परिमाण-मात्र आवृत्ति प्रतिक्रिया से स्थानांतरण फ़ंक्शन का अनुमान कैसे लगाया जाए?

Question

एक मनमाने ढंग से आवृत्ति प्रतिक्रिया को देखते हुए, क्या संकेत प्रसंस्करण विधियाँ मौजूद हो सकती हैं जो एक हस्तांतरण समारोह (ध्रुव और शून्य तारामंडल) का अनुमान लगा सकती हैं, अनुमान लगा सकती हैं या निर्धारित कर सकती हैं जो कि दी गई आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए "यथोचित रूप से अच्छा" सन्निकटन (कुछ दिए गए आकलन गुणवत्ता मानदंडों के लिए) देता है? किसी दिए गए स्थानांतरण फ़ंक्शन के लिए आवश्यक पोल और शून्य की संख्या का अनुमान लगाने के लिए क्या अर्थ है? या कैसे निर्धारित किया जा सकता है इन बाधाओं को पूरा नहीं किया जा सकता है, यदि संभव हो तो?

यदि दी गई आवृत्ति प्रतिक्रिया वास्तव में एक ज्ञात स्थानांतरण फ़ंक्शन द्वारा निर्मित की गई थी, तो क्या इनमें से कोई भी विधि उस मूल हस्तांतरण फ़ंक्शन पर अभिसरण होगी? यदि दी गई आवृत्ति प्रतिक्रिया (गॉसियन मान ली गई) माप त्रुटियों के अधीन थी, तो कैसे होगा?

सैंपल स्पेक्ट्रम के साथ जेड-प्लेन में काम करना मान लें, हालांकि निरंतर डोमेन उत्तर भी दिलचस्प हो सकते हैं।

जोड़ा गया: क्या समाधान विधियां किसी भी भिन्न हैं यदि केवल आवृत्ति प्रतिक्रिया का परिमाण दिया जाता है (जैसे किसी भी चरण प्रतिक्रिया के साथ समाधान की अनुमति है)?

जोड़ा गया: बाद की समस्या वह है जिसमें मैं सबसे ज्यादा दिलचस्पी रखता हूं, जिसे यूनिट सर्कल के चारों ओर एक ज्ञात परिमाण प्रतिक्रिया दी गई है, लेकिन अज्ञात / अनसुनी चरण प्रतिक्रिया, मापा प्रणाली का अनुमान लगाया जा सकता है, और यदि यह किस शर्तों के तहत है?

Comments

क्या आप एक तर्कसंगत स्पेक्ट्रम के रूप में एक मनमाना आवृत्ति प्रतिक्रिया का अनुमान लगाने का प्रयास कर रहे हैं? वह है (b [0] + b [1] z ^ -1 ...) / (1 + a [1] z ^ -1 ...)? यदि ऐसा है, तो इसे आमतौर पर ARMA मॉडलिंग कहा जाता है। यह एआर मॉडलिंग की तुलना में अधिक कठिन है क्योंकि एक सिग्नल का ऑटोक्रेलेशन आगे बढ़ने वाले औसत गुणांक (बी [] या शून्य) से संबंधित नहीं है। यदि मेरी धारणा सही है तो मैं एक अधिक औपचारिक प्रतिक्रिया लिख ​​सकता हूं।

— ब्रायन

@ ब्रायन: हाँ। मैंने "पोल एंड ज़ीरो" सॉल्यूशन (एक रेशनल ट्रांसफ़र फंक्शन) बताते हुए यह कहने का प्रयास किया कि यह उपयुक्त था (अधिमानतः यदि सभी पोल या सभी शून्य सॉल्यूशन / समान डिग्री के अनुमान से बेहतर)।

— हॉटपावर 2

आवृत्ति प्रतिक्रिया से क्या अर्थ जुड़ा हुआ है ? कुछ लोगों को आवृत्ति प्रतिक्रिया समारोह के बीच भेद या और हस्तांतरण समारोह और कुछ लोगों को नहीं है। उदाहरण के लिए देखें, पहले वाले प्रश्न के उत्तर के बाद चर्चा । $H(\omega)$एच ( एस $H(f)$$H(s)$

