शून्य, पहला, दूसरा… nth-order होल्ड

9

आयताकार फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

त्रिकोणीय कार्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यह दो समान इकाई आयताकार कार्यों का दृढ़ संकल्प है: शून्य-क्रम धारण और प्रथम- ऑर्डर होल्ड इन कार्यों का उपयोग करें। वास्तव में, यह है: शून्य-ऑर्डर होल्ड के लिए, और प्रथम-क्रम होल्ड के लिए । जबसे

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , मैं जानना चाहूंगा कि क्या यह सिर्फ एक संयोग है या यदि, सेकंड-ऑर्डर के लिए आवेग प्रतिक्रिया को दबाए रखें is

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ क्या यह सामान्य

k

$k$ -th ऑर्डर होल्ड के लिए भी सही है ? अर्थात्,

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ where

-th ऑर्डर होल्ड

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ की आवेग प्रतिक्रिया है , मैं जानना चाहूंगा कि क्या इसका आवेग प्रतिक्रिया है

k

$k$

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ के समय।

sampling interpolation

— निशान
स्रोत

मैंने -th ऑर्डर होल्ड के लिए संदर्भ नहीं देखा है । मुझे उम्मीद है कि यह बार स्वयं के साथ सजाया गया फ़ंक्शन होगा । लेकिन मुझे नहीं पता कि परिभाषा क्या है।

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

@ robertbristow-johnson: एक शून्य-ऑर्डर-होल्ड (शून्य क्रम बहुपद प्रक्षेप, अर्थात कृंतक स्थिरांक) और एक प्रथम-ऑर्डर-होल्ड (प्रथम-क्रम बहुपद प्रक्षेप), यानी टुकड़ा-रेखीय रैखिक) के अनुरूप, n-th ऑर्डर होल्ड एक n-वें क्रम बहुपद द्वारा एक टुकड़े का प्रक्षेप है। यहाँ इसका उल्लेख है (पृष्ठ ६)।

— मैट एल।

1

ये और क्या @ robertbristow-johnson ने नीचे दिए गए अपने जवाब में बी-स्प्लिन कहा जाता है।

— ओली नीमितालो

किसी को भी कारक 2 के साथ एक छवि मैट्रिक्स के साथ दिखा सकते हैं, कृपया? और, मैं यहां फैक्टर के बारे में काफी अस्पष्ट हूं।

— user30462

9

यह मामला नहीं है। सबसे पहले, एक दूसरे क्रम के धारण एक प्रक्षेप बहुपद की गणना करने के लिए तीन नमूना बिंदुओं का उपयोग करेगा, लेकिन आपके सुझाए गए आवेग प्रतिक्रिया एक अंतराल में गैर-शून्य है आकार ( का एक नमूना अंतराल मानते हुए , जैसा कि आप अपने प्रश्न में करते हैं)। हालाँकि, दूसरे क्रम के होल्ड के अनुरूप आवेग प्रतिक्रिया में लंबाई का समर्थन होना चाहिए । $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

अब आप सुझाव दे सकते हैं कि -ऑर्डर होल्ड में एक आवेग प्रतिक्रिया हो सकती है जो कि आयताकार कार्यों का दृढ़ संकल्प है । इस मामले में आपको सही समर्थन आकार मिलेगा, लेकिन निश्चित रूप से यह पर्याप्त नहीं है। $n^{th}$ $n$

एक -ऑर्डर होल्ड एक टुकड़ा-वार प्रक्षेप को लगातार डेटा बिंदुओं का उपयोग करके गणना करता है । यह एक एकल डेटा बिंदु और एक प्रथम-क्रम पकड़ का उपयोग करते हुए शून्य-ऑर्डर होल्ड के अनुरूप है, जो दो डेटा बिंदुओं का उपयोग करता है। इस परिभाषा का आमतौर पर साहित्य में उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए यहां और यहां देखें )। $n^{th}$ $n+1$

यह दिखाना सीधा है कि द्वितीय-क्रम बहुपद जो तीन डेटा बिंदुओं , प्रक्षेपित करता है , और द्वारा दिया जाता है $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

द्वारा दिए गए प्रक्षेप को प्राप्त करने वाली आवेग प्रतिक्रिया को खोजने के लिए , हमें अभिव्यक्ति के साथ समान करना होगा $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

