मीनिंग ऑफ हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म

Question

मैं फूरियर ट्रांसफॉर्म को समझता हूं जो एक गणितीय ऑपरेशन है जो आपको किसी दिए गए सिग्नल की आवृत्ति सामग्री को देखने देता है। लेकिन अब, मेरे कॉम में। बेशक, प्रोफेसर ने हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म की शुरुआत की।

मैं समझता हूं कि यह कुछ हद तक फ्रिक्वेंसी कंटेंट से जुड़ा हुआ है, इस तथ्य को देखते हुए कि हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म एक FFT by को बढ़ा रहा है या साथ टाइम फ़ंक्शन को हल कर रहा ।$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म का अर्थ क्या है? किसी दिए गए सिग्नल में उस परिवर्तन को लागू करने से हमें क्या जानकारी मिलती है?

Answer 1

हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म का एक अनुप्रयोग तथाकथित एनालिटिक सिग्नल प्राप्त करना है। संकेत , इसके हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म को एक संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है:$s(t)$$\hat{s}(t)$

$$s_A(t)=s(t)+j\hat{s}(t)$$

हम जो एनालिटिकल सिग्नल प्राप्त करते हैं वह जटिल है, इसलिए हम इसे घातीय संकेतन में व्यक्त कर सकते हैं:

$$s_A(t)=A(t)e^{j\psi(t)}$$

कहा पे:

$A(t)$ तात्कालिक आयाम (लिफाफा) है

$\psi(t)$ तात्कालिक चरण है।

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तो ये कैसे सहायक हैं?

तात्कालिक आयाम कई मामलों में उपयोगी हो सकता है (इसका उपयोग व्यापक रूप से सरल हार्मोनिक संकेतों के लिफाफे को खोजने के लिए किया जाता है)। यहाँ एक आवेग प्रतिक्रिया के लिए एक उदाहरण है:

दूसरे, चरण के आधार पर, हम तात्कालिक आवृत्ति की गणना कर सकते हैं:

$$f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{d\psi}{dt}(t)$$

जो कई अनुप्रयोगों में फिर से सहायक है, जैसे कि व्यापक स्वर की आवृत्ति का पता लगाना, इंजनों को घुमाना आदि।

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उपयोग के अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:

• दूरसंचार में संकीर्ण संकेतों का नमूनाकरण (ज्यादातर हिल्बर्ट फिल्टर का उपयोग करके)।

• चिकित्सीय इमेजिंग।

• आगमन की दिशा के लिए ऐरे प्रसंस्करण।

• सिस्टम प्रतिक्रिया विश्लेषण।

Comments

अच्छा उत्तर। हालाँकि मैं आपके कथन से कुछ हद तक असहमत हूँ "[हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म] का उपयोग व्यापक रूप से जटिल हार्मोनिक संकेतों के लिफाफे को खोजने के लिए किया जाता है।" यह वास्तव में "जटिल" है (जैसे: सरल नहीं) ऐसे संकेत जो वास्तव में तात्कालिक आयाम विश्लेषण के लिए उपयुक्त नहीं हैं। हिल्बर्ट लिफाफा व्यावहारिक रूप से तथाकथित एकल घटक संकेतों के लिए है, यानी साइनसोइड अपेक्षाकृत धीमी आयाम और आवृत्ति मॉडुलन के साथ।

— जैजमैनियाक

@ जैजमैनियाक: वू ... मैंने "सरल" लिखने के बारे में सोचा, लेकिन "जटिल" लिखा। उसे मेरी जानकारी मे लाने के लिए धन्यवाद! इस जटिल / विश्लेषणात्मक शब्दों ने मेरे दिमाग के साथ खिलवाड़ किया।

— jojek

Answer 2

आम शब्दों में, हिल्बर्ट रूपांतरित, जब वास्तविक डेटा पर उपयोग किया जाता है, "विशिष्ट" जटिल डेटा में बदलकर, स्थिर घटनाओं के लिए "एक सच्चा (तात्कालिक) आयाम" (और कुछ और) प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, एक कोज्या के बाद से यह नेत्रहीन के बीच हिलने नहीं, आयाम 1 है, जो आपको सीधे नहीं दिख रहा है स्वाभाविक है और , और समय समय पर गायब हो जाती है। THe हिल्बर्ट ने कॉशन को "सबसे सुसंगत तरीके" में पूरक किया है ताकि परिणामस्वरूप जटिल फ़ंक्शन सभी प्रारंभिक जानकारी रखता है, साथ ही इसका "आयाम" सीधे 1 का एक मापांक है। सभी ऊपर की देखभाल की आवश्यकता है, क्योंकि बैंड-सीमितता और स्थानीयता की धारणा खेल में आती है।$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$

हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्मेशन (और रिज़ेज़ ट्रांसफॉर्मेशन उच्च आयामों में) एक अधिक मौलिक उपकरण हो सकता है। मुझे स्टीवन जी क्रांत्ज़ द्वारा कॉम्प्लेक्स फंक्शन थ्योरी और हाइजेनबर्ग समूह के लिए अनुप्रयोगों के साथ हार्मोनिक विश्लेषण में व्याख्याओं में अध्याय 2 का प्रस्ताव पसंद है :

प्रस्तावना: हिल्बर्ट परिवर्तन, बिना किसी प्रश्न के, विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण ऑपरेटर है। यह कई अलग-अलग संदर्भों में उत्पन्न होता है, और इन सभी संदर्भों को गहन और प्रभावशाली तरीकों से जोड़ा जाता है। यह सब नीचे आता है कि आयाम 1 में केवल एक विलक्षण अभिन्न अंग है, और यह हिल्बर्ट रूपांतरण है। दर्शन यह है कि सभी महत्वपूर्ण विश्लेषणात्मक प्रश्न एक विलक्षण अभिन्न अंग को कम करते हैं; और पहले आयाम में सिर्फ एक विकल्प है।

सिग्नल / इमेज प्रोसेसिंग में अनुप्रयोग संभवतः इसके मौलिक गुणों के कारण होते हैं: तात्कालिक आयाम / आवृत्ति अनुमान, केवल आयाम (क्रामर्स-क्रोनिग संबंध) के लिए कार्य फिल्टर का निर्माण, छोटे-अतिरेक 2 डी दिशात्मक तरंगों, शिफ्ट-इनवेरिएंट एज डिटेक्शन, आदि।

मैं एफ किंग, 2009, हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म द्वारा दो संस्करणों का सुझाव भी दूंगा ।

Answer 3

एक परिवर्तन (एफटी या हिल्बर्ट, आदि) कुछ भी नहीं से नई जानकारी नहीं बनाता है। इस प्रकार, "सूचना आपको मिलती है", या 1 डी / वास्तविक सिग्नल के हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म द्वारा प्रदान किए गए परिणामी विश्लेषणात्मक जटिल सिग्नल में जोड़ा गया आयाम, उस संकेत में प्रत्येक बिंदु के स्थानीय पर्यावरण के सारांश का एक रूप है, जो इसमें शामिल हो गया है। बिंदु।

स्थानीय चरण और लिफाफे के आयाम जैसी जानकारी वास्तव में स्थानीय बिंदु के आसपास संकेत की कुछ चौड़ाई या सीमा (अनंत सीमा तक) के बारे में जानकारी होती है। हिल्बर्ट रूपांतरण, 1 डी वास्तविक सिग्नल से एक जटिल विश्लेषणात्मक सिग्नल के एक घटक को उत्पन्न करने में, सिग्नल के प्रत्येक एकल बिंदु पर सिग्नल के आस-पास से कुछ जानकारी को संकुचित करता है, इस प्रकार एक को और अधिक निर्णय लेने की अनुमति देता है (जैसे कि एक डिमॉड्युलेटिंग थोड़ा सा , प्रत्येक स्थानीय (अब जटिल) बिंदु या नमूने पर एक लिफाफे के आयाम, आदि को रेखांकन, स्कैन और / या प्रक्रिया के बिना एक नई (तरंगिका, खिड़की वाले गोर्टजेल, आदि) प्रत्येक संकेत पर कुछ चौड़ाई की खिड़की। बिंदु।

Comments

इस उत्तर के लिए धन्यवाद। हिल्बर्ट परिवर्तन की आवश्यकता के बारे में मैं थोड़ा उलझन में था, क्योंकि पहले से ही आयाम और उदाहरण निकालना संभव है। freq। मूल संकेत में एक बिंदु के लिए (मेरी समझ: एब्स ले लो। आयाम प्राप्त करने के लिए और उदाहरण प्राप्त करने के लिए बिंदु के चारों ओर एक विंडो में समय अंतर का उपयोग करें। freq।)। लेकिन आप इस जानकारी को एक ही बिंदु पर संक्षेप में बताने के बारे में क्या कहते हैं, इसलिए मुझे लगता है कि हिल्बर्ट परिवर्तन मुख्य रूप से सुविधा के लिए उपयोग किया जाता है।