— दिलीप सरवटे

@ दिलीप सरवटे: एच (डब्ल्यू) को केवल यूनिट सर्कल के लिए दिया गया है (क्या यह निरर्थक है?), संपूर्ण जेड विमान प्रतिनिधित्व को हल / अनुमान करता है। उम्मीद है, कि सवाल के मेरे मूल बयान के साथ संगत है।

— हॉटपावर 2

आप चीजों को बदल देते हैं। ध्रुव और शून्य समान रूप से शेष परिमाण प्रतिक्रिया के साथ बदल सकते हैं। इसका सबसे आम उदाहरण तब है जब कोई न्यूनतम चरण फ़िल्टर डिज़ाइन कर रहा है। इसमें आम तौर पर एक मौजूदा सिस्टम लेना और यूनिट सर्कल के अंदर डंडे और शून्य को प्रतिबिंबित करना शामिल है। यह केवल चरण प्रतिक्रिया को बदलता है, परिमाण प्रतिक्रिया नहीं।

— ब्रायन

Answer 1

एक तरीका आवृत्ति-डोमेन कम से कम वर्गों (FDLS) पद्धति का उपयोग करना होगा । असतत समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया के एक (जटिल) नमूने के एक सेट को देखते हुए, और डिजाइनर द्वारा चुना गया एक फिल्टर क्रम, एफडीएलएस विधि गुणांक के सेट के लिए हल करने के लिए रैखिक कम से कम वर्ग अनुकूलन का उपयोग करता है (जो सीधे ध्रुवों के सेट के लिए मैप करता है। और शून्य) उस प्रणाली के लिए जिसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया न्यूनतम कुल चुकता त्रुटि के साथ वांछित प्रतिक्रिया से मेल खाती है।

-th ऑर्डर लीनियर असतत-टाइम सिस्टम की आवृत्ति प्रतिक्रिया निम्नानुसार लिखी जा सकती है:$N$

$$H(\omega) = H(z)|_{z=e^{j\omega}}$$

जहां z डोमेन में सिस्टम का ट्रांसफर फंक्शन है । यह आमतौर पर तर्कसंगत प्रारूप में लिखा जाता है जो सिस्टम के अंतर समीकरण से सीधे आता है:$H(z)$$z$

$$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}$$

आवृत्ति प्रतिक्रिया इसलिए है:

$$H(\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}}$$

पाने के लिए उपरोक्त व्यवस्था करें:

$$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega} - H(\omega) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}\right) = 0$$

यह समीकरण अज्ञात प्रणाली अंतर समीकरण गुणांक b k और a k में रैखिक है । एक वांछित आवृत्ति प्रतिक्रिया एच ( ω ) को देखते हुए , हम गुणांक ढूंढना चाहते हैं जो उपरोक्त समीकरण को बिल्कुल ω के सभी मूल्यों के लिए मिलते हैं । सामान्य मामले के लिए, यह कठिन है। इसलिए इसके बजाय, हम एक सिस्टम के लिए गुणांक के एक सेट की खोज करेंगे जिसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया आवृत्तियों के असतत सेट पर वांछित प्रतिक्रिया का अनुमान लगाती है।$2N+1$$b_k$$a_k$$H(\omega)$$\omega$

$\omega_m \in [0, 2\pi), m = 0, 1, \ldots , M-1$$M > 2N+1$$M \gg 2N+1)$$\omega_k$

$$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega_k} - H(\omega_k) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega_k}\right) = 0$$

$H(\omega_k)$$\omega_k$$b_k$$a_k$$H(\omega)$

इस तकनीक के कुछ फायदे हैं:

• किसी भी मनमाने ढंग से जटिल (परिमाण और चरण) आवृत्ति प्रतिक्रिया को टेम्पलेट के रूप में उपयोग किया जा सकता है। यदि आपके पास केवल एक परिमाण बाधा है, तो आप केवल एक चरण प्रतिक्रिया चुन सकते हैं, जैसे कि रैखिक चरण।

