LTI सिस्टम कोई नई फ्रीक्वेंसी क्यों उत्पन्न नहीं कर सकता है?

Question

• क्यों का तात्पर्य है कि LTI सिस्टम कोई नई आवृत्तियों उत्पन्न नहीं कर सकता है?$Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
• क्यों एक प्रणाली नई आवृत्तियों उत्पन्न करता है, तो यह LTI नहीं है?

Answer 1

LTI सिस्टम की निश्चित विशेषताओं में से एक यह है कि वे कोई भी नई फ्रीक्वेंसी उत्पन्न नहीं कर सकते हैं जो उनके इनपुट में पहले से मौजूद नहीं है। कृपया ध्यान दें कि इस संदर्भ में एक आवृत्ति के प्रकार के संकेतों को संदर्भित करता है या जिनमें से कर रहे हैं अनंत अवधि, और भी रूप में भेजा जाता eigenfunctions LTI की सिस्टम (विशेष रूप से केवल जटिल घातीय के लिए) और जिनके सीटी फूरियर रूपांतरण या " रूप में आवृत्ति डोमेन में आवेग कार्यों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं$x(t)=e^{j\Omega_0 t}$$\cos(\Omega_0 t)$$X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$$X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ repectively।

यह देखने का एक तरीका है कि ऐसा क्यों है, आउटपुट के CTFT, को देखकर आता है , जो कि जाने-माने संबंध द्वारा दिया गया है: केवल तभी जब सिस्टम LTI है (और तथ्य के रूप में स्थिर भी है ताकि मौजूद हो)।$Y(\omega)$$y(t)$$Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$$H(e^{j \omega})$

(यानी केवल तभी धारण करता है जब आवेग प्रतिक्रिया मौजूद होती है और यह केवल तभी मौजूद होगी जब सिस्टम एलटीआई है।)

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$$ $h(t)$

थोड़ा विचार से, एक सरल चित्रमय भूखंड द्वारा निर्देशित, और ऊपर गुणन संपत्ति का उपयोग करके, कोई यह देख सकता है कि समर्थन की आवृत्ति क्षेत्र (आवृत्तियों का सेट जिसके लिए गैर-शून्य है), आउटपुट इनपुट के समर्थन और के क्षेत्रों के चौराहे द्वारा दिया गया है LTI सिस्टम की आवृत्ति प्रतिक्रिया : $R_y$$Y(\omega)$$Y(\omega)$$R_x$$R_h$$X(\omega)$$H(\omega)$

$$R_y = R_x \cap R_h$$

और सेट से बीजगणित हम जानते हैं कि अगर तो और । यही है, एक चौराहा हमेशा कम या बराबर होता है जो कि प्रतिच्छेदन किया जा रहा है। इसलिए, लिए समर्थन का क्षेत्र के समर्थन के बराबर या उससे कम होगा । इसलिए आउटपुट पर कोई नई आवृत्तियों नहीं देखी जाएगी।$A = B \cap C$$A \subset B$$A \subset C$$Y(\omega)$$X(\omega)$

चूंकि यह प्रॉपर्टी एलटीआई सिस्टम होने के लिए एक आवश्यक शर्त है, कोई भी सिस्टम जो इसे हासिल करने में विफल रहता है, इसलिए, एलटीआई नहीं हो सकता है।

Answer 2

आप प्रदान किए गए आधार को देखते हुए, आप एक साधारण बीजगणितीय तर्क कर सकते हैं। अगर:

$$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$$

जहाँ इनपुट सिग्नल का स्पेक्ट्रम है और ) सिस्टम की आवृत्ति प्रतिक्रिया है, तो यह स्पष्ट है कि यदि इनपुट सिग्नल में कुछ है जिसके लिए , फिर भी; कोई कारक$X(\omega)$$H(\omega$$\omega$$X(\omega) = 0$$Y(\omega) = 0$$H(\omega)$ कि आप एक nonzero मान प्राप्त करने के लिए गुणा कर सकते हैं।

