क्यों एक डायक कंघी का फूरियर रूपांतरण होता है?

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इसका मुझे कोई मतलब नहीं है, क्योंकि हाइजेनबर्ग असमानता में कहा गया है कि ~ 1। $\Delta t\Delta \omega$

इसलिए जब आपके पास समय में कुछ पूरी तरह से स्थानीय होता है, तो आपको आवृत्ति में पूरी तरह से वितरित कुछ मिलता है। इसलिए बुनियादी रिश्ता जहां है फूरियर को बदलने ऑपरेटर। $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ $\mathfrak{F}$

लेकिन डिराक कंघी के लिए , फूरियर ट्रांसफॉर्म को लागू करने के लिए, आपको एक और डिराक कंघी प्राप्त होती है। सहज रूप से, आपको दूसरी पंक्ति भी मिलनी चाहिए।

यह अंतर्ज्ञान विफल क्यों होता है?

fourier-transform

— कार्लोस - द मानगो - डेंजर
स्रोत

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मेरा मानना है कि गिरावट यह मानना है कि एक डीराक कंघी समय में स्थानीय है। ऐसा नहीं है क्योंकि यह एक आवधिक कार्य है और इस तरह इसकी आवृत्ति आवृत्ति के गुणकों में केवल असतत आवृत्ति बिंदुओं पर आवृत्ति घटक हो सकते हैं। इसमें एक निरंतर स्पेक्ट्रम नहीं हो सकता है, अन्यथा यह समय-समय पर नहीं होगा। किसी भी अन्य आवधिक कार्य की तरह, एक डायराक कंघी को फूरियर श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है, अर्थात जटिल घातीय के अनंत योग के रूप में। प्रत्येक जटिल घातांक एक अलग आवृत्ति पर आवृत्ति डोमेन में एक डीराक आवेग से मेल खाती है। इन Dirac आवेगों को समेटने से फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक Dirac कंघी मिलती है।

— मैट एल।
स्रोत

हाँ, न तो आवधिक कंघी अपने संबंधित स्वतंत्र चर (समय / आवृत्ति) में स्थानीय है।

— पीटर के.एच.

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आपका अंतर्ज्ञान विफल हो जाता है क्योंकि आप गलत मान्यताओं के साथ शुरू कर रहे हैं। हाइजेनबर्ग की अनिश्चितता वह नहीं कहती जो आप सोचते हैं कि यह कहता है। जैसा कि आप पहले से ही अपने प्रश्न में कहते हैं, यह एक असमानता है । सटीक होना, यह है

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

इस बात का कोई कारण नहीं है कि अनिश्चितता के उत्पाद को सभी संकेतों के लिए अपनी निचली सीमा के करीब होना चाहिए। वास्तव में, इस एकमात्र बाउंड को प्राप्त करने वाले एकमात्र संकेत गैबर परमाणु हैं। अन्य सभी संकेतों के लिए, यह बड़ा होने की उम्मीद करते हैं और संभवतः अनंत भी।

— Jazzmaniac
स्रोत

1

सही है, लेकिन मुख्य दोष यह सोचना है कि डायराक कंघी समय में स्थानीय होती है। यह नहीं है क्योंकि यह आवधिक है। तो अनिश्चितता प्रमेय डायराक कंघी के बारे में कुछ भी उपयोगी नहीं कहता है।

— मैट एल।

@ मैटल।, ऐसा नहीं है कि मैं मूल प्रश्न को कैसे समझता हूं। मुझे लगता है कि वह वास्तव में यह तर्क दे रहा है कि डेरेक ट्रेन अपने मूल डोमेन में पूरी तरह से विकसित है और इसलिए फूरियर को कुछ बहुत ही स्थानीयकृत में बदलना चाहिए।

— जैजमैनियाक

1

ठीक है, ऐसा लगता है कि एक गलतफहमी है कि ओपी का मतलब 'दूसरी लाइन ’से क्या है। मुझे लगा कि यह एक सपाट स्पेक्ट्रम को संदर्भित करता है (ठीक उसी तरह जैसे एक डायक आवेग के स्पेक्ट्रम को उसने पहले कहा था)। लेकिन आपने सोचा कि यह एक वर्णक्रमीय रेखा को संदर्भित करता है, अर्थात एक एकल आवृत्ति। कम से कम अब मैं समझता हूं कि आपका जवाब ओपी के सवाल का जवाब कैसे दे सकता है।

