क्या बैंड-सीमित गैर-रैखिक विकृति जैसी कोई चीज है?

Question

इसलिए यदि आप नमूना सीमाओं पर, दो मूल्यों के बीच एक संकेत स्विच करके एक चौकोर तरंग उत्पन्न करते हैं, तो यह हार्मोनिक्स की एक अनंत श्रृंखला का उत्पादन करता है, जो आपके मूलभूत के नीचे उपनाम और उत्पादन करता है, जो बहुत श्रव्य है। इसका समाधान बैंड-लिमिटेड सिंथेसिस है , या तो वेवफॉर्म का उपयोग करने के लिए एडिटिव सिंथेसिस या बैंड-लिमिटेड स्टेप्स का उपयोग करना जो कि उसी तरह हैं जैसे कि आपने नमूना लेने से पहले आदर्श गणितीय स्क्वायर वेव को सीमित कर दिया था:

http://flic.kr/p/83JMjT

लेकिन मुझे सिर्फ एहसास हुआ कि यदि आप एक डिजिटल साइन लहर में बड़े प्रवर्धन को लागू करते हैं और फिर इसे डिजिटल रूप से क्लिप करते हैं, तो यह गिब्स घटना तरंगों के बिना एक ही वर्ग तरंग आकार का उत्पादन करेगा। तो यह भी अलियास विरूपण उत्पादों का उत्पादन कर रहा है, है ना? तो डिजिटल डोमेन में कोई भी नॉन-लीनियर डिस्टॉर्शन जो न्यक्विस्ट सीमा के बाहर हार्मोनिक्स का निर्माण करता है, अलियास डिस्टॉर्शन उत्पादों का उत्पादन करेगा? (संपादित करें: मैंने कुछ परीक्षण किए हैं और पुष्टि की है कि यह हिस्सा सत्य है।)

क्या बैंड-लिमिट डिस्टॉर्शन, (डिजिटल डोमेन में) बैंड-लिमिटिंग और सैंपलिंग से पहले (एनालॉग डोमेन में) डिस्टॉर्टिंग के प्रभावों को अनुकरण करने जैसी कोई चीज है ? यदि ऐसा, तो तुम यह कैसे करते हो? अगर मैं "बैंडलीड डिस्टॉर्शन" के लिए खोज करता हूं, तो मुझे चेबीशेव पॉलिनॉमिअल्स के कुछ संदर्भ मिलते हैं, लेकिन मुझे नहीं पता कि उनका उपयोग कैसे करना है या यदि वे केवल साइन वेव्स के लिए काम करते हैं या क्या:

यह उपकरण बैंड-सीमित विरूपण उत्पन्न करने का प्रयास नहीं करता है। बैंड-सीमित विरूपण में रुचि रखने वालों को प्रभाव उत्पन्न करने के लिए चेबीशेव पॉलिनॉमिअल्स के उपयोग की जांच करनी चाहिए। हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा विकृति

 

"चेबीशेव बहुपद" - महत्वपूर्ण संपत्ति के साथ कार्यों को आकार देना जो वे आंतरिक रूप से बैंड-सीमित हैं यानी अतिव्यापी आदि के कारण वे स्प्रीटियस वर्णक्रमीय हार्मोनिक्स का परिचय नहीं देते हैं। वेव शेपर

Comments

मुझे यकीन नहीं है कि आप क्या पूछ रहे हैं। यदि आप एक ऐसा ऑपरेशन करते हैं, जो आपके द्वारा संचालित किए जा रहे Nyquist क्षेत्र के बाहर की आवृत्ति सामग्री का कारण बनता है, तो आप अलियासिंग देखेंगे, भले ही आपने कहा कि सामग्री कैसे उत्पन्न हुई। आप किस तरह के एनालॉग विरूपण का अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं? एक दृष्टिकोण पहले पर्याप्त रूप से उच्च नमूना दर को संकेत को बाधित करने के लिए हो सकता है, फिर अपने सिग्नल प्रोसेसिंग को करने के लिए व्यापक Nyquist क्षेत्र का उपयोग कर सकता है। आपके द्वारा किए जाने के बाद आप फिर मूल दर पर वापस जा सकते हैं।

