स्रोत

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हां, लेकिन समय की परिभाषा को जांचना सुनिश्चित करें।

— दिलीप सरवटे

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एक तथाकथित टपका इंटीग्रेटर फीडबैक वाला पहला-ऑर्डर फ़िल्टर है। आइए इसके ट्रांसफ़र फ़ंक्शन को देखें, यह मानते हुए कि इनपुट है $x(t)$ और आउटपुट $y(t)$ :

\frac{d y (t)}{d t} + A y (t) = x (t)

$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$

L {\frac{d y (t)}{d t} + A y (t)} = L {x (t)}

$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$

कहाँ पे $\mathcal{L}$ लाप्लास परिवर्तन के आवेदन को दर्शाता है । आगे बढ़ते हुए:

s Y (s) + A Y (s) = X (s)

$sY(s) + AY(s) = X(s)$

H (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{1}{s + A}

$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$

(लाप्लास ट्रांसफॉर्म की संपत्ति का लाभ उठाते हुए $\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$ , ऐसा मानते हुए $y(0) = 0$ )।

यह प्रणाली, ट्रांसफर फ़ंक्शन के साथ $H(s)$ , में एक एकल पोल है $s = -A$ । याद रखें कि आवृत्ति पर इसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया $\omega$ देने से पाया जा सकता है $s=j\omega$ :

H (j ω) = \frac{1}{j ω + A}

$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$

इस प्रतिक्रिया को देखने के लिए, पहले जाने दें $\omega \to 0$ :

lim_{ω \to 0} H (ω) = \frac{1}{A}

$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$

तो सिस्टम का डीसी लाभ प्रतिक्रिया कारक के विपरीत आनुपातिक है $A$ । इसके बाद, चलो $w \to \infty$ :

lim_{ω \to \infty} H (ω) = 0

$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$

प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया इसलिए उच्च आवृत्तियों के लिए शून्य हो जाती है। यह लोअरपास फिल्टर के किसी न किसी प्रोटोटाइप का अनुसरण करता है। अपने समय के संबंध में अपने अन्य प्रश्न का उत्तर निरंतर देने के लिए, यह सिस्टम के समय-क्षेत्र की प्रतिक्रिया की जाँच करने के लायक है। अंतरण क्रिया को उलटा कर इसकी आवेग प्रतिक्रिया पाई जा सकती है:

H (s) = \frac{1}{s + A} \Leftrightarrow e^{- A t} u (t) = h (t)

$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$

कहाँ पे $u(t)$ है इकाई पग-फलन । यह एक बहुत ही आम परिवर्तन है जो अक्सर लाप्लास परिवर्तनों की तालिकाओं में पाया जा सकता है । यह आवेग प्रतिक्रिया एक घातीय क्षय क्रिया है, जिसे आमतौर पर निम्नलिखित प्रारूप में लिखा जाता है:

h (t) = e^{- \frac{t}{τ}} u (t)

$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$

कहाँ पे $\tau$ फ़ंक्शन के समय स्थिर होने के लिए परिभाषित किया गया है। तो, आपके उदाहरण में, सिस्टम का समय स्थिर है $\tau = \frac{1}{A}$ ।

— जेसन आर
स्रोत

जवाब के लिए धन्यवाद! तो यह हस्तांतरण कार्यों के रूप में लगता है

\frac{1}{1 + i ω τ}

$\frac{1}{1+i \omega \tau}$ तथा

\frac{1}{τ + i ω}

$\frac{1}{\tau + i \omega}$ अलग हैं ...

— क्रिस

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आवृत्ति प्रतिक्रिया समान है, हां, लेकिन आवेदन अलग है:

कम-पास फिल्टर के साथ, आपका संकेत पासबैंड में है। फ़िल्टर की कटऑफ आवृत्ति उच्चतम आवृत्ति से ऊपर सेट की गई है जिसे आप अपने सिग्नल में रखना चाहते हैं।
एक टपका हुआ इंटीग्रेटर के साथ, आपका संकेत स्टॉपबैंड में है। फ़िल्टर की कटऑफ आवृत्ति आपके सिग्नल में सबसे कम आवृत्ति से नीचे सेट की गई है।

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इसके अलावा, इंटीग्रेटर्स हमेशा फर्स्ट-ऑर्डर होते हैं, जबकि लो-पास फिल्टर कोई भी ऑर्डर हो सकता है।

— endolith
स्रोत

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डीसी-गेन को छोड़कर एक ही प्रतिक्रिया ...

— अर्नफिन