एक 1D सिग्नल की एक कन्वेंशन समस्या का समाधान

Question

मैं इस अभ्यास को हल करने की कोशिश कर रहा हूं। मुझे इस संकेत के संकल्प की गणना करनी है:

$$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$$

कहाँ पे $u(t)$ हैवीसाइड फ़ंक्शन है

अच्छी तरह से मैंने उस सूत्र को लागू किया है जो कहता है कि इन दो सिग्नलों का दृढ़ीकरण बराबर है

$$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$$

कहाँ पे $X(f)$ पहला संकेत का फूरियर रूपांतरण है $W(f)$ दूसरे सिग्नल का फूरियर ट्रांसफॉर्म है

अच्छी तरह से फूरियर रूपांतरण $e^{-kt}u(t)$ है

$$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$$

मुझे जितना संभव हो उतना दूसरा संकेत देना होगा $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

इसलिए मैं यह ऑपरेशन करता हूं:

$$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$$ यह बराबर है $${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$$

सही है या नहीं?

Comments

मुझे सही लगता है। एक चेतावनी- sinc की कुछ परिभाषाओं में पैरामीटर में pi शामिल है, जैसा कि आपने किया है, और कुछ इसे मानते हैं (यानी उन्होंने sinc (t / 10) लिखा होगा)। या तो एक ठीक है, जब तक आप समझते हैं कि आप क्या कर रहे हैं।

— जिम क्ले

यह भी ध्यान रखें कि उलटा फूरियर को बदलने की$Y(f)$आप चाहते हैं कि दृढ़ संकल्प परिणाम है। समय डोमेन में कनवल्शन के बीच के द्वंद्व का उपयोग करना और फ़्रीक्वेंसी डोमेन में गुणा करना जरूरी नहीं कि आप प्रतिलोमन परिणाम को निर्धारित करने के लिए विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित करने में मदद करेंगे, अगर उलटा रूपान्तरण करना कठिन है।

— जेसन आर

Answer 1

भले ही मुझे एहसास हो कि यह बहुत देर से प्रतिक्रिया है, फिर भी मैं इस सवाल का जवाब देने की कोशिश करूंगा क्योंकि मुझे यह शिक्षाप्रद लगता है और इसलिए भी कि अपवित्रों की संख्या बताती है कि यह सवाल समुदाय के लिए सामान्य हित का है।

जैसा कि पहले से ही प्रश्न में सुझाया गया है, दो संकेतों को परिभाषित करते हैं $x(t)$ तथा $w(t)$ जैसा

$$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$$

दृढ़ संकल्प की एक संभावित व्याख्या $(x*w)(t)$ यह एक घातीय संकेत है $x(t)$ आवेग प्रतिक्रिया के साथ एक आदर्श लोपास फ़िल्टर द्वारा फ़िल्टर किया जाता है $w(t)$। सवाल में यह भी सही ढंग से बताया गया था कि टाइम डोमेन में कनवल्शन फ़्रीक्वेंसी डोमेन में गुणा से मेल खाती है। फूरियर का अभिन्न अंग$x(t)$ आसानी से गणना की जा सकती है:

$$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$$

के फूरियर रूपांतरण $w(t)$परिचित होना चाहिए क्योंकि यह एक आदर्श लोपास फ़िल्टर है। प्रश्न में Sinc फ़ंक्शन की परिभाषा के संबंध में कुछ भ्रम था। मेरा सुझाव है कि कट-ऑफ फ़्रीक्वेंसी के साथ एकता के लाभ को कम करने वाले फिल्टर के आवेग प्रतिक्रिया को बस याद रखें$\omega_0=2\pi f_0$ Sinc फ़ंक्शन की किसी भी परिभाषा का उपयोग किए बिना:

$$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$$

की परिभाषा के साथ तुलना (1) $w(t)$, हम देखते है कि $w(t)$ बस कट-ऑफ फ्रीक्वेंसी के साथ एक यूनिटी गेन लोपास फ़िल्टर है $\omega_0=\pi/10$:

$$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$$ जहाँ मैंने स्टेप फंक्शन का उपयोग किया है $u(\omega)$ आवृत्ति डोमेन में।

ताकि समय का पता चल सके $y(t)=(x*w)(t)$ एक उलटा फूरियर रूपांतरण की गणना कर सकते हैं $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$:

$$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$$

दुर्भाग्य से, प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके इस अभिन्न का कोई बंद रूप समाधान नहीं है। यह घातीय अभिन्न का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है$\text{Ei}(x)$, या, वैकल्पिक रूप से, साइन और कोसाइन इंटीग्रल्स $\text{Si}(x)$ तथा $\text{Ci}(x)$। इसलिए मुझे नहीं लगता है कि अभ्यास का उद्देश्य वास्तव में दृढ़ संकल्प की गणना करना था, लेकिन इसका उद्देश्य संभवतः एक गुणात्मक विवरण के साथ आना था जो कि चल रहा है (एक आदर्श लोअर फ़िल्टर द्वारा घातांक संकेत)।

फिर भी, मैंने सोचा कि संकेत पर एक नज़र रखना शिक्षाप्रद होगा $y(t)$, इसलिए मैंने मापदंडों के लिए संख्यात्मक रूप से इसका मूल्यांकन किया $k=0.05$ तथा $\omega_0=\pi/10$। निम्नलिखित आंकड़ा परिणाम दिखाता है:

हरे रंग की वक्र इनपुट संकेत है $x(t)$ और नीला वक्र फ़िल्टर्ड सिग्नल है $y(t)$। (गैर-कारण) के तरंगों पर ध्यान दें$y(t)$ के लिये $t<0$आदर्श (गैर-कारण) लोपास फ़िल्टर के कारण। यदि हम लोवर फिल्टर की कट-ऑफ आवृत्ति बढ़ाते हैं, तो इनपुट सिग्नल की विकृति छोटी हो जाती है। यह अगले आंकड़े में दिखाया गया है जहां मैंने 10 के कारक द्वारा कट-ऑफ आवृत्ति को बढ़ा दिया है, अर्थात$\omega_0=\pi$ (के बजाय $\pi/10$):

Comments

शायद एक बेहतर व्याख्या एक गंभीर फ़ंक्शन इनपुट होगा जो एक भौतिक-वास्तविक रूप से पहले-क्रम वाले कम-पास फिल्टर पर लागू होता है जिसकी आवेग प्रतिक्रिया क्षयकारी घातीय है?

— दिलीप सरवटे

यकीन है कि एक और वैध व्याख्या है, लेकिन बेहतर क्यों? ठीक है, सिस्टम को महसूस किया जा सकता है लेकिन इनपुट सिग्नल को नहीं। एक आदर्श लोपास फ़िल्टर एक मानक प्रणाली है जिसका अक्सर विश्लेषण किया जाता है और इसका उपयोग शिक्षाप्रद उद्देश्यों के लिए किया जाता है, हालांकि इसे महसूस नहीं किया जा सकता है। वैसे भी, सौभाग्य से परिणाम एक ही है :)

— मैट एल