— मैट एल।

1

@ मैटल।, मैंने वास्तव में सोचा था कि जब वह "लाइन" लिखता है, तो डिराक वितरण का सामान्य चित्रमय प्रतिनिधित्व होता है। किसी भी मामले में, उसे स्पष्ट करना होगा क्योंकि प्रश्न को कम से कम दो अलग-अलग तरीकों से पढ़ा जा सकता है।

— जैजमैनियाक

1

ठीक है, "मानक" परिभाषा एक भौतिक कथन है जो गति और स्थिति अनिश्चितताओं (विशेष रूप से मानक विचलन) से संबंधित है और इसमें

है। और फिर भी, इस मामले में, आप को परिभाषित करने के क्या द्वारा "मतलब है है

" और "

"। वह स्थिरांक (जिसे आप

रूप में निर्दिष्ट करते हैं

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) एकता (लॉग स्केल में) से बहुत दूर नहीं किया जा सकता है, लेकिन यह होने की जरूरत नहीं

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

"के लिए एक विशिष्ट परिभाषा की वजह से सिवाय

" और "

"।

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

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इलेक्ट्रिकल इंजीनियर डीरेका डेल्टा फ़ंक्शन के साथ थोड़ा तेज़ और ढीला खेलते हैं, जो गणितज्ञों का कहना है कि एक फ़ंक्शन नहीं है (या कम से कम, "नियमित" फ़ंक्शन नहीं है, लेकिन "वितरण" है)। गणितीय तथ्य यह है कि यदि $f(t)=g(t)$ "लगभग हर जगह" (जो के हर मूल्य पर साधन $t$ असतत मूल्यों का एक गणनीय नंबर को छोड़ कर), तो

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ ।

अच्छी तरह से काम करता है $f(t)=0$ और $g(t)=\delta(t)$ बराबर पर छोड़कर हर जगह हैं $t=0$ , फिर भी हम बिजली के इंजीनियरों का कहना है कि उनके अभिन्न अलग हैं। लेकिन अगर आप इसे थोड़ा अलग करते हैं (और, मेरी राय में, गैर-व्यावहारिक) अंतर, आपके प्रश्न का उत्तर है:

डिराक कंघी समारोह
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ अवधि की एक आवधिक कार्य है $T$ और इसलिए एक फूरियर श्रृंखला है: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
यदि आप फूरियर श्रृंखला के गुणांक, $c_n$ , को बाहर निकालते हैं, तो आप:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

तो डायकर कंघी के लिए फूरियर श्रृंखला है

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

जिसका मतलब है कि आप समान आयाम के साइनसोइड्स के एक समूह को जोड़ सकते हैं।

एक एकल साइनस का फूरियर ट्रांसफॉर्म है:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

और फूरियर ट्रांसफॉर्म के संबंध में रैखिकता की यह संपत्ति है। बाकी सबूत पाठक के लिए एक अभ्यास है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

1

@ जैजमैनियाक, यह एक झूठ है। मैं कभी गणितज्ञों के प्रति कृपालु रहा हूं ? (मुझे लगता है कि आप थोड़ा सा प्रोजेक्ट कर रहे हैं।) BTW, 38 साल हो गए हैं क्योंकि मेरे पास स्नातक स्तर पर कार्यात्मक विश्लेषण के 2 सेमेस्टर हैं। सब कुछ याद नहीं है, लेकिन मुझे याद है कि एक मीट्रिक स्पेस क्या है, एक आदर्श मीट्रिक स्पेस (मुझे लगता है कि उन्हें कभी-कभी "Banach रिक्त स्थान" कहा जाता था), और आंतरिक उत्पाद स्थान (कभी-कभी "हिल्बर्ट स्पेस" कहा जाता है), और क्या a कार्यात्मक है (इनमें से किसी एक संख्या से नक्शे)। और मुझे पता है कि रैखिक स्थान क्या हैं। के बारे में

