असतत समय फूरियर रूपांतरण और असतत फूरियर रूपांतरण के बीच अंतर

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मैंने DTFT और DFT के बारे में कई लेख पढ़े हैं, लेकिन दोनों के बीच अंतर को समझने में सक्षम नहीं हूँ, केवल कुछ दिखाई देने वाली चीज़ों को छोड़कर, जैसे कि DTFT अनंत तक जाती है जबकि DFT केवल N-1 तक है। किसी को भी कृपया अंतर समझा सकते हैं और कब उपयोग करना है? विकी कहता है

डीएफआर असतत समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) से भिन्न होता है जिसमें इसके इनपुट और आउटपुट अनुक्रम दोनों परिमित होते हैं; इसलिए इसे परिमित-डोमेन (या आवधिक) असतत समय कार्यों का फूरियर विश्लेषण कहा जाता है।

क्या यह एकमात्र अंतर है?

संपादित करें: यह लेख अंतर को अच्छी तरह से बताता है

discrete-signals fourier-transform

— BaluRaman
स्रोत

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DTFT आवृत्ति का एक निरंतर कार्य है, लेकिन DFT आवृत्ति का असतत कार्य है।

— जॉन

मुख्य बिंदु है,DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— nmxprime

@ एसएमएक्सप्राइम का मतलब है कि डीएफटी डीटीएफ का नमूना संस्करण है?

— 16

1

@endolith Yes.it है

— nmxprime

आपके द्वारा लिंक किया गया आलेख (पृष्ठ 2) कहता है कि "CTFT ने हमें असतत आवृत्ति स्पेक्ट्रम दिया है"। क्या यह गलत नहीं है? मुझे लगा कि फूरियर ट्रांसफॉर्म से गुजरने वाले लगातार एपेरियोडिक सिग्नल के मामले में आवृत्ति निरंतर थी।

— आदित्य पी

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असतत समय फूरियर रूपांतरण (DTFT) असतत समय संकेत का (पारंपरिक) फूरियर रूपांतरण है। इसकी आउटपुट आवृत्ति और आवधिक में निरंतर है। उदाहरण: एक निरंतर समय सिग्नल के नमूना संस्करण के स्पेक्ट्रम को खोजने के लिए DTFT का उपयोग किया जा सकता है। $x(kT)$ $x(t)$

असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) को DTFT आउटपुट के सैंपल वर्जन (फ्रिक्वेंसी-डोमेन में) के रूप में देखा जा सकता है। इसका उपयोग कंप्यूटर के साथ असतत समय सिग्नल की आवृत्ति स्पेक्ट्रम की गणना करने के लिए किया जाता है, क्योंकि कंप्यूटर केवल एक सीमित संख्या के मान को संभाल सकते हैं। मैं DFT आउटपुट के परिमित होने का तर्क दूंगा। यह आवधिक है और इसलिए इसे असीम रूप से जारी रखा जा सकता है।

इसका सारांश प्रस्तुत करना:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) डीएफटी की एक गणितीय संपत्ति यह है कि इसके इनपुट और आउटपुट दोनों डीएफटी लंबाई साथ आवधिक हैं । यही है, हालांकि डीएफटी के लिए इनपुट वेक्टर व्यवहार में परिमित है, यह कहना सही है कि डीएफटी इनपुट को आवधिक माना जाता है यदि डीएफटी नमूना नमूना है। $N$

— एच.डी.
स्रोत

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आप नहीं मतलब था कि DTFT इनपुट है में परिमित?

— लुट्ज़ लेहमैन

@LutzL यह सामान्य रूप से अनंत हो सकता है, हाँ। मैं उसे बदल दूंगा। DFT आउटपुट के बारे में क्या: आप इसे परिमित या आवधिक कहेंगे ?

— एच.डी.