• $a_k$

• तकनीक लागू करने के लिए बहुत सरल है और वांछित सिस्टम ऑर्डर के आधार पर आसानी से पैरामीटर करने योग्य है।

• $N$

यदि आवश्यक हो तो आप इस विधि को थोड़े कम से कम वर्ग के अनुकूलन का उपयोग करने के लिए बढ़ा सकते हैं; यह आपको आवृत्ति प्रतिक्रिया के क्षेत्रों को निर्दिष्ट करने की अनुमति देगा जिनकी अनुमानित त्रुटि दूसरों की तुलना में अधिक भारित है। यह आपको "न-केयर" क्षेत्रों में अधिक ढलान की अनुमति देते हुए अधिक कसने वाले पासबैंड / स्टॉपबैंड क्षेत्रों को नियंत्रित करने की अनुमति देता है।

Comments

बहुत बढ़िया जवाब !! कम से कम वर्ग त्रुटि के साथ फिल्टर डिजाइन करने में "कला" को ठीक से परिभाषित किया गया है कि वास्तव में "त्रुटि" क्या है। यह सही आवृत्ति ग्रिड को चुनने, विशिष्ट आवृत्तियों पर भार कारक और बैंड व्यवहार से बाहर के लिए और अधिक अवरोधों को जोड़ने और यूनिट सर्कल के अंदर अपने डंडे रखने के लिए नियंत्रित किया जाता है।

— हिलमार

इस संभावित समाधान के साथ समस्या यह है कि यदि चरण किसी मौजूदा हस्तांतरण फ़ंक्शन के बारे में अज्ञात है, तो एफडीएलएस गलत समाधान पर परिवर्तित हो सकता है यदि गलत चरण मान लिया गया है, चाहे कितना भी सही ढंग से आदेश का सही अनुमान लगाया जाए या परिमाण प्रतिक्रिया को मापा जाए।

— hotpaw2

@ hotpaw2: यह अपेक्षित है। यदि आप चरण प्रतिक्रिया के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं, तो अनंत संख्या में समाधान हैं जो समान रूप से मान्य हैं (यानी उनके पास सही परिमाण प्रतिक्रिया होगी)। आप सबसे उपयुक्त समाधान होने के लिए आपको जो कुछ भी करना चाहते हैं, उसकी ओर आपको कुछ जानकारी की आवश्यकता है।

— जेसन आर

@ जैसनआर: एकमात्र सही समाधानों के अंदर / बाहर पोल / जीरो को फ़्लिप करने की अनुमति होनी चाहिए, जो किसी भी (मौजूदा) परिमित आदेश प्रणाली के लिए एक परिमित संख्या है।

— hotpaw2

Answer 2

मेरे सहयोगियों के पास वेक्टर फिटिंग के बहुत अच्छे परिणाम हैं :

वेक्टर फिटिंग फ्रीक्वेंसी डोमेन में तर्कसंगत सन्निकटन के लिए एक मजबूत संख्यात्मक विधि है। यह एकल या एकाधिक इनपुट / आउटपुट सिस्टम दोनों के लिए मापा या कम्प्यूटेड आवृत्ति प्रतिक्रियाओं से सीधे राज्य अंतरिक्ष मॉडल की पहचान करने की अनुमति देता है। परिणामी सन्निकटन ने स्थिर ध्रुवों की गारंटी दी है जो वास्तविक हैं या जटिल संयुग्म जोड़े में आते हैं।

हम इसे एफआईआर से IIR रूपांतरण के लिए उपयोग करते हैं।

कम मांग वाले अनुप्रयोगों के लिए, आप निश्चित संख्या में डंडे और शून्य के लिए नॉनलाइनियर कम से कम वर्ग फिटिंग का उपयोग कर सकते हैं। यह के रूप में Matlab में लागू किया गया है invfreqsऔर invfreqz।

Answer 3

एक और दृष्टिकोण: आवृत्ति प्रतिक्रिया को प्लॉट करना और यथासंभव एक बोडे प्लॉट को फिट करना। यह एक अनुमानित समाधान के लिए बहुत जल्दी किया जा सकता है, या एक बेहतर फिट के लिए कुछ विस्तृत कम से कम वर्गों में। GTH