क्यों DFT ट्रांसफॉर्म किए गए सिग्नल को आवधिक मानता है?

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कई सिग्नल प्रोसेसिंग पुस्तकों में, यह दावा किया जाता है कि डीएफटी आवधिक संकेत को आवधिक मानता है (और यही कारण है कि उदाहरण के लिए वर्णक्रमीय रिसाव हो सकता है)।

अब, यदि आप DFT की परिभाषा को देखते हैं, तो इस तरह की कोई धारणा नहीं है। हालांकि, विकिपीडिया लेख में असतत समय फूरियर रूपांतरण (DTFT) के बारे में, यह कहा गया है कि

इनपुट डेटा अनुक्रम जब है बदलने -periodic, Eq.2 computationally एक असतत फूरियर को कम किया जा सकता (एफ टी) $x[n]$ $N$

तो, क्या यह धारणा DTFT से उपजी है?
दरअसल, डीएफटी की गणना करते समय, क्या मैं वास्तव में डीटीएफटी की गणना इस धारणा के साथ कर रहा हूं कि संकेत आवधिक है?

discrete-signals signal-analysis dft

— user10839
स्रोत

क्योंकि DFT X [k] का x [n] आवधिक संकेत xp [n] के असतत फूरियर श्रृंखला (DFS) की पहली अवधि है जिसका पहला काल x [n] के रूप में लिया गया है

— Fat32

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ऐसा लगता है कि मुझे इस पर असंतोषजनक उत्तर लिखना होगा। डीएफटी ने माना कि परिवर्तित सिग्नल आवधिक है क्योंकि यह तब्दील सिग्नल के आधार कार्यों का एक सेट फिट कर रहा है, जो सभी आवधिक हैं।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

डीएफटी, डीएफएस की केवल सरलीकृत अभिव्यक्ति है, इस प्रकार आवधिक धारणा अंतर्निहित है।

— lxg

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पहले से ही कुछ अच्छे उत्तर हैं, लेकिन मुझे अभी भी ऐसा लगता है कि एक और स्पष्टीकरण दिया गया है, क्योंकि मैं इस विषय को डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के कई पहलुओं की समझ के लिए बेहद महत्वपूर्ण मानता हूं।

सबसे पहले यह समझना महत्वपूर्ण है कि डीएफटी रूपांतरित होने के लिए संकेत की आवधिकता को 'ग्रहण' नहीं करता है। DFT को केवल लंबाई परिमित संकेत पर लागू किया जाता है और इसी DFT गुणांकों को परिभाषित किया जाता है $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1 \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$

(1) से यह स्पष्ट है कि अंतराल में केवल नमूनों पर विचार किया जाता है, इसलिए कोई आवधिकता नहीं माना जाता है। दूसरी ओर, गुणांक व्याख्या सिग्नल के आवधिक निरंतरता के फूरियर गुणांक के रूप में की जा सकती है । इसे उलटा रूपांतर से देखा जा सकता है $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $x[n]$

\begin{matrix} (2) & x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N} \end{matrix}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$

जो अंतराल में सही ढंग से गणना करता है, लेकिन यह इस अंतराल के बाहर इसकी आवधिक निरंतरता की भी गणना करता है क्योंकि (2) का दायां हाथ पीरियड साथ आवधिक है । यह संपत्ति डीएफटी की परिभाषा में निहित है, लेकिन इसे हमें परेशान करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि आम तौर पर हम केवल अंतराल में रुचि रखते हैं । $x[n]$ $[0,N-1]$ $N$ $[0,N-1]$

के डीटीएफटी को ध्यान में रखते हुए $x[n]$

\begin{matrix} (3) & X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j n ω} \end{matrix}

$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$

(1) के साथ तुलना करके हम देख सकते हैं, कि अगर अंतराल में एक परिमित अनुक्रम है , DFT गुणांक DTFT नमूने हैं : $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (4) & X [k] = X (2 π k / N) \end{matrix}

