मल्टीरेट फ़िल्टरिंग बुनियादी बातों को समझना

Question

मुझे मल्टीरेट फ़िल्टरिंग की कुछ मूलभूत अवधारणाओं को समझने में परेशानी हो रही है। मैं विभिन्न स्रोतों से देखता हूं कि मल्टीरेट फ़िल्टर के बुनियादी बिल्डिंग ब्लॉक डियाडिक विश्लेषण और संश्लेषण ब्लॉक हैं।

• प्रश्न 1 :

  विश्लेषण ब्लॉक की संरचना निम्न की तरह दिखती है, जहां चौड़े बैंड सिग्नल को निम्न और हाईपास बैंड में विभाजित किया जाता है, प्रत्येक को FS / 4 (Nyquist / 2) की कटऑफ के साथ। प्रत्येक बैंड को फिर 2 के कारक से हटा दिया जाता है।

  

  उच्च आवृत्ति बैंड में आप सिग्नल का सही प्रतिनिधित्व कैसे कर सकते हैं जब इसमें नई डिकम्पलेटेड नमूना दर की Nyquist सीमा के ऊपर आवृत्ति जानकारी होती है?

• प्रश्न 2 :

  विश्लेषण ब्लॉक की संरचना निम्नलिखित की तरह दिखती है, जहां उप-बैंड सिग्नल को प्रक्षेपित किया जाता है, फिर से फ़िल्टर किया जाता है और फिर सारांशित किया जाता है।

  

  दूसरे फ़िल्टरिंग का उद्देश्य क्या है?

Comments

सामान्यीकृत Nyquist प्रमेय "आपको बैंडविड्थ के प्रति कम से कम दो नमूनों की आवश्यकता है"। यदि आपका सिग्नल 999000Hz से 1001000 Hz तक चला जाता है, तो आवश्यक नमूना दर केवल 4kHz है, भले ही सभी आवृत्तियों में बहुत अधिक हो।

— हिलमार

अब मैं देखता हूं कि "प्रति हर्ट्ज ऑफ़ बैंडविड्थ" यहाँ कुंजी है जो मुझे याद आ रही थी।

— learnvst

Answer 1

मैं पहले प्रश्न 2 का उत्तर दूंगा, और उम्मीद है कि यह समझाने में मदद करेगा कि प्रश्न 1 के साथ क्या हो रहा है।

जब आप एक बेसबैंड सिग्नल का नमूना लेते हैं, तो नमूना आवृत्ति के सभी पूर्णांक गुणकों में बेसबैंड सिग्नल के निहित उपनाम होते हैं, जैसा कि नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है। ठोस छवि मूल बेसबैंड सिग्नल है, और उपनामों को धराशायी छवियों द्वारा दर्शाया जाता है। मैंने नमूना के आवृत्ति के विषम गुणकों पर होने वाले व्युत्क्रम को प्रदर्शित करने में मदद करने के लिए एक एसिमेट्रिक (यानी जटिल) संकेत चुना।

आप पूछ सकते हैं, "क्या उपनाम वास्तव में मौजूद हैं?" यह थोड़ा दार्शनिक सवाल है। हां, एक गणितीय अर्थ में वे मौजूद हैं, क्योंकि सभी उपनाम (बेसबैंड सिग्नल सहित) एक दूसरे से अप्रभेद्य हैं।

जब आप मूल नमूनों के बीच में शून्य डालकर अपसाइड करते हैं, तो आप प्रभावी रूप से अपंग दर द्वारा नमूना दर बढ़ा रहे हैं। इसलिए यदि आप दो के एक कारक (प्रत्येक नमूने के बीच में एक शून्य डालते हैं) के द्वारा अपक्षय करते हैं, तो आप अपने नमूने की दर और 2 के कारक द्वारा Nyquist दर को बढ़ाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप नीचे दी गई तस्वीर है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले की छवि में निहित उपनामों में से एक अब स्पष्ट हो गया है। यदि आप FFT नमूनों को यह दिखाएगा। एक गैर-कठोर प्रमाण जो डीएफटी परिवर्तन को मौलिक रूप से नहीं बदलता है, नीचे दिया गया है।

