एक सतत कार्य का नमूनाकरण: क्रॉंकर या डायराक का डेल्टा?

मैं सिग्नल प्रेकिंग में कुछ पेपर पढ़ रहा हूं और अपने प्रश्न के शीर्षक में इस मुद्दे को लेकर बहुत उलझन में हूं। समय की एक सतत समारोह पर विचार करें , असमान कई बार मैंने नमूना है कि, , जहां । मेरे लिए, यह समझ में आता है कि नमूना फ़ंक्शन है: जहां है क्रोनेकर के डेल्टा (के बराबर होती है जब , शून्य कहीं और)। हालाँकि, इस पत्र में , लेखक नमूना संकेत को इस प्रकार परिभाषित करता है: जहां $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$ का डेल्टा फ़ंक्शन है और मुझे वास्तव में ऐसा नहीं मिलता है कि यहां क्यों दिखाई देता है (लेखक का दावा है कि नमूनाकरण फ़ंक्शन वास्तव में डेल्टा फ़ंक्शन का भारित योग है और यहाँ वह चुनते हैं । मैं वास्तव में नहीं था। समझे क्यों)। यह अंतिम कथन मेरे लिए बहुत मायने नहीं रखता है: नमूना संकेत पर अनंत आयाम होगा !

1 / N

$1/N$

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

इन सब के बावजूद, दूसरे मामले (समीकरण ) में के फूरियर ट्रांसफॉर्म को परिभाषित करना बहुत आसान है , क्योंकि यह सिर्फ विंडो फंक्शन (दिराक कंघी के एफटी) और निरंतर सिग्नल का एफटी , जबकि समीकरण पर एफटी थोड़ा अधिक जटिल है क्योंकि हमारे पास एक पूर्णांक फ़ंक्शन (क्रोनकर का डेल्टा) एक सतत फ़ंक्शन ( ) से गुणा होता है । इस पर कोई प्रकाश डाला गया? $f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
स्रोत

डायराक आवेगों की एक ट्रेन द्वारा निरंतर-समय संकेत के गुणन के माध्यम से नमूना प्रक्रिया की मॉडलिंग मेरे अनुभव में सबसे आम व्याख्या है। यदि आप इसे गहराई से खोदते हैं, तो आपको इस दृष्टिकोण की गणितीय सटीकता के बारे में कुछ असहमति मिलेगी *, लेकिन मुझे इसके बारे में चिंता नहीं होगी; यह प्रक्रिया के लिए सिर्फ एक सुविधाजनक मॉडल है। आपके सेल फोन के एडीसी के भीतर आवेग उत्पन्न करने वाले कोई बिजली के आवधिक बोल्ट नहीं हैं जो उनके अनुरूप इनपुट को गुणा करते हैं।

जैसा कि आपने उल्लेख किया है, आप क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन के निरंतर-समय फूरियर रूपांतरण की गणना नहीं कर सकते, क्योंकि इसका डोमेन निरंतर नहीं है (यह पूर्णांकों तक सीमित है)। इसके विपरीत, डायक डेल्टा फ़ंक्शन में एक साधारण फूरियर रूपांतरण है, और इसकी शिफ्टिंग संपत्ति के कारण डायराक आवेगों की एक ट्रेन द्वारा एक संकेत को गुणा करने का प्रभाव आसान है।

*: एक उदाहरण के रूप में, यदि आप गणितीय रूप से सटीक होने जा रहे हैं, तो आप कहेंगे कि डिराक डेल्टा एक कार्य नहीं है, बल्कि एक वितरण है । लेकिन एक इंजीनियरिंग स्तर पर, ये मुद्दे वास्तव में सिर्फ शब्दार्थ हैं।

संपादित करें: मैं नीचे टिप्पणी को संबोधित करूंगा। आपने नमूना प्रक्रिया का अपना मानसिक मॉडल इस प्रकार दिया:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