इसके साथ ही मैंने कहा कि एलटीआई सिस्टम के लिए ऊपर दिए गए आधार की सच्चाई को स्थापित करने से कुछ काम होता है। हालांकि, अगर हम इसे सच मान लेते हैं, तो यह तथ्य कि एलटीआई प्रणाली अपने उत्पादन के लिए कोई नया आवृत्ति घटक सीधे पेश नहीं कर सकती है।

Comments

प्रमाण यह दिखाने के लिए होगा कि किसी भी पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किए गए संकेत के लिए, फूरियर ट्रांसफॉर्म उल्टा है और एफटी और इसके व्युत्क्रम दोनों रैखिक हैं। एक आवृत्ति के साथ प्रत्येक संकेत पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है।

— मार्कस मुलर

Answer 3

क्यों का तात्पर्य है कि LTI सिस्टम कोई नई आवृत्तियाँ उत्पन्न नहीं कर सकता है?$Y(ω)=X(ω)H(ω)$

यदि एक निश्चित आवृत्ति हमारे इनपुट में मौजूद नहीं है, तो । क्योंकि 0, गुणात्मक पहचान , । इस प्रकार फ़्रीक्वेंसी आउटपुट सिग्नल में मौजूद नहीं है।$\omega_\text{abs}$$X(\omega_\text{abs}) = 0$$\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$$Y(\omega_\text{abs}) = 0$$\omega_\text{abs}$

क्यों एक प्रणाली नई आवृत्तियों उत्पन्न करता है, तो यह LTI नहीं है?

मान लीजिए कि हमारा इनपुट । तब यदि हम मानते हैं कि हमारी प्रणाली नई आवृत्तियों को उत्पन्न कर सकती है, तो आउटपुट प्राप्त करना संभव है । क्योंकि हम स्थिरांक को नहीं खोज सकते हैं जैसे कि , हमारी प्रणाली LTI नहीं है।$x(t) = \cos(t)$$y(t) = \cos(2\cdot t)$$c_1, c_2$$y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

Comments

एलटीआई की जाँच के लिए क्या सिर्फ c1 का इस्तेमाल नहीं हुआ, और c2 का भी नहीं?

— USER

मैं कहूंगा कि पहला बिंदु, जो अनिवार्य रूप से है कि आप शून्य शून्य को कुछ भी गुणा करके कुछ भी नहीं प्राप्त कर सकते हैं, यह संक्षिप्त उत्तर है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

c1 का उपयोग रैखिकता के लिए किया जाता है, c2 का उपयोग समय-स्थानांतरण के लिए किया जाता है। हमारे पास एक LTI सिस्टम हो सकता है जो 1 टाइम यूनिट द्वारा सब कुछ डिले कर देता है।

— स्कॉट

Answer 4

एक LTI प्रणाली शुद्ध आवृत्तियों द्वारा diagonalized है । Sines / cosines रैखिक प्रणाली के eigenvectors हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी गैर-शून्य साइन या कोसाइन (या एक जटिल सिसॉइड) इनपुट में एक ही आवृत्ति की साइन या कोसाइन आउटपुट होता है (लेकिन आउटपुट आयाम गायब हो सकता है)।

केवल एक चीज जो बदल सकती है वह है उनका आयाम या उनका चरण। इसलिए, यदि आपके पास इनपुट में दी गई आवृत्ति के साथ कोई साइन नहीं है, तो आपको आउटपुट पर उस आवृत्ति के साथ कुछ भी नहीं (शून्य) मिलता है।

दूसरा सवाल विरोधाभास या रेगुला फल्सी द्वारा उत्तर दिया गया है: यदि $A\implies B$ सच है, ऐसा है $\overline{B}\implies \overline{A}$। यदि कोई सिस्टम LTI है, तो यह नई फ्रीक्वेंसी उत्पन्न नहीं करता है। यदि कोई सिस्टम नई आवृत्तियाँ उत्पन्न करता है, तो यह LTI नहीं है।