आप न्यूटन की विधि का उपयोग करके वर्गमूल फ़ंक्शन को भी अनुमानित कर सकते हैं । न्यूटन की विधि अनुमान लगाने का एक तरीका है जहां एक फ़ंक्शन की जड़ें होती हैं। यह एक पुनरावृत्त विधि भी है जहां पिछले पुनरावृत्ति से परिणाम अभिसरण तक अगले पुनरावृत्ति में उपयोग किया जाता है। न्यूटन की विधि का अनुमान लगाने के लिए समीकरण जहां रूट एक फ़ंक्शन है, जिसे प्रारंभिक अनुमान है को निम्न के रूप में परिभाषित किया गया है:च( x )एक्स0
x1=x0−f(x0)f′(x0)
x1 पहला अनुमान है कि रूट कहां स्थित है। हम समीकरण को पुनर्चक्रित करते रहते हैं और पिछले पुनरावृत्तियों से परिणाम का उपयोग करते हैं जब तक कि उत्तर नहीं बदलता है। सामान्य तौर पर, पुनरावृत्ति पर मूल के अनुमान को निर्धारित करने के लिए , पुनरावृति पर अनुमान को परिभाषित किया गया है:(n+1)n
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
वर्गमूल के लिए लगभग न्यूटन की विधि का उपयोग करने के लिए, मान लें कि हमें एक संख्या दी गई । इस तरह, वर्गमूल की गणना करने के लिए, हमें गणना करने की आवश्यकता है। जैसे, हम एक उत्तर खोजना चाहते हैं जैसे । दोनों पक्षों वर्ग, और आगे बढ़ समीकरण पैदावार के दूसरी तरफ । इस प्रकार, इस समीकरण का उत्तर और इस प्रकार यह फ़ंक्शन का मूल है। जैसे, ऐसा समीकरण है जिसकी जड़ हम खोजना चाहते हैं। न्यूटन की विधि में इसे प्रतिस्थापित करके, , और इसलिए:aa−−√x=a−−√ax2−a=0a−−√f(x)=x2−af′(x)=2x
xn+1=xn−x2n−a2xn
xn+1=12(xn+axn)
इसलिए, वर्गमूल की गणना करने के लिए , हमें बस न्यूटन की विधि की गणना करने की आवश्यकता है जब तक हम अभिसरण नहीं करते। हालाँकि, जैसा कि @ robertbristow-johnson द्वारा बताया गया है, विभाजन एक बहुत महंगा ऑपरेशन है - विशेष रूप से सीमित संसाधनों के साथ माइक्रोकंट्रोलर / डीएसपी के लिए। इसके अलावा, एक ऐसा मामला हो सकता है जहां एक अनुमान 0 हो सकता है, जिसके परिणामस्वरूप विभाजन ऑपरेशन के कारण 0 त्रुटि से विभाजन होगा। जैसे, हम क्या कर सकते हैं न्यूटन की विधि का उपयोग करें और इसके बजाय पारस्परिक फ़ंक्शन के लिए हल करें , अर्थात । यह भी किसी भी विभाजन से बचा जाता है, जैसा कि हम बाद में देखेंगे। दोनों पक्षों को चुकाना, और बाएं हाथ की ओर चलना इस प्रकार । इसलिए, इसका समाधान होगाa1x=a−−√a−−√1x2−a=01a√ । से गुणा करके , हम अपने इच्छित परिणाम मिलेगा। फिर, न्यूटन की विधि का उपयोग करते हुए, हमारे पास इस प्रकार है:a
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
xn+1=xn−1(xn)2−a−2(xn)3
xn+1=12(3xn−(xn)3a)
हालांकि, एक चेतावनी है कि हमें उपरोक्त समीकरण को देखते समय विचार करना चाहिए। वर्गमूल के लिए, समाधान सकारात्मक होना चाहिए और इसलिए पुनरावृत्तियों (और परिणाम) के लिए सकारात्मक होने के लिए, निम्नलिखित स्थिति को संतुष्ट करना होगा:
3 एक्स एन > ( एक्स एन ) 3 एक ( एक्स एन ) 2 एक < 3
3xn−(xn)3a>0
3xn>(xn)3a
(xn)2a<3
इसलिए:
(x0)2a<3
इसलिए, जिस संख्या को हम वर्गमूल की गणना करना चाहते हैं, उसे देखते हुए, प्रारंभिक अनुमान को उपरोक्त स्थिति को पूरा करना चाहिए । जैसा कि यह अंततः एक माइक्रोकंट्रोलर पर रखा जा रहा है, हम किसी भी मूल्य के साथ शुरू कर सकते हैं (1 कहते हैं), फिर लूपिंग रखें और के मूल्य को कम करें जब तक कि उपरोक्त स्थिति संतुष्ट न हो। ध्यान दें कि मैंने के मान को सीधे गणना करने के लिए विभाजन करने सेx 0 x 0 10 - 6x0x0x0होना चाहिए क्योंकि विभाजन एक महंगा ऑपरेशन है। एक बार जब हम अपना प्रारंभिक अनुमान लगा लेते हैं, तो न्यूटन की विधि के माध्यम से पुनरावृति करते हैं। ध्यान दें कि प्रारंभिक अनुमान के आधार पर, इसे रूपांतरित होने में कम या अधिक समय लग सकता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप वास्तविक उत्तर के कितने करीब हैं। आप या तो पुनरावृत्तियों की संख्या को कैप कर सकते हैं, या तब तक प्रतीक्षा कर सकते हैं जब तक कि दोनों जड़ों के बीच का अंतर कुछ सीमा से कम न हो (जैसे या तो)।10−6
जैसा कि आपका टैग एक एल्गोरिथ्म की तलाश में है C, आइए एक बहुत जल्दी लिखें:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
यह न्यूटन की विधि का एक बहुत ही बुनियादी कार्यान्वयन है। ध्यान दें कि मैं प्रारंभिक अनुमान को आधे तक कम कर रहा हूं जब तक कि जिस स्थिति के बारे में हमने पहले बात की थी वह संतुष्ट है। मैं भी 5. का वर्गमूल खोजने की कोशिश कर रहा हूं। हम जानते हैं कि यह लगभग 2.236 या तो के बराबर है। उपरोक्त कोड का उपयोग निम्नलिखित आउटपुट देता है:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
ध्यान दें कि न्यूटन की विधि पारस्परिक समाधान के समाधान से गुणा खोजने और हम है अंत में हमारे अंतिम जवाब मिलता है। इसके अलावा, ध्यान दें कि प्रारंभिक अनुमान को यह सुनिश्चित करने के लिए बदल दिया गया था कि मैंने ऊपर जिन मानदंडों के बारे में बात की थी, वे संतुष्ट हैं। बस मनोरंजन के लिए, आइए 9876 का वर्गमूल ज्ञात करें।a
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल एक चीज अलग है कि वर्गमूल की गणना करने के लिए कितने पुनरावृत्तियों की आवश्यकता है। जितना अधिक आप गणना करना चाहते हैं, उतनी ही अधिक पुनरावृत्ति होगी।
मुझे पता है कि यह विधि पहले ही पोस्ट में सुझाई जा चुकी है, लेकिन मुझे लगा कि मैं इस विधि को प्राप्त करूँगा और कुछ कोड भी प्रदान करूँगा!