$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$

तो डीएफटी के नमूनों की गणना के लिए डीएफटी का एक उपयोग (लेकिन निश्चित रूप से केवल एक ही नहीं) है। लेकिन यह केवल तभी काम करता है जब सिग्नल का विश्लेषण परिमित लंबाई का हो । आमतौर पर इस परिमित लंबाई के संकेत का निर्माण दीर्घ संकेत को अंकित करके किया जाता है। और यह यह खिड़की है जो वर्णक्रमीय रिसाव का कारण बनता है।

एक आखिरी टिप्पणी, नोट के रूप में है कि समय-समय पर जारी रखने की DTFT के परिमित अनुक्रम की एफ टी गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (5) & \tilde{x} [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \tilde{X} (ω) = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$

संपादित करें: ऊपर दिए गए तथ्य यह है कि और एक DTFT रूपांतरण जोड़ी हैं, इस प्रकार दिखाई जा सकती हैं। पहले ध्यान दें कि असतत समय आवेग कंघी का DTFT एक डायैक कंघी है: $\tilde{x}[n]$ $\tilde{X}(\omega)$

\begin{matrix} (7) & \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] ⟺ \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$

अनुक्रम एक आवेग कंघी के साथ के दृढ़ संकल्प के रूप में लिखा जा सकता है : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (8) & \tilde{x} [n] = x [n] ⋆ \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$

चूँकि कन्ट्रोवर्सी DTFT डोमेन में गुणा से मेल खाती है, DTFT of को के गुणन द्वारा डायराक कंघी के साथ दिया जाता है : $\tilde{X}(\omega)$ $\tilde{x}[n]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{X} (ω) & = X (ω) \cdot \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \\ = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) δ (ω - 2 π k / N) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$

मेल के साथ परिणाम स्थापित करता है । $(9)$ $(4)$ $(6)$

— मैट एल।
स्रोत

नीचे इस जवाब को उसी कारण से दिया गया है जब मेरे पास @ hotpaw2 का हालिया उत्तर है। इस कथन में: "से (1) यह स्पष्ट है कि अंतराल में केवल नमूने को माना जाता है, इसलिए कोई आवधिकता नहीं माना जाता है।" $x[n]$ $[0,N−1]$ निष्कर्ष का पालन नहीं करता है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

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@ रोबर्टब्रिस्टो-जॉनसन: यह करता है। मुझे लगातार नमूने दें , और मैं आपको डीएफटी देता हूं। मुझे सीमा के बाहर सिग्नल के बारे में कुछ भी कहने की आवश्यकता नहीं है , इसके अस्तित्व की भी नहीं। यह केवल एक चीज है जो मैं उस वाक्य में दावा करता हूं, और यह स्पष्ट रूप से सच है। DFT की गणना के लिए मुझे अंतराल में मानों को छोड़कर कुछ भी जानने की आवश्यकता नहीं है । सुनिश्चित नहीं है कि आप मेरे कथन को कैसे गलत या गलत समझ सकते हैं। यदि यह एक सूत्रीकरण का मुद्दा है, तो मुझे अपनी सजा को स्पष्ट करने में खुशी होगी, लेकिन सामग्री-वार यह वास्तव में तुच्छ है।

N

$N$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

— मैट एल।

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नीचे दिए गए अन्य उत्तर और दूसरे धागे पर मेरा उत्तर पढ़ें। यह क्या बारे में नहीं है आप के बारे में मान के बाहर । यह परिवर्तन के बारे में क्या है "मानता है" (यदि हमें थोड़ा सा एंथ्रोपोमोर्फाइज़ करने की अनुमति है) बारे में । जब हम एक डोमेन में एक ऑपरेशन का आह्वान करते हैं तो पता चलता है कि एक डोमेन में एक ऑपरेशन को कैसे लागू किया जाता है जो दूसरे डोमेन को एक पूर्णांक राशि से स्थानांतरित करता है।

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

@MattL। (9) पढ़ना चाहिए बजाय

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/ N)\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

— jomegaA

@jomegaA: दोनों मामलों में नहीं। जैसा कि मेरे उत्तर के अंतिम वाक्य में कहा गया है, अंतिम परिणाम (6) (4) के साथ संयोजन (9) से निष्कर्ष निकाला गया है, इसलिए बेशक , लेकिन (9 में) ) यह DTFT । और स्केलिंग फैक्टर , यह निश्चित रूप से होना चाहिए। अभिव्यक्ति को भ्रमित न करें और का उपयोग करते हुए , उनके अलग-अलग स्केलिंग कारक हैं।