— जेसन आर

@ जैसनआर: हाँ, चौकोर तरंगें पैदा करने के लिए, आप या तो एडिक्टिव सिंथेसिस जैसे एक सही मायने में बैंड-लिमिटेड विधि कर सकते हैं, या आप पहले अपसैम्पलिंग करके अनुमानित कर सकते हैं, भोले तरीके से स्क्वायर वेव उत्पन्न कर सकते हैं, और फिर डाउनसम्पलिंग (लेकिन फिर भी होगा) कुछ अलियासिंग, बस एक निचले स्तर पर)। इसी तरह, आप विकृति का अनुमान लगा सकते हैं जैसा कि आपने पहले अपसैंपलिंग करके कहा है, लेकिन क्या इसे सीधे उत्पन्न करने का एक तरीका है, शून्य अलियासिंग के साथ, स्क्वायर वेव जनरेशन के लिए एडिटिव सिंथेसिस विधि के अनुरूप?

— एंडोलिथ

@ जैसनआर: मैं सामान्य रूप से किसी भी गैर-रेखीय विरूपण के बारे में पूछ रहा हूं, लेकिन एनालॉग गिटार amp की विरूपण सर्किटरी का अनुकरण करने जैसा कुछ एक अच्छा उदाहरण होगा। अगर मैं सही ढंग से समझता हूं, तो इसे डिजिटल रूप से डिजिटल डोमेन में करने से विकृति वाले उत्पादों का उत्पादन होगा जो एनालॉग डोमेन में विकृत होने पर मौजूद नहीं हैं, जिनमें से कुछ मूल रूप से कम आवृत्तियों पर स्पष्ट रूप से श्रव्य हो सकते हैं, आदि

— एंडोलिथ

@endolith Chebyshev बहुपद हो सकता है कि आप क्या चाहते हैं।

— datageist

@ डिटैजिस्ट: क्या आप इस बारे में जवाब लिख सकते हैं कि चेबीशेव पॉलिनॉमिअल्स का उपयोग कैसे करें? यहां तक ​​कि एक छोटी।

— एंडोलिथ

Answer 1

एक नॉन-लीनियर फ़ंक्शन को लागू करना हमेशा हार्मोनिक्स का परिचय देगा, और निरंतर संकेतों के सैंपल किए गए संस्करणों के साथ गैर-रेखीय कार्यों को मिलाकर आप ऊपर दिए गए शिकन को जोड़ते हैं (जहां उच्च-आवृत्ति वाले हार्मोनिक्स कम आवृत्तियों के लिए उपनाम हैं।)

मैं आगे बढ़ने के कुछ तरीकों के बारे में सोच सकता हूं:

1. आप अतिरिक्त हार्मोनिक्स (कुछ मनमानी परिशुद्धता, जैसे आपके शोर मंजिल) को पकड़ने के लिए एक ओवरसैमपिंग कारक का उपयोग कर सकते हैं,
2. आप एक "सॉफ़्टर" क्लिपिंग फ़ंक्शन (उदाहरण के लिए, यहां देखें ) का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें हार्मोनिक्स हैं जो हार्ड क्लिपर की तुलना में जल्दी ही मर जाते हैं। यह मॉडल करना आसान है, लेकिन कम आवृत्तियों पर अपनी विकृति का परिचय देता है।
3. आपके द्वारा ऊपर दिए गए दृष्टिकोण पर बिल्डिंग, एक निरंतर समय मॉडल का निर्माण करने के लिए अपने नमूना संकेत (जैसे एक लैग्रेग या चेबिशेव इंटरपोलर का उपयोग करके) को प्रक्षेपित करें। फिर, एक निरंतर निरंतर समय डोमेन में हार्ड क्लिपर और कम पास लागू करें। परिणाम का नमूना।

आप (1) और (2) को मिला सकते हैं। तीसरा दृष्टिकोण जटिल है, लेकिन यह आपको सबसे अच्छा नियंत्रण देता है कि कितनी विकृति को स्वीकार करना है, और संभवत: बहुत उच्च निष्ठा आवश्यकताओं के लिए बेहतर होगा।

एक श्रृंखला विस्तार (जैसे टेलर / मैकलॉरिन) को स्वीकार करने वाले गैर-रैखिक कार्यों के लिए, आप हार्मोनिक्स क्षय को कितनी तेजी से कर सकते हैं, इसके लिए एक सभ्य अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं। फ़ंक्शन का मैकलॉरिन विस्तार है:$f(x)$