अब जब आपके पास दो स्पष्ट उपनाम हैं, यदि आप बस बेसिन उर्फ ​​चाहते हैं तो आपको अन्य उपनामों से छुटकारा पाने के लिए कम-पास फिल्टर करना होगा। कभी-कभी, हालांकि, लोग अन्य उपनामों का उपयोग उनके लिए अपने मॉडुलेटिंग करने के लिए करते हैं। उस मामले में आप बेसबैंड सिग्नल से छुटकारा पाने के लिए उच्च-पास फ़िल्टर करेंगे। मुझे उम्मीद है कि सवाल 2 का जवाब।

प्रश्न 1 मूल रूप से प्रश्न 2 का विलोम है। मान लीजिए कि आप पहले से ही दूसरी तस्वीर में दिखाई गई स्थिति में हैं। बेसबैंड सिग्नल प्राप्त करने के दो तरीके हैं जो आप चाहते हैं। पहला तरीका कम-पास फिल्टर (जिससे उच्च उर्फ ​​से छुटकारा मिल जाता है) और फिर दो के एक कारक द्वारा विघटित होता है। यह आपको चित्र # 1 में मिलता है।

दूसरा तरीका है हाई-पास फिल्टर (बेसबैंड उर्फ ​​से छुटकारा पाना) और फिर दो के एक कारक द्वारा डिकिमेट करना। यह काम करने का कारण यह है कि आप जानबूझकर बेसबैंड में सिग्नल को अलियास कर रहे हैं, इस प्रकार, एक बार फिर, आपको # 1 चित्र प्राप्त करने के लिए।

आप इसे इस तरह से क्यों करना चाहेंगे? क्योंकि ज्यादातर स्थितियों में सिग्नल एक जैसे नहीं होंगे, इसलिए आप चुन सकते हैं कि आपको कौन सा सिग्नल चाहिए या दोनों अलग-अलग करें।

यदि आप मल्टी-रेट प्रोसेसिंग का अध्ययन कर रहे हैं, तो मैं फ्रेडरिक हैरिस द्वारा "संचार प्रणालियों के लिए मल्टीरेट सिग्नल प्रोसेसिंग" प्राप्त करने की अत्यधिक सलाह देता हूं। वह गणित की उपेक्षा किए बिना सिद्धांत की व्याख्या करने का बहुत अच्छा काम करता है, और बहुत सारी व्यावहारिक सलाह भी देता है।

EDIT: न्युटिस्ट दर से कम पर एक संकेत को जानबूझकर नमूना करना अंडरसम्पलिंग कहा जाता है । निम्नलिखित गणितीय रूप से समझाने का मेरा प्रयास है कि जब आप अपटाउन करते हैं तो एफएफटी क्यों नहीं बदलता है। "x [n]" नमूनों का मूल सेट है, "u" अपसम्पलिंग कारक है, और "x '[n]" नमूनों का अपस्ट्रीम सेट है।

$$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$$

बदसूरत स्वरूपण के लिए क्षमा याचना। मैं एक LaTex noob हूं।

EDIT 2: मुझे यह बताना चाहिए था कि DFT का x [n] और x '[n] वास्तव में समान नहीं हैं। नमूना दर अधिक है, जैसा कि मैंने उत्तर के पहले भाग में समझाया था, उपनामों को "उजागर" करने का कारण बनता है। मैं अपने गैर-गणितज्ञ तरीके से इंगित करने की कोशिश कर रहा था कि नमूना दर से अलग डीएफटी हैं, वही।

Comments

यह एक शानदार जवाब है। धन्यवाद। बहुत स्पष्ट रूप से।

— Learnvst

$U$

@ जैसनआर मेरा मानना ​​है कि संपादन मूल रूप से सही है, हालांकि मैं यह बताने में विफल रहा कि नमूना दर में बदलाव होता है, जो कि अपने आप में एक महत्वपूर्ण बदलाव है। मेरा मानना ​​है कि जहां हम अलग हैं, आप इसके बारे में सामान्यीकृत दृष्टिकोण से सोच रहे हैं, जो वास्तव में "संपीड़न" और "दोहराव" जैसा दिखता है। जैसा कि मैंने अपने उत्तर के मूल भाग में समझाने की कोशिश की, हालांकि, इसे देखने का एक और तरीका यह है कि हम बस नमूना दर बढ़ा रहे हैं, जिससे अन्य उपनाम उजागर हो सकते हैं।

— जिम क्ले

@ जैसनआर अगर मैंने समीकरणों में गलती की है, तो कृपया इसे मेरे लिए इंगित करें और मुझे इसे ठीक करने में खुशी होगी। धन्यवाद।

— जिम क्ले