यदि हम आवेग प्रतिक्रिया के अंतराल के रूप में का समर्थन चुनते हैं , जो कि प्रक्षेप अंतराल को चुनने के बराबर है, तो निम्नलिखित आवेग में और परिणामों को बराबर करता है। दूसरे क्रम के धारण की प्रतिक्रिया: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < टी < 0 \\ 1 - {टी}^{2}, & 0 \leq टी \leq 1 \\ \frac{1}{2} (टी - 1) (टी - 2), & 1 < टी < 2 \\ 0, & अन्यथा \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

दूसरे क्रम के होल्ड का आवेग प्रतिक्रिया इस तरह दिखता है: $(3)$

मैं आपको यह दिखाने के लिए छोड़ देता हूं कि एक दूसरे के साथ तीन आयताकार कार्यों को हल करके यह आवेग प्रतिक्रिया उत्पन्न नहीं की जा सकती है।

— मैट एल।
स्रोत

मैट, क्या आप अपने प्रतिनिधित्व के लिए एक संदर्भ प्रदान कर सकते हैं कि दूसरा क्रम क्या है। मैं 100% आश्वस्त हूं कि साजिश गलत है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन 2

मैंने Eq को ठीक किया। (1) (अनुमान सही है)। मैं इसे आपको में प्रतिबिंबित करने के लिए छोड़ दूँगा ।

h (t)

$h(t)$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन 3

@ robertbristow-johnson: मैंने आपका संपादन रद्द कर दिया है, क्योंकि आपका "सुधार" गलत था। मेरा समीकरण , क्योंकि यह मामला होना चाहिए; तुम्हारा । मैं आपको यह दिखाने के लिए छोड़ दूंगा कि यह गलत क्यों है।

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

— मैट एल।

मैं "सुधार" के बारे में सही है। मैंने माइनस संकेतों की संख्या खो दी। (वास्तव में मैं सोच रहा था कि जो कि एक शून्य चिह्न से बंद है। मैंने थोड़ा और चारों ओर देखा। कोई भी विशेष रूप से स्पष्ट नहीं लगता है।

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

5

इसलिए मुझे लगता है कि एक -th ऑर्डर होल्ड एक जो स्वयं विरुद्ध दोषी है। $n$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

विकिपीडिया सभी चीजों का अंतिम संदर्भ नहीं है, लेकिन कुछ ऐसा है जिसे मैंने वहां से सूँघा। नमूना और पुनर्निर्माण पर विचार करें (शैनन व्हिटकेकर जो भी सूत्र है)। यदि मूल बैंडलिफ़ाइड इनपुट और नमूने जो इनपुट को नमूनों से पुन: किया जा सकता है $x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

जो आवृत्ति प्रतिक्रिया के साथ एक आदर्श ईंटवॉल फिल्टर का उत्पादन है:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

आदर्श रूप से सैंपल फंक्शन द्वारा संचालित होने पर

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

इसलिए जब में जाता है , तो जो आता है वह । कारक ताकि पुनर्निर्माण फिल्टर की पासबैंड लाभ, जरूरत है आयामरहित है या 0 डीबी। $x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

इसका मतलब है कि इस आदर्श ईंटवॉल फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया है

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

पुनर्गठित है $x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

हम स्पष्ट रूप से उस पुनर्निर्माण फ़िल्टर को महसूस नहीं कर सकते क्योंकि यह कारण नहीं है। लेकिन पर्याप्त देरी के साथ, हम एक विलंबित कारण साथ करीब और करीब आने में सक्षम हो सकते हैं । $h(t)$

अब एक व्यावहारिक DAC विशेष रूप से पास नहीं मिलता है, लेकिन क्योंकि यह नमूना के तुरंत बाद नमूना अवधि के लिए नमूना मूल्य को आउटपुट करता है, DAC का आउटपुट इस तरह दिखता है $x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

और यह आवेग प्रतिक्रिया के साथ एक फिल्टर के रूप में तैयार किया जा सकता है

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

उसी द्वारा संचालित है । इसलिए $x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

और निहित पुनर्निर्माण फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया है

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

इस आवृत्ति प्रतिक्रिया में लगातार आधे-नमूना विलंब पर ध्यान दें। यही वह जगह है जहाँ से ज़ीरो-ऑर्डर होल्ड होता है।

इसलिए, जबकि ZOH में आदर्श ईंटवॉल पुनर्निर्माण के समान डीसी लाभ है लेकिन अन्य आवृत्तियों पर समान लाभ नहीं है। इसके अलावा, में छवियों को पूरी तरह से पीटा नहीं जाता है जैसा कि ब्रिकवॉल के साथ होगा, लेकिन वे थोड़ा नीचे गिर जाते हैं। $x_\text{s}(t)$