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left[ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\right]$$

आपके मामले में, क्लिपिंग फ़ंक्शन है। (आप इसे हार्ड क्लिपर के साथ नहीं कर सकते, कम से कम भोलेपन से नहीं!) यदि आप प्रतिस्थापन x = g ( t ) पर विचार करते हैं , जहां g ( t ) आपका इनपुट सिग्नल है, तो x n g ( t ) n हो जाता है । जिसे आप n समय के साथ अपने इनपुट सिग्नल का कनविक्शन मान सकते हैं । इस प्रकार, कम-पास संकेतों के लिए, अनंत योग के n वें शब्द में एक बैंडविड्थ $f(x)$$x=g(t)$$g(t)$$x^n$$g(t)^n$$n$$n$$n$आपके संकेत का समय। तस्वीर को पूरा करने के लिए, आपको प्रत्येक शब्द से जुड़े आयाम का पता लगाने और यह तय करने की आवश्यकता है कि समन में कितने शब्द प्रासंगिक हैं।

(थोड़े विचार के साथ, आप फ़िल्टर्ड गैर-रैखिकता के लगभग अनुमानित रूप से भी इस फॉर्म का उपयोग करने में सक्षम हो सकते हैं। इसके लिए क्लिपर के लिए एक अच्छी श्रृंखला प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होगी।)

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स्पष्ट करने के लिए, # 3 केवल प्रक्षेप के साथ ओवरसैंपलिंग नहीं है, यह एक सतत चेबीशेव बहुपद के मापदंडों को खोज रहा है जो नमूना बिंदुओं को फिट करता है और फिर उन मापदंडों और बहुपद के एक मॉडल के साथ काम कर रहा है?

— endolith

मैं बहुपद प्रक्षेपकों के अनुक्रम की कल्पना कर रहा हूं जो नमूनों की एक छोटी श्रृंखला पर सक्रिय हैं। इसलिए, नए नमूने के एक बैच के रूप में, आप एक ऐसे प्रक्षेपक का निर्माण करेंगे जो केवल परिभाषित अंतराल में सक्रिय हो। आपके निरंतर-समय के समतुल्य संकेत के संकेत में ये बहुपद होते हैं। (मुझे लगता है कि लैग्रेंज सोच रहा था, लेकिन चेबीशेव शायद एक ही बात है। मुझे याद नहीं है कि चेबिशेव इंटरपोलर सैंपल पॉइंट्स से बिल्कुल मेल खाते हैं। यदि नहीं, तो आपको इंटरपोलेटर्स के बीच स्विच करने पर डिसकंटिन्यू मिलेगा।)

— ग्रीम

Answer 2

अलियास-रहित गैर-विकृति के कुछ दृष्टिकोण (कठिनाई के बढ़ते क्रम में):

1. सबबैंड विरूपण : सिग्नल के निचले छोर को निकालने के लिए एक कम पास फिल्टर का उपयोग करें। यदि आपकी कटऑफ आवृत्ति चुनते हैं$\frac{f_s}{2N}$$f$$f^{N+1}$

