फ़िल्टर क्रम अनुमान

Question

अपनी प्रतिक्रिया उत्पन्न करते हुए, जटिल जेड विमान में कुछ अज्ञात लेकिन छोटे और परिमित संख्या में डंडे और शून्य की गणना करें। यूनिट सर्कल के चारों ओर समान रूप से स्थित बिंदुओं के एक सेट के निरपेक्ष मान से कड़ाई से, उस प्रतिक्रिया के ध्रुवों और शून्य की संख्या से 2X से अधिक का कहना है, क्या यह संभव है कि पोल किए गए ध्रुवों और शून्य की संख्या का अनुमान लगाना या गणना करना संभव है जो कि नमूना परिमाण प्रतिक्रिया?

जोड़ा गया: ध्रुवों और शून्य की संख्या निर्धारित करने के लिए 2X से अधिक नमूना बिंदु आवश्यक हैं? (जब दिया गया कि कुल X से कम है)।

जोड़ा गया: यदि एक से अधिक समाधान हैं, तो क्या न्यूनतम समाधान (कुल ध्रुवों और शून्य की न्यूनतम संख्या में) पाया या अनुमानित किया जा सकता है?

Comments

यह बिना किसी डंडे के बहुत आसान समस्या है। यह अनिवार्य रूप से matlab / octave firls कमांड में एल्गोरिदम बन जाएगा।

— मार्क बोरगेरिंग

मुझे आश्चर्य है कि यदि आप सामान्यीकृत ईजेनवल्यू समस्या के संदर्भ में आवृत्ति प्रतिक्रिया के अंश और हर का विश्लेषण कर सकते हैं। आपको शायद चरण (शुरुआत के लिए रैखिक) मानने की आवश्यकता होगी

— मार्क बोर्गेडिंग

मुझे लगता है कि सभी फ़िल्टर फ़िल्टर से इंकार कर दिया गया है! अगर डंडे और शून्य 'करीब-करीब' हैं, तो मुझे लगता है कि जब प्रतिक्रिया के नमूने समान रूप से होंगे, तो आपको समस्या होगी। वैसे भी, मान लें कि आपके पास एक प्रतिक्रिया है जो एक छोटे से बंप को छोड़कर समतल है, आवृत्ति में बहुत कम नहीं है। आपकी पसंद के आधार पर आप तब एक मॉडल का उपयोग कर सकते हैं जो एक बाइकाड (2 शून्य और 2 ध्रुव) का उपयोग कर रहा है या आप इसके बजाय 4 से 6 शून्य का उपयोग करके इसे मॉडल कर सकते हैं। एक संबंधित प्रश्न है: डंडे और शून्य का एक सेट दिया गया है, ध्रुवों और शून्य की संख्या की सटीक गणना करने के लिए आवश्यक परिमाण प्रतिक्रिया के बिंदुओं की न्यूनतम संख्या क्या है।

— नीरेन

मुझे लगता है कि समस्या, जैसा कहा गया है, हल नहीं है। आप किसी भी मनमानी प्रणाली को ले सकते हैं और इसे एक या अधिक एलिगेट फ़िल्टर के साथ कैस्केड कर सकते हैं; यह इसकी परिमाण प्रतिक्रिया को प्रभावित नहीं करेगा, लेकिन यह बदलेगा कि कैस्केड के कितने ध्रुव / शून्य हैं। दी गई परिमाण प्रतिक्रिया के लिए, फिर, अनंत संख्या में संबंधित ध्रुवों और शून्य की संख्या होगी। यह एक अलग कहानी हो सकती है यदि आपके पास सिस्टम के चरण प्रतिक्रिया तक पहुंच है। असफल होने पर, आप निश्चित रूप से सिस्टम ऑर्डर (कुछ अनिर्दिष्ट योजना का उपयोग करके) का अनुमान लगा सकते हैं। सोचने में अच्छी समस्या।

— जेसन आर

समाधान से एलिगेट फ़िल्टर के अनंत चिड़ियाघर को हटाने के लिए प्रश्न को निर्धारित किया।

— हॉटपावर 2

Answer 1

सैद्धांतिक रूप से ऐसा करना संभव है, हालांकि यह अक्सर व्यावहारिक नहीं होगा।

आइए इसे बहुपद स्थान में मानते हैं। आदेश एन के एक फिल्टर के लिए आपके पास 2 * एन + 1 स्वतंत्र चर (एन भाजक के लिए और एन + 1 अंश के लिए)। आइए जेड-प्लेन में एक मनमाना बिंदु और मान लें कि इस बिंदु पर स्थानांतरण फ़ंक्शन का मान H ( ) है। स्थानांतरण फ़ंक्शन और सभी फ़िल्टर गुणांक के बीच के रिश्ते को समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है जो सभी फ़िल्टर गुणांक में रैखिक है इस प्रकार है: तो यदि आप M भिन्न आवृत्तियों को$z_{k}$$z_{k}$

$$\sum_{n=0}^{2*N}b_{n}\cdot z_{k}^{-n} - H(z_{k})\cdot \sum_{n=1}^{2*N}a_{n}\cdot z_{k}^{-n}=H(z_{k})$$ $z_{k}$आप M जटिल रैखिक समीकरणों या 2 * M वास्तविक समीकरणों के एक सेट के साथ समाप्त करेंगे। चूँकि आपका अज्ञात संख्या विषम है (2 * N + 1) आप शायद हमेशा एक आवृत्ति चुनना चाहते हैं जहाँ z वास्तविक है, अर्थात z = 1 या = 0।$\omega$

यदि M समीकरणों की प्रणाली से N से बड़ा है, तो रैखिक रूप से निर्भर है। आप फ़िल्टर क्रम को N = 1 से शुरू करके N को बढ़ा सकते हैं जब तक कि समीकरण प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर न हो जाए। सबसे बड़ा एन जिस पर सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है वह वास्तविक फिल्टर ऑर्डर है। इस दृष्टिकोण के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सी फ्रीक्वेंसी चुनते हैं। जब तक वे भिन्न होते हैं, आवृत्तियों का कोई भी सेट काम करेगा।

हालांकि, यह एक बहुत ही मुश्किल समस्या है। बड़े फिल्टर आदेशों के लिए बहुपद का प्रतिनिधित्व संख्यात्मक रूप से बहुत नाजुक होता है और शोर या अनिश्चितता की सबसे छोटी मात्रा बहुत बड़ी संख्यात्मक त्रुटियों की ओर ले जाती है। उदाहरण के लिए, यदि आप माप के माध्यम से सैंपल ट्रांसफर फ़ंक्शन के मूल्यों को निर्धारित करते हैं, तो आवश्यक माप सटीकता निषेधात्मक होगी जब तक कि यह बहुत सौम्य ऑर्डर ऑर्डर फ़िल्टर न हो।