X [k] = X (2 π k / N)

$X[k]=X(2\pi k/N)$

X (ω)

$X(\omega)$

2 π / N

$2\pi/N$

ω

$\omega$

f

$f$

— मैट एल।

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यह समय डोमेन सिग्नल की परिभाषा से आता है:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

आप परिभाषा के द्वारा देख सकते हैं कि । दूसरी ओर डीएफटी पूरी तरह से सिग्नल के एन नमूने को फिर से संगठित करता है। इसलिए आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक आवधिक निरंतरता है। $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$

देखने का एक और बिंदु डीएफटी को एक फ़िनिट डिसक्रीट फ़ॉयर सीरीज़ के रूप में देख रहा होगा (यह वास्तव में है, डिस्क्रेट फ़ॉयर सीरीज़ - डीएफएस पर एक नज़र डालें ), जो निश्चित रूप से इंगित करता है कि संकेत आवधिक है (पीरियड साथ संकेतों का परिमित योग ) एक संकेत जो एक अवधि ) है। $T$ $T$

— Royi
स्रोत

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मैं यह नहीं देखता कि यह परिभाषा से कैसे आता है।

— user10839

1

@ user10839: बस मूल्यांकन करें और आप देखेंगे कि यह बराबर है । जैसा कि उत्तर में कहा गया है, डीएफटी समय डोमेन सिग्नल की सिर्फ एक फूरियर श्रृंखला है। समय डोमेन सिग्नल की परिमित लंबाई को मूलभूत अवधि माना जाता है।

x [n + N]

$x[n+N]$

x [n]

$x[n]$

— मैट एल।

@ user10839, इसे समीकरण में प्लग करें। प्रतिपादक को कोसाइन और साइन फंक्शन के साथ परिभाषित किया जा सकता है, जिसे देखा जा सकता है कि पीरियड ।

\frac{n k}{N}

$\frac{nk}{N}$

— रॉय

1

DFT DFS नहीं है। यह पांडित्य है, लेकिन डीएफटी आपको फूरियर श्रृंखला गुणांक देता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि डीएफटी किसी भी अन्य रैखिक परिवर्तनों की तरह है। यह एक मैट्रिक्स गुणा है। मैट्रिक्स सजावटी है, जो इसे अच्छा बनाता है। यह भी दिखाया जा सकता है कि डेटा के संगत फूरियर श्रृंखला विस्तार के बराबर गुणांक, लेकिन फूरियर रूपांतरण फूरियर श्रृंखला (प्रकार बेमेल: पी) नहीं है।

— thang

@ थंग, मुझे नहीं पता कि आपका क्या मतलब है। DFT DFS है। वह एक जैसे है। यह देखना आसान है। ध्यान दें, यह असतत फूरियर श्रृंखला है न कि फूरियर श्रृंखला (अभिन्न के साथ)। यहाँ एक नज़र है। enikwipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_series और देखें कि यह DFT है।

— रॉय

5

यह एक गैर-जरूरी (और अक्सर गलत) धारणा है। DFT एक परिमित वेक्टर का केवल एक आधार परिवर्तन है।

डीएफटी के आधार वैक्टर सिर्फ अनन्त रूप से एक्स्टेंसिबल आवधिक कार्यों के स्निपेट्स होते हैं। लेकिन जब तक आप DFT एपर्चर के बाहर आधार वैक्टर का विस्तार नहीं करते हैं, DFT इनपुट या परिणामों के बारे में कुछ भी आवधिक नहीं है। सिग्नल विश्लेषण के कई रूपों को नमूना विंडो या परिमित डेटा वेक्टर के बाहर किसी भी विस्तार या मान्यताओं की आवश्यकता नहीं होती है।

किसी भी "रिसाव" कलाकृतियों को एक संकेत के साथ डिफ़ॉल्ट आयताकार खिड़की के एक दृढ़ संकल्प से भी माना जा सकता है जो आवधिक नहीं है या अज्ञात आवधिकता या स्थिरता का है। ओवरलैप्ड एफएफटी खिड़कियों का विश्लेषण करते समय यह बहुत अधिक समझ में आता है, जहां किसी एक डीएफटी या एफएफटी विंडो के बाहर आवधिकता की कोई भी धारणा अन्य विंडो में डेटा के साथ असंगत हो सकती है।

