असतत फूरियर रूपांतरण समरूपता

9

मैं असतत फूरियर में परिवर्तन पर अध्याय पढ़ रहा था ल्योंस की पुस्तक - अंडरस्टैंडिंग डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग - और समरूपता के बारे में अंतिम पैराग्राफ नहीं समझ सका।

इस बिंदु पर उल्लिखित डीएफटी का एक अतिरिक्त समरूपता गुण है। व्यवहार में, हमें कभी-कभी वास्तविक इनपुट फ़ंक्शन के डीएफटी को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है जहां इनपुट सूचकांक $n$ सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मूल्यों पर परिभाषित किया गया है। यदि वह वास्तविक इनपुट फ़ंक्शन सम है, तो $X(m)$ हमेशा वास्तविक है और यहां तक कि; वह है, अगर असली $x(n) = x(−n)$ , फिर, $X_{\textrm{real}}(m)$ सामान्य नॉनजरो में है और $X_{\textrm{imag}}(m)$ शून्य है। इसके विपरीत, यदि वास्तविक इनपुट फ़ंक्शन विषम है, $x(n) = −x(−n)$ , फिर $X_{\textrm{real}}(m)$ हमेशा शून्य और $X_{\textrm{imag}}(m)$ सामान्य तौर पर, नॉनज़रो है।

ध्यान दें: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

सबसे पहले, "विषम" और "सम" से क्या तात्पर्य है? मुझे संदेह है कि यह इनपुट सिग्नल में नमूनों की संख्या है, लेकिन यह मुझे मेरे दूसरे प्रश्न की ओर ले जाता है,
यही वजह है कि $X_{\textrm{imag}}(m)$ वास्तविक इनपुट फ़ंक्शंस के साथ शून्य, जो सम हैं, और क्यों, वास्तविक इनपुट फ़ंक्शंस जो विषम हैं, के साथ है $X_{\textrm{real}}(m)$ शून्य और $X_{\textrm{imag}}(m)$ आम तौर पर गैर-शून्य?

discrete-signals dft

— कोई व्यक्ति
स्रोत

en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions

— endolith

हाँ, हिलमार के जवाब के बाद, मैं समझ गया कि पाठ का जिक्र क्या है।

— someguy

8

सम और विषम समरूपता का संदर्भ दें $n = 0$ ।

मतलब भी $x[n] = x[-n]$ ; आप के लिए हिस्सा प्राप्त कर सकते हैं $n < 0$ बस के लिए हिस्सा मिरर करके $n > 0$ पर $n=0$ लाइन।

विषम का अर्थ है $x[n] = -x[-n]$ ; आप के लिए हिस्सा प्राप्त कर सकते हैं $n < 0$ बस के लिए हिस्सा मिरर करके $n > 0$ पर $n=0$ लाइन और इसे गुणा करके $-1$ ।

एक चैतन्य तरंग सम है, साइन वेव विषम है।

ये सभी सामान्य समरूपता के विशेष मामले हैं जो कहते हैं

यदि यह एक डोमेन में वास्तविक है, तो यह दूसरे में सममित है।

संयुग्म सममिति का अर्थ है कि वास्तविक भाग सम है और काल्पनिक भाग विषम है। अधिकांश लोग जानते हैं कि एक संयुग्म सममित स्पेक्ट्रम के रूप में एक वास्तविक समय डोमेन सिग्नल, लेकिन यह दूसरे तरीके से भी घूमता है: एक संयुग्म सममित समय डोमेन सिग्नल में एक वास्तविक मूल्यवान स्पेक्ट्रम होता है।

— Hilmar
स्रोत

आह, एक कोसाइन वेव और साइन वेव को चित्रित करने से मुझे विषम और यहां तक कि इनपुट कार्यों को समझने में मदद मिली। धन्यवाद।

— someguy

7

हिलमार का उत्तर बिल्कुल सही है, लेकिन मुझे लगता है कि ओपी के हवाले से दिए गए बयान में लियोन ने कई बिंदुओं पर ध्यान नहीं दिया (या हो सकता है कि उन्होंने पहले उनके बारे में बात की थी और ओपी द्वारा उद्धृत पैराग्राफ में खुद को दोहराना नहीं चुना था) ।

असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) को आमतौर पर अनुक्रम के परिवर्तन के रूप में वर्णित किया जाता है $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ परिमित लंबाई $N$ दूसरे क्रम में $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ लंबाई की $N$ कहाँ पे

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1, \\ x [n] & = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} X [m] \exp (\frac{j 2 π n m}{N}), n = 0, 1, \dots, N - 1. \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$ लेकिन इन फॉर्मूलों का इस्तेमाल भी किया जा सकता है

m, n

$m, n$ सीमा के बाहर हैं

[0, N - 1]