2. $N$$2N$

3. $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^M$$N$$M>N$

4. बाधा आधारित बीजगणितीय डिजाइन : पिछले आइटम में, आपने देखा है कि एंटीएलियासिंग नॉनलाइनियर विरूपण नॉनलाइन फिल्टर की ओर जाता है। बेशक, सभी नॉनलाइनर फिल्टर उर्फ ​​मुक्त नहीं हैं, लेकिन कुछ हो सकते हैं। तो स्पष्ट सवाल एक मानदंड के लिए है कि इस तरह के एक फिल्टर को सख्ती से उर्फ ​​मुक्त बनाने के लिए और इसे कैसे डिजाइन किया जाए। जैसा कि यह पता चला है, अलियासिंग से मुक्त होने के लिए एक समान बयान यह है कि गैर-रैखिक फिल्टर उप-नमूना अनुवादों के साथ शुरू होता है। इसलिए आपको यह सुनिश्चित करना चाहिए कि यदि आप पहले अनुवाद करते हैं और फिर फ़िल्टर करें, या पहले फ़िल्टर करें और फिर अनुवाद करें तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। यह स्थिति बहुत सख्त डिज़ाइन बाधाओं की ओर ले जाती हैनॉनलाइनियर फ़िल्टर के लिए, लेकिन यह इस बात पर निर्भर करता है कि आपको सिग्नल ट्रांसलेशन का एहसास कैसे होता है। उदाहरण के लिए, आदर्श अनुवाद के लिए नॉनलाइनियर फिल्टर के लिए कई गुणांक की आवश्यकता होती है। इसलिए आपको परिमित नॉनलाइन फिल्टर प्राप्त करने के लिए सिग्नल ट्रांसलेशन को लगभग सीमित करना होगा। अलियास-फ़्रीनलेस तराजू आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले सन्निकटन के साथ है, लेकिन आपके पास इस पर बहुत अच्छा नियंत्रण है। इस दृष्टिकोण के गणित के माध्यम से काम करने के बाद, आप एक नॉनलाइन फ़िल्टर के रूप में लगभग आदर्श डिजिटल मॉडल के रूप में किसी भी (न केवल चिकनी) नॉनलाइनियर ट्रांसफर फ़ंक्शन को डिज़ाइन कर सकते हैं। मैं संभवतः यहाँ विवरणों को स्केच नहीं कर सकता, लेकिन शायद आप इस विवरण से कुछ प्रेरणा पा सकते हैं।

Comments

$y[t] = x[t]^k$

या, एक और (शायद संबंधित) सवाल - यदि आप उस स्थानीय परिमित दृष्टिकोण के साथ जाते हैं, जिसका आपने उल्लेख किया है, तो आपको काट-छाँट की गई बिजली श्रृंखला से लेकर बिजली की श्रृंखला तक का नक्शा मिलता है। जब आप तब छंटनी की गई बिजली श्रृंखला को कम करने का प्रयास करते हैं, जो सामान्य रूप से एक ईमानदारी से कार्य के साथ परिणत होता है, तो क्या आपको परिणाम के लिए कोई सरल अभिव्यक्ति मिलती है? क्या परिणाम फिर से एक छंटनी की शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और यदि हां, तो यह कैसा दिखता है?

— माइक बैटलग्लिया

@ मायकेबटाग्लिया, शायद आप एक नया प्रश्न बना सकते हैं ताकि मैं वहां पूरी तरह से उत्तर दे सकूं। अपने दूसरे प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आप SINC कर्नेल का उपयोग नहीं करते हैं लेकिन सरलतम स्थिति में एक बॉक्सकार कर्नेल है। उच्च क्रम कर्नेल काम करते हैं, लेकिन एक विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए आपको अपने आप को कुछ गुठली तक सीमित करना होगा।

— जैजमैनियाक

धन्यवाद - फ़िल्टर डिज़ाइन प्रश्न के लिए यहां एक नया प्रश्न बनाया गया: dsp.stackexchange.com/q/51533/18276

— माइक

Answer 3

एक एल्गोरिथ्म जो कि बैंडलेड डिस्टॉर्शन के रूप में योग्य है, वेवशेपिंग सिंथेसिस के लिए साइनसोइडल इनपुट के साथ चेबीशेव पॉलीओमियल्स का उपयोग है। चेबीशेव बहुपद [पहली तरह के] को रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$T_n(x) = \mathrm{cos}(n \, \mathrm{arccos}(x)).$$

$T_n(x)$

$$T_n(\mathrm{cos}(kx)) = \mathrm{cos}(n\,\mathrm{arccos}(\mathrm{cos}(kx))) = \mathrm{cos}(nkx). \tag{1}$$

निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके बहुपद खुद को आसानी से उत्पन्न किया जा सकता है :

$$T_0(x) = 1 \\ T_1(x) = x \\ T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x).$$

यहाँ पहले कुछ हैं:

$$\eqalign{ T_0(x) &= 1 \\ T_1(x) &= x \\ T_2(x) = 2x(x - 1) &= 2x^2 - 1 \\ T_3(x) = 2x(2x^2 - 1) - x &= 4x^3 - 3x \\ T_4(x) = 2x(4x^3 - 3x) - (2x^2 - 1) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\ \ldots }$$

$(1)$$T_2$$\mathrm{cos}(x)$

$$\eqalign{2\,\mathrm{cos}^2(x) - 1 &= 2\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 - 1 \\ &= \frac{2}{4}(e^{i2x} + 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-i2x}) - 1 \\ &= \left(\frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}\right) + \frac{2}{2} - 1 \\ &= \mathrm{cos}(2x). }$$

एक Chebyshev सीरीज की गणना करके

$$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}{a_n\,T_n(x)}$$

$n$$f(x)$

Comments

धन्यवाद! एकल साइनसॉइड के अलावा अन्य तरंगों के लिए, क्या होता है? बंडलीटेड इंटरमोड्यूलेशन या नहीं?