— अरालॉक्स

@ hotpaw2, यह 'प्रत्येक एकल बिंदु पर संकेत के आसपास की सीमा से जानकारी को कैसे संकुचित करता है'? मैं देख रहा हूं कि अभिन्न पर्यावरण का एक 'संक्षेप' तैयार कर रहा होगा, लेकिन अभिन्न का डोमेन से , तो यह स्थानीय वातावरण कैसा है ? $-\infty$$+\infty$

— वास

अभिन्न अपने केंद्र की ओर भारी होता है। विशिष्ट उपयोग में, एक एफएफटी या एफआईआर कार्यान्वयन डोमेन की पूंछों को क्लिप करेगा, जहां वे कुछ शोर मंजिल से नीचे हैं।

— हॉटपावर

Answer 4

हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म द्वारा निर्मित विश्लेषणात्मक सिग्नल कई सिग्नल विश्लेषण अनुप्रयोगों में उपयोगी है। यदि आप पहले सिग्नल को बैंडपास करते हैं, तो विश्लेषणात्मक सिग्नल प्रतिनिधित्व आपको सिग्नल की स्थानीय संरचना के बारे में जानकारी देता है:

• चरण उस बिंदु पर स्थानीय समरूपता को इंगित करता है, जहां 0 सकारात्मक सममित (शिखर) है, नकारात्मक सममित (गर्त) है, और एंटी-सममित (बढ़ती / गिरने वाली बढ़त) है।$\pi$$\pm \pi/2$
• आयाम बिंदु पर संरचना की ताकत को इंगित करता है, समरूपता (चरण) से स्वतंत्र है।

इस प्रतिनिधित्व के लिए इस्तेमाल किया गया है

• स्थानीय ऊर्जा (आयाम) के माध्यम से सुविधा का पता लगाना
• चरण का उपयोग कर सुविधा वर्गीकरण
• चरण अनुरूपता के माध्यम से सुविधा का पता लगाना

यह भी रेजिज़ परिवर्तन का उपयोग करके उच्च आयामों तक फैली हुई है, उदाहरण के लिए मोनोजेनिक सिग्नल।

Answer 5

हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म को लागू करने से हमें कुछ वास्तविक वास्तविक-मूल्यवान सिग्नल के आधार पर एक विश्लेषणात्मक सिग्नल बनाने में सक्षम बनाता है। और कॉम्ब्स वर्ल्ड में हम एनालिटिकल सिग्नल का उपयोग आसानी से कर सकते हैं और वास्तविक वास्तविक-मूल्यवान सिग्नल के तात्कालिक परिमाण की गणना कर सकते हैं। उस प्रक्रिया का उपयोग एएम डिमॉड्यूलेशन में किया जाता है। साथ ही विश्लेषणात्मक सिग्नल से हम वास्तविक वास्तविक-मूल्यवान सिग्नल के तात्कालिक चरण की आसानी से और सटीक गणना कर सकते हैं। उस प्रक्रिया का उपयोग चरण और एफएम डिमॉड्यूलेशन दोनों में किया जाता है। आपका प्रोफेसर हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म को कवर करने में सही है क्योंकि यह कॉम्स सिस्टम में बहुत उपयोगी है।

Answer 6

पहले से ही महान जवाब, लेकिन मैं जोड़ना चाहता था कि इसके विश्लेषणात्मक संस्करण के लिए एक सिग्नल को परिवर्तित करना डिजिटल डोमेन में आसान है (आवश्यक आधा बैंड फिल्टर में इसके आधे गुणांक शून्य के बराबर हैं), लेकिन एक बार वहां, नमूना दर में कटौती की जा सकती है आधा, अनिवार्य रूप से प्रसंस्करण को वास्तविक और काल्पनिक पथों में विभाजित करना। जाहिर है, यहां एक लागत है, और कुछ क्रॉस शर्तों को संभालने की आवश्यकता है, लेकिन आम तौर पर यह हार्डवेयर कार्यान्वयन में सहायक होता है जब घड़ी की दर एक कारक होती है।

Answer 7

जैसा कि पहले से ही अन्य उत्तरों में बताया गया है कि हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग एनाटिक सिग्नल प्राप्त करने के लिए किया जाता है जिसका उपयोग लिफाफे और सिग्नल के चरण को खोजने के लिए किया जा सकता है।

हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्मेशन देखने का एक और तरीका फ़्रीक्वेंसी डोमेन में है। चूंकि वास्तविक संकेत में समान सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्ति घटक होते हैं, इसलिए विश्लेषण में यह जानकारी बेमानी है।

हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग नकारात्मक आवृत्ति भाग को समाप्त करने और सकारात्मक आवृत्ति भाग के परिमाण को दोगुना करने के लिए किया जाता है (शक्ति समान रखने के लिए)।

यहां, डिज़ाइन किया गया हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म फ़िल्टर प्रकृति में बैंड पास है जो 50MHz से 450 मेगाहर्ट्ज तक आवृत्तियों को पारित करता है। इनपुट दो साइनसोइडल सिग्नलों का योग है जिसमें 200MHz और 500MHz के बराबर आवृत्तियां होती हैं।

पीएसडी प्लॉट से, हम देख सकते हैं कि नकारात्मक आवृत्ति घटक 200 मेगाहर्ट्ज सिग्नल के बराबर हो जाता है, जबकि 500 ​​मेगाहर्ट्ज सिग्नल गुजरता है।

Comments

क्या मतलब है जैसा कि वास्तविक संकेत में समान सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्ति घटक होते हैं, इसलिए विश्लेषण में यह जानकारी बेमानी है ? ऐसा इसलिए है क्योंकि एक चक्र पूर्ण चक्र की जानकारी मूल्यवान नहीं है? नकारात्मक आवृत्ति भाग क्या है जिसे निकालने की आवश्यकता है?

— वास

वास्तविक संकेतों की आवृत्ति प्रतिक्रिया y अक्ष पर दर्पण छवि है या आवृत्ति प्रतिक्रिया का वास्तविक हिस्सा है, आवृत्ति का एक समान कार्य है, अधिक विवरण यहां पृष्ठ 8, web.mit.edu/6.02/www/s2012/handouts/12 पर हैं। पीडीएफ

— पुलकित

Answer 8

इस सवाल के पहले से ही कई उत्कृष्ट जवाब हैं, लेकिन मैं इस पृष्ठ से इस बहुत ही सरल उदाहरण और स्पष्टीकरण को शामिल करना चाहता था जिसने हिल्बर्ट रूपांतर की अवधारणा और उपयोगिता को बड़े पैमाने पर साफ किया:

एक सिग्नल जिसमें कोई नकारात्मक-आवृत्ति वाले घटक नहीं होते हैं, एक विश्लेषणात्मक सिग्नल कहा जाता है। इसलिए, निरंतर समय में, प्रत्येक विश्लेषणात्मक सिग्नल रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ जहाँ जटिल गुणांक है (आवृत्ति और चरण) सकारात्मक-आवृत्ति जटिल sinusoid की आवृत्ति । किसी भी वास्तविक साइनसोइड को केवल एक चरण-चतुर्भुज घटक उत्पन्न करके एक सकारात्मक-आवृत्ति जटिल साइनसॉइड परिवर्तित किया जा सकता है। `` काल्पनिक भाग '' के रूप में सेवा करने के लिए:$Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ चरण-चतुर्भुज घटक से उत्पन्न किया जा सकता है एक साधारण तिमाही-चक्र समय पारी द्वारा इन-फेज घटक। अधिक जटिल संकेतों के लिए जो कई साइनसोइड्स के योग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, एक फिल्टर का निर्माण किया जा सकता है जो प्रत्येक साइनसोइडल घटक को एक चौथाई चक्र से बदल देता है। इसे हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म फिल्टर कहा जाता है। चलो समय में उत्पादन निरूपित हिल्बर्ट-परिणत फिल्टर के लिए संकेत लागू किया । आदर्श रूप से, इस फ़िल्टर में सभी आवृत्तियों पर परिमाण होता है और प्रत्येक सकारात्मक आवृत्ति और में की एक चरण पारी का परिचय देता है।${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$प्रत्येक नकारात्मक आवृत्ति पर। जब एक वास्तविक सिग्नल और उसके हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म का उपयोग एक नया जटिल सिग्नल , सिग्नल वास्तविक सिग्नल अनुरूप एक जटिल (जटिल) विश्लेषणात्मक संकेत है । दूसरे शब्दों में, किसी भी वास्तविक सिग्नल , संबंधित विश्लेषणात्मक सिग्नल की संपत्ति है कि सभी 'नकारात्मक आवृत्तियों' of '' फ़िल्टर्ड आउट '' कर दिया गया है।$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$

(अस्वीकरण: मैं पृष्ठ का लेखक नहीं हूं )

Comments

मुझे समझ में नहीं आता complicated signals which are expressible as a sum of many sinusoids, a filter can be constructed which shifts each sinusoidal component by a quarter cycle, यह क्यों किया जाएगा? प्रेरणा और व्यावहारिक मूल्य क्या है?

— वास