, मैं उन्हें नग्न जा रहा है कोई आपत्ति नहीं है।

δ (t)

$\delta(t)$

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

आप एक गलत तर्क के साथ चलते हैं जो यह बताता है कि गणितज्ञों को 1 नहीं मिलता है जब वे एक डिराक वितरण पर एकीकृत होते हैं। ठीक है, आप किसी भी बेहतर प्रदर्शन नहीं कर सकते हैं कि आप डिराक वितरण को समझ नहीं पाए हैं, भले ही आपने कार्यात्मक विश्लेषण पर एक वर्ग लिया हो। आपको गणित को "ठीक" करने के लिए इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों की आवश्यकता नहीं है। और जब तक आप इस तरह के गणितज्ञों के बारे में बात करना बंद नहीं कर देते हैं, तब तक मैं आपको इंगित करता रहूंगा। यह पूरी तरह से आपकी पसंद है।

— जैजमैनियाक

यह झूठ है, भी, @ जैजमैनियाक। मैं यह कह रहा हूं कि, गणितज्ञ हमें जो बताते हैं, उसके अनुरूप , डीरेका डेल्टा फ़ंक्शन वास्तव में एक फ़ंक्शन नहीं है (भले ही हम इलेक्ट्रिकल इंजीनियर उस अंतर के बारे में चिंता नहीं करते हैं और इससे निपटते हैं जैसे कि यह एक फ़ंक्शन था) क्योंकि अगर यह एक थे फ़ंक्शन जो लगभग हर जगह शून्य था, अभिन्न शून्य होगा। आप मुझे गलत क्यों पेश कर रहे हैं? कुल्हाड़ी क्या है जिसे आप पीस रहे हैं?

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन 20

@ robertbristow-johnson "इलेक्ट्रिकल इंजीनियर डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के साथ थोड़ा तेज़ और ढीला खेलते हैं।" पॉल डिराक एक इलेक्ट्रिकल इंजीनियर थे। क्लॉड शैनन एक इलेक्ट्रिकल इंजीनियर भी थे। मैं आपको इस तरह के सामान्य और गलत बयान देने से रोकता हूं। आप एक विद्युत इंजीनियर होने का दावा करते हैं और वितरण सिद्धांत को स्पष्ट रूप से समझते हैं।

— मार्क वियोला

रैखिक सिस्टम थ्योरी या सिग्नल एंड सिस्टम्स या कुछ इसी तरह के नाम पर लगभग हर स्नातक इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग पाठ्यपुस्तक , डायस डेल्टा को "नवजात डेल्टा" के सीमित मामले के रूप में पेश करेगा और उसका इलाज करेगा । उदाहरण के लिए:

या कुछ अन्य इकाई क्षेत्र नाड़ी समारोह है कि आप पतला कर सकते हैं। : मैं हैरान होता नहीं किया है कि प्रकाशित पत्रों में, शैनन या डिराक (कि पता नहीं था) की तरह लोगों को रूढ़िवादी तथ्यों के साथ छड़ी होगी

और

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

।

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

मैं एक अंतर्ज्ञान देने की कोशिश करूंगा। जिस तरह से हम शायद सोच सकते हैं: "एक Dirac डेल्टा हमें एक 1 आवृत्ति डोमेन में देता है। अब मैं अनंत संख्या में Dirac डेल्टा देता हूं। क्या मुझे एक उच्चतर डीसी नहीं मिलना चाहिए?" अब देखते हैं कि क्या फ्रीक्वेंसी डोमेन (FD) में डायराक कंघी में वर्णित उन सभी फ्रिक्वेंसी कंपोनेंट्स को जोड़कर हमें टाइम डोमेन (TD) में एक और डिराक कंघी मिलती है। हम निरंतर तरंगों को जोड़ रहे हैं और असतत बिंदुओं पर डेल्टास प्राप्त कर रहे हैं। अजीब लगता है।

$\omega_0$ $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$

$t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

$cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ $\pi$ $cos(kn)$ $cos(kn)$ $k = 2\pi$

$t=t_0 \neq 2r\pi$ $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ $t=t_0$ $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$

— सुब्रमण्यन टी.आर.
स्रोत