लैपलैस ट्रांसफॉर्म बेमानी है?

लाप्लास परिणत फूरियर का सामान्यीकरण को बदलने के बाद से फूरियर को बदलने लाप्लास के लिए बदलना है (यानी एक शुद्ध काल्पनिक संख्या = शून्य की वास्तविक हिस्सा है )। $s = j\omega$ $s$ $s$

अनुस्मारक:

परिणत फूरियर: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

लाप्लास रूपांतरण: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

इसके अलावा, एक सिग्नल को इसके फूरियर ट्रांसफॉर्म के साथ-साथ इसके लैपलैस ट्रांसफॉर्म से भी फिर से बनाया जा सकता है।

लाप्लास का केवल एक हिस्सा के बाद से बदलने पुनर्निर्माण (भाग जिसके लिए के लिए आवश्यक है ), को बदलने लाप्लास के बाकी ( ) पुनर्निर्माण के लिए unuseful हो रहा है ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

क्या यह सच है?

इसके अलावा, संकेत लाप्लास के दूसरे भाग के लिए फिर से बनाया जा सकता है को बदलने (जैसे के लिए या )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

और क्या होता है यदि हम एक सिग्नल के लैप्लस ट्रांसफॉर्म की गणना करते हैं, तो लैप्लस ट्रांसफॉर्म के केवल एक बिंदु को बदलकर उलटा ट्रांसफॉर्म की गणना करते हैं: क्या हम मूल सिग्नल पर वापस आते हैं?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
स्रोत

क्यों होता है पतन? यहां तक कि अगर प्रश्न में गलत निष्कर्ष शामिल हो सकते हैं, तो आप एक टिप्पणी या उत्तर में बहुत अच्छी तरह से निपट सकते हैं। चुपचाप एक सवाल है कि किसी ने स्पष्ट रूप से कुछ प्रयास में डाल बहुत रचनात्मक नहीं है।

— जैजमैनियाक

मैंने सवाल उठाया। अगर मैं कोणीय आवृत्ति के मामले में सोच रहा हूँ

, तो मैं फूरियर रूपांतरण कहना चाहते:

और लाप्लास रूपांतरण करें:

। तब यह बहुत स्पष्ट है कि वे एक ही चीज़ (सॉर्ट) हैं।

ω

$\omega$

एक्स (जे ω) = \int_{- \infty}^{\infty} एक्स (टी) इ^{- जे ω टी} घ टी

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

एक्स (रों) = \int_{- \infty}^{\infty} एक्स (टी) इ^{- रों टी} घ टी

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन 3

फूरियर और लाप्लास परिवर्तन स्पष्ट रूप से आम में कई चीजें हैं। हालांकि, ऐसे मामले हैं जहां उनमें से केवल एक का उपयोग किया जा सकता है, या जहां एक या दूसरे का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

$s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

संबंधित प्रश्न के इस उत्तर पर भी एक नज़र डालें ।

— मैट एल।
स्रोत

फूरियर रूपांतरण आदर्श (गैर-कारण, अस्थिर) प्रणालियों के विश्लेषण के लिए एक उपयोगी उपकरण है: आप कहेंगे कारण और स्थिर?

— विनज

@ user17604: मेरा मतलब है कि मैंने क्या लिखा है। बेशक आप इसका उपयोग कारण और स्थिर (और गैर-आदर्श) प्रणालियों के लिए भी कर सकते हैं। लेकिन एक महत्वपूर्ण उपयोग आदर्श प्रणाली (जैसे आदर्श आवृत्ति-चयनात्मक फिल्टर) का विश्लेषण है, जहां लाप्लास परिवर्तन का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

— मैट एल।

@MattL। शानदार उत्तर, लेकिन मैंने पाया कि "गैर-शून्य प्रारंभिक स्थितियों के साथ LTI सिस्टम का विश्लेषण करना" भ्रामक है, LTI प्रणाली में गैर-शून्य प्रारंभिक शर्तें कैसे हो सकती हैं?

@ 0MW: हाँ, मुझे शायद "सिस्टम जो अन्यथा LTI हैं (यदि शुरू में आराम से)" कहा जाना चाहिए था।

— मैट एल।