समय-समय पर डीटीएफ से संबंधित गणित को डीटीएफटी से अधिक ट्रैक्टेबल बनाया जा सकता है। लेकिन DTFT के लिए कोई भी संबंध तब आवश्यक नहीं हो सकता है जब वास्तव में सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए FFT का उपयोग किया जाता है (प्रसंस्करण विधि के आगे के विश्लेषण के लिए वास्तव में फूरियर रूपांतरण गुण आवश्यक हैं) पर निर्भर करता है।

— hotpaw2
स्रोत

इसी कारण से मैंने इस बारे में आपके और हालिया जवाब को छोड़ दिया।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

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ठीक है, मेरा उत्तर अन्य उत्तरों की तुलना में कुछ अलग होगा। मेरा उत्तर प्रश्न के आधार को अस्वीकार करने के बजाय प्रश्न के आधार को स्वीकार करता है।

कारण यह है कि डीएफटी इनपुट सिग्नल (ट्रांसफॉर्म किए जाने वाले सिग्नल को "मानता है, जिसे मैं" ट्रांसफॉर्म्ड सिग्नल "द्वारा ओपी का अर्थ मानता हूं) आवधिक है क्योंकि डीएफटी उस इनपुट सिग्नल के आधार कार्यों का एक संग्रह फिट बैठता है, जिसमें से सभी आवधिक हैं।

आधार कार्यों के एक अलग सेट पर विचार करें:

g_{k} (u) ≜ u^{k} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$

और दिए गए इनपुट नमूने: $N$

x [n] 0 \leq n < N

$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$

हम इनपुट अनुक्रम में इन आधार कार्यों एक रेखीय योग को फिट कर सकते हैं $g_k(n)$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] n^{k} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$

गुणांक विवेकपूर्ण चयन के साथ । सभी की गणना को सुलझाने की आवश्यकता है के साथ समीकरण रैखिक अज्ञात। आप इसे करने के लिए गाऊसी उन्मूलन का उपयोग कर सकते हैं । $X[k]$ $X[k]$ $N$ $N$

लिए सही मानों के साथ , हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि इन पावर फ़ंक्शंस का योग (जो कि th-order बहुपद है) का सही मूल्यांकन करेगा प्रत्येक ऐसा है कि । $N$ $X[k]$ $0 \le k \le N-1$ $(N-1)$ $x[n]$ $n$ $0 \le n \le N-1$

अब क्या होगा अगर आप के अंतराल से आगे जाने के लिए उस योग का उपयोग करते हैं ? आप किसी भी लिए इसका मूल्यांकन कर सकते हैं । आप देखेंगे कि उस फ़ंक्शन का व्यवहार एक वें-क्रम बहुपद का होगा क्योंकि यह वही है। के लिए बड़ा पर्याप्त, केवल एक गैर शून्य गुणांक के साथ सर्वोच्च शक्ति के लिए extrapolated प्रवृत्ति सेट हो जाएगा । $0 \le n \le N-1$ $n$ $(N-1)$ $n$ $x[n]$

तो अब, DFT के साथ हम अपने इनपुट अनुक्रम के आधार कार्यों का एक अलग सेट फिट कर रहे हैं:

g_{k} (u) ≜ \frac{1}{N} e^{+ j 2 π k u / N} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π n k / N} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$

और गुणांक, , के लिए हल किया जा सकता है और हैं: $X[k]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$

उस का प्लेसमेंट सम्मेलन का विषय है। मैं इसे वहां रख रहा हूं, जहां अधिकांश साहित्य फैक्टर लगाते हैं । इसे समीकरण से हटाया जा सकता है और इसके बजाय समीकरण में रखा जा सकता है। या इसके "आधे" ( ) को दोनों समीकरणों के साथ रखा जा सकता है। यह सिर्फ सम्मेलन की बात है। $\frac{1}{N}$ $\frac{1}{N}$ $x[n]$ $X[k]$ $\sqrt{\frac{1}{N}}$