तो क्यों, समय डोमेन के पीओवी में, यह है? मुझे लगता है कि यह में असंतोष के कारण है । यह उतना बुरा नहीं है जितना कि x_ में dirac आवेगों का योग , लेकिन में उछल-कूद है। $x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

कैसे आप कूद छूट से छुटकारा पाने के लिए? शायद उन्हें पहले व्युत्पन्न की छूट में बदल दें। और आप इसका उपयोग करते हैं यदि निरंतर समय डोमेन में एकीकरण। इसलिए पहला-ऑर्डर होल्ड वह होता है, जहाँ DAC का आउटपुट ट्रांसफ़र फ़ंक्शन साथ इंटीग्रेटर के माध्यम से चलाया जाता है, लेकिन हम इंटीग्रेटर के प्रभाव को एक विभेदक के साथ पूर्ववत करने का प्रयास करते हैं असतत समय डोमेन। उस असतत-समय विभेदक का आउटपुट या Z- रूपांतरित $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

उस विभेदक का स्थानांतरण कार्य , या निरंतर फूरियर डोमेन में, । यह निरंतर-समय के इंटीग्रेटर, असतत-टाइम डिफरेंटर, और DAC के ZOH के ट्रांसफर फंक्शन को एक साथ गुणा करता है। $(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

इसका आवेग प्रतिक्रिया है

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

अब, इसे आगे भी जारी रखते हुए, दूसरे क्रम के पकड़ में निरंतर शून्य और पहला डेरिवेटिव होगा। यह निरंतर-समय डोमेन में फिर से एकीकृत करके और इसके लिए अलग-अलग विभाजक के साथ असतत-समय डोमेन में बनाने की कोशिश करता है। यह दूसरे कारक का मतलब है, जिसका अर्थ है एक और । $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

यह अंत में एक गाऊसी आवेग प्रतिक्रिया के लिए अभिसरण करेगा, और मैं इस बारे में बहुत सहज ज्ञान युक्त नहीं कर सकता। मेरा दृढ़ता से मानना है कि एक n-th ऑर्डर होल्ड है - ZOH और FOH के साथ पूर्ण सादृश्य - एक n-th ऑर्डर बहुपद प्रक्षेप। मैं इस दृश्य को कई अन्य लेखकों के साथ साझा करता हूं: जैसे, ये वाले और यह एक । मैंने कहीं और भी n-वें ऑर्डर होल्ड की आपकी व्याख्या नहीं देखी है।

— मैट एल।

एक बहुत लंबा गाऊसी। -th ऑर्डर होल्ड का आवेग प्रतिक्रिया होगा, जो कि इस तरह से समेटे हुए टुकड़े-टुकड़े -th ऑर्डर पॉलीओनियम्स के समीपवर्ती खंड होंगे, जो कि व्युत्पन्न के सभी, -शी व्युत्पन्न तक निरंतर रहेंगे। और मुझे लगता है कि यह कारण है। BTW, मैंने अभी तक जवाब नहीं दिया है। sorta उस पर तरस गया, लेकिन मैं यह सब अंततः एक साथ टाई करने की योजना है। और मैं एक पूरे

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

— लोटे

2

एक अन्य प्रश्न को इसके डुप्लिकेट के रूप में चिह्नित किया गया था। वहां यह भी पूछा गया कि पॉलीगोनल होल्ड क्या है। यह और बहुभुज पकड़ रैखिक प्रक्षेप के लिए समानार्थी प्रतीत होते हैं, जहां आउटपुट पहले की तरह दिखते हैं, जैसे कि पूर्वानुमानित प्रथम-क्रम होल्ड में देखा गया है। नमूनों को लाइनों से जोड़ने के लिए अगले नमूने को पहले से जानना आवश्यक है ताकि लाइन सही दिशा में लक्षित हो सके। वास्तविक समय नियंत्रण प्रणालियों के संदर्भ में जहां नमूनों को पहले से नहीं जाना जाता है, इसका मतलब है कि नमूनों को जोड़ने के लिए लाइनों के लिए एक नमूना अवधि से उत्पादन में देरी होनी चाहिए।

बहुपद धारण (बहुभुज धारण नहीं) में शून्य-क्रम धारण और प्रथम-क्रम धारण दोनों शामिल हैं।

— ओली निमितालो
स्रोत