मुझे लगता है कि डीएफटी का उत्पादन एन-आवधिक, परिमित अनुक्रम है

— बालुरामन

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डीएफटी में, व्याख्या पर बहुत कुछ निर्भर करता है। तकनीकी दृष्टिकोण से, यह परिमित को परिमित में रूपांतरित करता है। इस दृष्टिकोण से कि यह एक त्रिकोणमितीय बहुपद के गुणांक की गणना करता है, कोई कह सकता है कि यह अनंत असतत आवधिक को परिमित में बदल देता है। लेकिन एक इनपुट का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली आवृत्तियों की खिड़की को स्थानांतरित कर सकता है, और सभी संभावित आवृत्तियों पर आयाम फिर से एक आवधिक अनुक्रम बनाते हैं।

— लुत्ज लेहमन

अधिक संगत होने के लिए मैं डीएफटी के इनपुट के लिए "परिमित" के बजाय "आवधिक" डालूंगा। यह डीएफटी (आउटपुट) के असतत होने का प्रत्यक्ष परिणाम है।

— मैट एल

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ठीक है, मैं इस तर्क के साथ जवाब देने वाला हूं कि "विरोधियों" ने मेरी कठोर नाज़ी जैसी स्थिति के बारे में डीएफटी के पास है।

सबसे पहले, मेरी कठोर, नाज़ी जैसी स्थिति : डीएफटी और असतत फूरियर श्रृंखला एक और एक ही है। DFT एक अनंत और आवधिक अनुक्रम, $x[n]$ " $N$ " पीरियड साथ "समय" डोमेन में दूसरे अनंत और आवधिक अनुक्रम, $X[k]$ साथ फिर से, अवधि $N$ साथ , "आवृत्ति" डोमेन में मैप करता है। और iDFT इसे वापस मैप करता है। और वे "इंजेक्टिव" या "इनवर्टेबल" या "वन-टू-वन" हैं।

एफ टी:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

iDFT:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

यह सबसे मौलिक रूप से डीएफटी है। यह स्वाभाविक रूप से एक आवधिक या गोलाकार चीज है।

लेकिन आवधिकता डीएफटी के बारे में यह कहना पसंद करती है। यह सच है, यह सिर्फ उपरोक्त में से कोई भी परिवर्तन नहीं करता है।

इसलिए, मान लें कि आपके पास लंबाई का परिमित-लंबाई अनुक्रम $x[n]$ था और समय-समय पर इसे विस्तारित करने के बजाय (जो कि DFT स्वाभाविक रूप से करता है), आप इस परिमित-लम्बाई क्रम को शून्य के साथ अनंत रूप से बाएँ और दाएँ दोनों पर जोड़ते हैं। इसलिए $N$

\hat{x} [n] ≜ {\begin{cases} x [n] & for 0 \leq n \leq N - 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

अब, यह न दोहराई अनंत अनुक्रम करता है एक DTFT है:

\hat{X} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ की जेड को बदलने हैइकाई वृत्त पर मूल्यांकनके लिए असीम कईअसलीके मूल्यों। अब, अगर आप नमूना के लिए गए थे कि DTFTपरपर एक बिंदु के साथ इकाई वृत्त पर समान रूप से स्थान दिया गया है अंक,, आप मिलेगा $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ $N$ $z=e^{j\omega}=1$

\begin{aligned} \hat{X} (e^{j ω}) |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n} |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = X [k] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

यह ठीक है कि DFT और DTFT कैसे संबंधित हैं। , "आवृत्ति" डोमेन कारणों में एक समान अंतराल पर DTFT नमूना "समय" डोमेन, मूल अनुक्रम दोहराया और के सभी गुणकों से स्थानांतरित किया जा करने के लिए और ओवरलैप वर्धित। यही कारण है कि एक डोमेन में समान नमूनाकरण दूसरे डोमेन में होता है। लेकिन, जब से होने का अनुमान लगाया गया है अंतराल के बाहर , कि ओवरलैप जोड़ने करता है कुछ भी नहीं है। यह सिर्फ समय-समय पर की गैर शून्य हिस्सा फैली $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ , हमारे मूल परिमित लंबाई अनुक्रम, $x[n]$ ।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

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स्वीकृत उत्तर अच्छा था, लेकिन मुझे आपका उत्तर अधिक व्यावहारिक लगा। DTFT और DFT के बीच वास्तविक गणितीय संबंध प्रदान करने के लिए धन्यवाद ... विशेषकर स्पेक्ट्रा के नमूने का समय-क्षेत्र में आवधिकता का कारण। यह एक ऐसा बिंदु है जिसे मैं हमेशा भूल जाता हूं।

— रेयरेंग - मोनिका

आपके दूसरे पैराग्राफ का अर्थ है कि DFT इनपुट अनुक्रमों को स्वीकार करते हैं जो लंबाई में अनंत हैं। क्या किसी ने कभी अनंत-लंबाई डीएफटी का प्रदर्शन किया है?