लेकिन यहाँ हम आधार कार्यों है कि सभी की अवधि के साथ समय-समय पर कर रहे हैं का एक सेट फिटिंग कर रहे हैं करने के लिए मूल । इसलिए भले ही लम्बा क्रम से आया है समय-समय पर नहीं था, एफ टी विचार कर रहा है कि आधार कार्यों का एक समूह का योग है प्रत्येक उस अवधि के साथ समय-समय पर कर रहे हैं । यदि आप आवधिक कार्यों का एक गुच्छा जोड़ते हैं, तो सभी समान अवधि के साथ, समयावधि भी आवधिक होनी चाहिए। $N$ $x[n]$ $x[n]$ $x[n]$ $N$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

थोड़े अधिक पोलिमिक के लिए, जहां मैं इस धारणा को विवादित करता हूं कि डीएफटी जरूरी समय-समय पर इसे पारित किए गए डेटा का विस्तार नहीं करता है, कृपया मुझे इस पिछले जवाब को देखें । मैं इसे यहाँ दोहराना नहीं चाहूंगा।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

डीएफटी असतत है। DTFT निरंतर है। हम सही समय की पल्स ट्रेन से सैंपल लेकर डीटीएफटी से डीएफटी प्राप्त कर सकते हैं, जो वास्तव में इसे पल्स ट्रेन के साथ गुणा करने के बराबर है। ट्रांसफ़ॉर्मेशन डोमेन में गुणा असतत-टाइम डोमेन में कनवल्शन के बराबर होता है, यह सिग्नल की आवधिकता को दर्शाता है।

— सिखाने वाला
स्रोत

DTFT निरंतर है? कैसे?

— jojek

2

DTFT का परिणाम निरंतर (आवृत्ति में) है।

— एच.डी.

वास्तव में - इस प्रकार आपको किसी भी गलतफहमी से बचने और पर्याप्त समीकरणों की आपूर्ति करने के लिए इसे स्पष्ट रूप से बताना चाहिए।

— jojek

@jojek यह सच है, मुझे भी लगता है कि यह उत्तर कुछ समीकरणों से सुधारा जा सकता है

— Deve

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बीमार बहुत जल्द अधिक विवरण जोड़ते हैं।

— शिक्षार्थी

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केवल डीएफटी डिजिटल दुनिया में व्यावहारिक है क्योंकि दोनों डोमेन पर आवधिक धारणा है। (यदि आप इसे ऐसा कहते हैं।) क्योंकि एक डोमेन पर गैर आवधिक संकेत दूसरे पर निरंतर संकेत का कारण बनता है और आप केवल डिजिटल मेमोरी में असतत संकेत संग्रहीत कर सकते हैं। तो आपको यह मानने की आवश्यकता है कि दोनों डोमेन पर संकेत समय-समय पर दोनों डोमेन पर असतत हैं।

जब आप DTFT की गणना करते हैं तो आपको आउटपुट के रूप में फ़्रीक्वेंसी डोमेन में निरंतर सिग्नल मिलता है।
मुझे नहीं लगता कि जब आप व्यावहारिक में डीएफटी की गणना करते हैं तो आप उसी प्रक्रिया का उपयोग करेंगे। जब आप वास्तव में डीटीएफटी और डीएफटी दोनों की गणना करते हैं, तो आप समझेंगे कि दोनों रूपांतरण गणना अलग-अलग कहानियां हैं।

— जिज्ञासु सैम
स्रोत

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चूंकि सिग्नल आवधिक है, इसलिए टाइम शिफ्ट सिग्नल आवृत्ति डोमेन के पूर्ण परिमाण को नहीं बदलता है।

X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

e^{\frac{- 2 π i D k}{N}} X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n - D] e^{\frac{2 π i n k}{N}} e^{\frac{- 2 π i D k}{N}}

${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$

वैसे, आपको गैर-आवधिक संकेत के एफएफटी लेने से कुछ भी नहीं रोक रहा है, लेकिन यदि कोई भी परिवर्तन काम नहीं करता है तो यह बहुत कम व्यावहारिक उपयोग है।

— FreedomToWin
स्रोत