$[0, N-1]$ और अगर हम ऐसा करते हैं, तो हम इस निष्कर्ष पर आते हैं कि लंबाई-

N

$N$ डीएफटी को आवधिक अनुक्रम से परिवर्तन के रूप में देखा जा सकता है

x [\cdot]

$x[\cdot]$ एक और आवधिक अनुक्रम के लिए

X [\cdot]

$X[\cdot]$ , दोनों दिशाओं में अनंत तक फैले हुए हैं, और वह दोनों

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ तथा

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ इन असीम रूप से लंबे दृश्यों की सिर्फ एक अवधि है। ध्यान दें कि हम उस पर जोर दे रहे हैं

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$ तथा

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$ सबके लिए

m, n,

$m, n,$ तथा

i

$i$ ।

यह निश्चित रूप से है, न कि कैसे डेटा को अक्सर व्यवहार में संभाला जाता है। हमारे पास नमूनों का एक बहुत लंबा अनुक्रम हो सकता है, और हम उन्हें उपयुक्त लंबाई के ब्लॉक में तोड़ते हैं $N$ । हम DFT की गणना करते हैं $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ जैसा

X^{(0)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$ अगले चंक का डीएफटी

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ जैसा

X^{(1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k + N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$ पिछले चंक का डीएफटी

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ जैसा

X^{(- 1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k - N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$ आदि और फिर हम इन विभिन्न डीएफटी के साथ खेलते हैं जिसमें हमने अपने डेटा को विभाजित किया है। बेशक, यदि डेटा वास्तव में अवधि के साथ आवधिक हैं

N

$N$ , ये सभी डीएफटी समान होंगे।

अब, जब लियोन्स की बात होती है ... जहां इनपुट इंडेक्स एन को सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मूल्यों से अधिक परिभाषित किया गया है ... वह आवधिक मामले की बात कर रहा है , और जब वह कहता है कि एक (वास्तविक) भी फ़ंक्शन के पास संपत्ति है $x[n] = x[-n]$ , यह संपत्ति सभी पूर्णांकों के लिए होनी चाहिए $n$ । चूंकि आवधिकता भी लागू होती है, हमारे पास केवल यही नहीं है $x[-1] = x[1]$ परंतु $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ , और इसी तरह, $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ । दूसरे शब्दों में, वास्तविक भी अनुक्रम $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ जिसका डीएफटी एक वास्तविक अनुक्रम है (जैसा कि ल्योंस द्वारा कहा गया है और हिलमार द्वारा बहुत अच्छी तरह से समझाया गया है) आवश्यक रूप से है

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1]) = (x [0], x [1], x [2], x [3], \dots, x [3], x [2], x [1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$ जो (प्रमुख से अलग है)

x [0]

$x[0]$ ) एक पैलंड्रोमिक अनुक्रम। यदि आप अपने डेटा को लंबाई के ब्लॉक में विभाजित कर रहे हैं

N

$N$ और प्रत्येक ब्लॉक के डीएफटी की गणना अलग-अलग की जाती है, तब इन अलग-अलग डीएफटी में ऊपर वर्णित समरूपता गुण नहीं होंगे जब तक कि डीएफटी इस पैलिंड्रोमिक संपत्ति के साथ ब्लॉक का न हो।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

0

बस सम और विषम कार्य स्पष्टीकरण के लिए,

सम: y अक्ष के संबंध में सममिति विषम: मूल के संबंध में सममित

और गणितीय विवरणों में जाने के बिना, वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन का डीएफटी सममित है, अर्थात परिणामी फूरियर फ़ंक्शन में वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग हैं जो 0 आवृत्ति घटक के संबंध में दर्पण छवियां हैं। यह उस स्थिति में नहीं होता है जब आप एक जटिल फ़ंक्शन का डीएफटी लेते हैं।

— नरेश
स्रोत

> सम: y अक्ष के संबंध में सममिति विषम: मूल के संबंध में सममित। क्या आप इसका अर्थ थोड़ा और समझा सकते हैं, शायद ऐसे कार्यों का उदाहरण देते हुए जिन्हें आप क्रमशः कार्य और विषम मानते हैं? मुझे लग रहा है कि शायद आपकी परिभाषा एक फ़ंक्शन को सम और विषम दोनों की अनुमति देती है। ऐसा क्या?

— दिलीप सरवटे

हाय दिलीप, यदि कोई कार्य y अक्ष के संबंध में दर्पण छवि है, तो भी। उदाहरण के लिए, कोसाइन वाई अक्ष के संबंध में दर्पण छवि है। इसका एक समान कार्य है। विषम समारोह के लिए, मूल के संबंध में इसका प्रतिबिंब। इसका मतलब है कि आप एक्स और वाई दोनों के संबंध में प्रतिबिंब लेते हैं। साइन फ़ंक्शन की तरह। आप बस प्लॉट को देख सकते हैं और बता सकते हैं कि क्या यह एक समान या विषम कार्य है।

— नरेश