— रिचर्ड ल्योंस

हे रिक, यह आप comp.dsp से यहाँ देखने के लिए अच्छा है । मुझे याद है कि @PeterK द्वारा अभिवादन किया जा रहा है जब मैं पहली बार ओवरग्राउंड हुआ था (लेकिन मैं comp.dsp को कभी नहीं छोड़ूंगा )। वैसे भी, डीएफएस अनंत लंबाई के इनपुट अनुक्रम को स्वीकार करता है उसी सीमा तक डीएफटी एक इनपुट को स्वीकार करता है जो अनंत लंबाई का है। सभी का कहना है कि DFT और DFS एक समान हैं।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

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@ ब्रॉस्ट ब्रिस्टो-जॉनसन यह एक सुंदर व्याख्या थी। मेरा प्रश्न बुरा हो सकता है लेकिन, असतत फूरियर श्रृंखला द्वारा, आप उस मामले का उल्लेख कर रहे हैं जहां इनपुट एक सतत आवधिक कार्य है जो दोनों दिशाओं में असीम रूप से चलता है, सही है? मैं जो कुछ भी कहता हूं, उसे याद करते हुए, जार्ज सिलोव की डूवर बुक को पढ़ने से, यदि आप फ़्यूरियर के पर्याप्त ग्रिड का उपयोग करके फूरियर गुणांक की संख्या को पर्याप्त रूप से बड़ा करते हैं, तो फ़ॉयर श्रृंखला एक अवधि निरंतर कार्य को मनमाने ढंग से बारीकी से पुन: उत्पन्न कर सकती है। यह वह एफएस है जिसका आप जिक्र कर रहे हैं, जब आप कहते हैं कि यह डीएफटी के समान है, सही है? धन्यवाद।

— निशान लेड्स

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

x [n]

$x[n]$

X [k]

$X[k]$

N

$N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$

N

$N$

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चूंकि डीटीएफटी आउटपुट निरंतर है, इसलिए इसे कंप्यूटर के साथ संसाधित नहीं किया जा सकता है। इसलिए हमें इस निरंतर संकेत को असतत रूप में बदलना होगा। यह गणना को कम करने के लिए एफएफटी पर आगे की प्रगति के रूप में डीएफटी के अलावा कुछ भी नहीं है।

— गौरव सिंघल
स्रोत

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अगर मैं सही हूं, भले ही डीएफटी इनपुट आवधिक है, हालांकि नमूनों की संख्या परिमित है, इसके पीछे का गणित इसे एक अनंत अनुक्रम के रूप में मानता है जो समय-समय Nपर इसके समापन के बाद नमूनों को शुरू करता है । यदि मैं गलत हूं तो मुझे बताएं।

— ubuntu_noob
स्रोत

कुछ comp.dsp पर जो मेरे पास तर्क हैं, वे आपको "सही" कर सकते हैं, लेकिन वे गलत हैं। DFT और असतत फूरियर श्रृंखला के बीच कोई अंतर नहीं है। कोई भी नहीं, कुछ भी नहीं।

— बजे रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

मुझे यह समझने में मदद करने के लिए कि यहां क्या कहा जा रहा है, मेरे पास एक सवाल है कि आप "डिस्क्रीट फूरियर श्रृंखला" के संचालन के आउटपुट के बारे में क्या कहते हैं। क्या वह आउटपुट संख्याओं का अनुक्रम है या एक सतत कार्य (एक समीकरण) है?

— रिचर्ड ल्योन

-1

X [क] = Σ_{n = 0}^{एन - 1} एक्स [n] इ^{- जे 2 π n क / एन}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

— user25761
स्रोत

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कृपया लेटेक्स मार्कअप का उपयोग करें ताकि आपका गणित पढ़ने योग्य हो, और आपके द्वारा अनुसरण की जाने वाली प्रक्रिया के बारे में थोड़ा और समझाएं, ताकि आपका उत्तर वास्तव में ओपी की मदद कर सके।

— एमबीज