इस व्याख्या के साथ समस्या यह है कि विशिष्ट आदर्श नमूनाकरण मॉडल में उस एकीकरण का निर्माण नहीं होता है। इसके बजाय, यह डायक आवेग ट्रेन द्वारा इनपुट सिग्नल का शुद्ध गुणन है। यदि आप लिए दिखाए गए समीकरण पर अधिक बारीकी से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि दाहिने हाथ की तरफ वास्तव में कोई स्वतंत्र चर नहीं है; एकीकरण का डमी चर है। ऊपर दिए गए किसी भी लिए, Dirac आवेग की संपत्ति के अनुसार , आपको मिलेगा: $f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

जो सही नहीं है। इसके बजाय, नमूना संकेत के लिए मॉडल है:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

जो उपरोक्त के समान है, समय अक्ष के साथ एक असीम रूप से लंबी आवेग ट्रेन के लिए सामान्यीकरण को छोड़कर और यह मानते हुए कि डेटा समान रूप से समय पर नमूना लिया जाता है । परिणामी संकेत का फूरियर रूपांतरण है: $t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

यदि हम असतत को परिभाषित करते हैं, तो संकेत का सैंपल किया गया संस्करण , तो आपके साथ छोड़ दिया जाता है: $f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

जो बिल्कुल असतत समय फूरियर रूपांतरण की परिभाषा है ।

— जेसन आर
स्रोत

आप इस तथ्य को कैसे संबोधित करेंगे कि आयाम "अनंत" है? जो मैंने आमतौर पर सोचा है कि आप वास्तव में एक असतत समय पर संकेत को "नमूना" नहीं करते हैं , बल्कि आप दिए गए time लिए संकेत को एकीकृत करते हैं । हालाँकि, यह व्याख्या फॉनियर ट्रांसफॉर्म की गणना के किसी भी रूप का उल्लंघन करेगी, जो क्रोनकर डेल्टा के समान है। इसके अलावा ... I द्वारा दिए गए लिंक में पेपर का लेखक द्वारा डिराक कंघी को क्यों बांटता है ? इससे मुझे कोई मतलब नहीं है।

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

— नेस्टर

व्यवहार में, आप सही हैं। किसी भी एडीसी के एनालॉग फ्रंट एंड के परिमित बैंडविड्थ के कारण एनालॉग सिग्नल का हमेशा कुछ प्रभावी "एकीकरण समय" होता है। हालाँकि, सैद्धांतिक निर्माण ऐसी चिंताओं से सीमित नहीं है। मोटे तौर पर, आवेग की "अनंत ऊंचाई" इसकी "शून्य चौड़ाई" से संतुलित है, जैसे कि यह एकता को एकीकृत करती है। यदि आप इस मामले में अपनी अल्पकालिक एकीकरण व्याख्या लागू करते हैं (एक आवेग द्वारा गुणा, एक infinitestimally-short समय अवधि के लिए एकीकृत), तो संपत्ति को करने से आपको , जैसा कि आमतौर पर होता है प्रस्तुत किया।

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

— जेसन आर

हाँ, लेकिन मेरी चिंता व्याख्या के साथ नहीं है, बल्कि इसके फूरियर रूपांतरण को लेकर है। मान लीजिए कि मैं उस नमूने प्रक्रिया को लिखता हूं जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं: आप उस का फूरियर रूपांतरण कैसे करेंगे? मुझे पता है कि जब ट्रिक , लेकिन इससे मुझे कोई मतलब नहीं है (और यह एफटी करना भी कठिन है!)। यहां तक कि यह मानते हुए कि मुझे रॉबर्ट्स एट अल के कागज के समान विंडो फ़ंक्शन नहीं मिलता है। कि मैं उद्धृत। और मैं जोर देकर कहता हूं ... कि कोई मतलब नहीं है।

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

— नेस्टर

ठीक है अपने संपादन के साथ और ऊपर मेरी टिप्पणी में मेरी त्रुटि के साथ। हालाँकि, मैं अभी भी इस तथ्य के बारे में अपना मन नहीं बना पा रहा हूँ कि आवेग का अनंत आयाम है जो Dirac's Delta के लिए धन्यवाद है, अर्थात, , जबकि हम वास्तव में क्या देखते हैं (और चाहते हैं) मॉडल के लिए)

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$

— Néstor