— एंडोलिथ

$x^n$

Answer 4

@ robert-bristow-johnson यह बहुत स्पष्ट रूप से comp.dsp पर बताते हैं :

आपको एक सीमित सीमा तक निरीक्षण करना होगा। यदि आप (स्मृतिहीन, मैं मानते हैं) एक परिमित क्रम बहुपद के रूप में गैर-रैखिकता का प्रतिनिधित्व करते हैं (जो कि जिस भी वक्र को आप कार्यान्वित करने की कोशिश कर रहे हैं) का अनुमान लगाते हैं, तो जो भी बहुपद का क्रम है, वही ओवरसैमलिंग का कारक है और कोई उपनाम नहीं होगा। फिर अपने मूल Nyquist से अधिक सभी आवृत्ति घटकों से छुटकारा पाने के लिए निम्न-पास फ़िल्टर (उस ओवरसम्प्टेड दर पर), फिर डाउनसम्पलिंग और आपको अलियासिंग नहीं होगा।

दूसरे शब्दों में, यदि आपकी अशुद्धता एक बहुपद है, तो विकृति द्वारा उत्पन्न की जाने वाली उच्चतम आवृत्ति आपके संकेत समय में बहुपद की क्रम N की उच्चतम आवृत्ति होगी । (बहुपद की गैर-समरूपता संकेत को स्वयं N गुणा से गुणा कर रही है , इसलिए इसका स्पेक्ट्रम स्वयं के साथ जुड़ जाता है और उसी अनुपात से फैलता है।)

तो फिर आप अधिकतम आवृत्ति जानते हैं (चाहे Nyquist या आपके आवेदन के लिए कुछ निचली सीमा), और आप बहुपद के आदेश को जानते हैं, इसलिए आप अलियासिंग को रोकने के लिए पर्याप्त ओवरसोलेशन कर सकते हैं, विरूपण कर सकते हैं, और फिर कम-पास फिल्टर और डाउनस्प्लिमेंट कर सकते हैं।

वास्तव में, आप कुछ अलियासिंग होने से ओवरसम्पलिंग दर को कम कर सकते हैं, जब तक कि यह बैंड में निहित होता है जो डाउनसमलिंग से पहले हटा दिया जाएगा:

एक और छोटी सी चाल यह है कि आपको एलियासिंग क्षेत्र के बारे में परवाह करने की ज़रूरत नहीं है कि आप एलपीएफ से बाहर हैं। इसलिए 5 वें क्रम के बहुपद के लिए केवल 3 के एक ओवरसैंपलिंग अनुपात की आवश्यकता होती है। उन 2 शीर्ष हार्मोनिक्स को उर्फ ​​हो सकता है, लेकिन बेसबैंड में वापस नहीं मिलेगा। डाउनसमलिंग के दौरान, आप उन अलियासस हार्मोनिक्स को फ़िल्टर करते हैं। इसलिए मुझे लगता है कि कठिन और तेज नियम है

निरीक्षण अनुपात = (बहुपद क्रम + 1) / २

Comments

$N$$\frac{N+1}{2}$$f_s$

@robert मैंने देखा और उस हिस्से को जोड़ा जैसा कि आप टिप्पणी कर रहे थे। आप अपने खुद के जवाब के रूप में यह फिर से लिखने अगर मैं इसे हटा और स्वीकार करते हैं तुम्हारा हूँ

— endolith

हरे बाबा। एक अच्छा जवाब तैयार करने के लिए काम की आवश्यकता होती है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

@ robertbristow-johnson खैर, अगर आप उन्हें चाहते हैं तो काल्पनिक इंटरनेट बिंदु आपके हैं

— एंडोलिथ